高中数学 32《简单的三角恒等变换》教学设计 新人教A版必修4.docx
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高中数学32《简单的三角恒等变换》教学设计新人教A版必修4
2019-2020年高中数学3.2《简单的三角恒等变换》教学设计新人教A版必修4
【教学目标】
1会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明,引导学生推导半角公式,积化和差、和差化积公式(公式不要求记忆),
2使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力.
【导入新课】
习引入:
复习倍角公式、、
先让学生默写三个倍角公式,注意等号两边角的关系,特别注意.既然能用单角
表示倍角,那么能否用倍角表示单角呢?
新授课阶段
半角公式的推导及理解:
例1、试以表示.
解析:
我们可以通过二倍角和来做此题.(二倍角公式中以α代2α,代α)
解:
因为,可以得到;
因为,可以得到.
两式相除可以得到
.
点评:
⑴以上结果还可以表示为:
并称之为半角公式(不要求记忆),符号由角的象限决定.
⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.
⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换,三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系他们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.
例2求证:
(1)
;
(2)
.
解析:
回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式,观察公式与所证式子的联系.
证明:
(1)因为和是我们所学习过的知识,因此我们从等式右边着手.
;
.
两式相加得
;
即
;
(2)由(1)得
①;设,
那么.
把的值代入①式中得
.
点评:
在例2证明中用到了换元思想,(1)式是积化和差的形式,(2)式是和差化积的形式,在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式.
例3求函数的周期,最大值和最小值.
解析:
利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求相应的值.
解:
,
所以,所求的周期,最大值为2,最小值为.
点评:
例3是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简三角函数式中的作用.
课堂小结
用和(差)角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识,学会灵活运用.
作业
课本p143习题3.2A组1、
(1)(5)3、5
拓展提升
1.已知cos(α+β)cos(α-β)=,则cos2α-sin2β的值为()
A.-B.-C.D.
2.在△ABC中,若sinAsinB=cos2,则△ABC是()
A.等边三角形B.等腰三角形
C.不等边三角形D.直角三角形
3.sinα+sinβ=(cosβ-cosα),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于()
A.-B.-C.D.
4.已知cos(α+β)cos(α-β)=,则cos2α-sin2β的值为()
A.-B.-C.D.
5.在△ABC中,若sinAsinB=cos2,则△ABC是()
A.等边三角形B.等腰三角形
C.不等边三角形D.直角三角形
6.sinα+sinβ=(cosβ-cosα),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于()
A.-B.-C.D.
7.已知sin(α+β)sin(β-α)=m,则cos2α-cos2β等于()
A.-mB.mC.-4mD.4m
二、填空题
8.sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________.
9.已知α-β=,且cosα+cosβ=,则cos(α+β)等于_________.
三、解答题
10.已知f(x)=-+
,x∈(0,π).
(1)将f(x)表示成cosx的多项式;
(2)求f(x)的最小值.
12.已知△ABC的三个内角A、B、C满足:
A+C=2B,,求cos的值.
13.已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b,
求证:
(2cos2A+1)2=a2+b2.
14.求证:
cos2x+cos2(x+α)-2cosxcosαcos(x+α)=sin2α.
15.求函数y=cos3x·cosx的最值.
参考答案
一、选择题:
1.C2.B3.D4.C5.B6.D7.B
二、填空题:
8.9.-
三、解答题
10.解:
(1)f(x)=
=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1.
(2)∵f(x)=2(cosx+)2-,且-1≤cosx≤1,
∴当cosx=-时,f(x)取得最小值-.
11分析:
本小题考查三角函数的基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的能力.
解:
由题设条件知B=60°,A+C=120°,
∵-=-2,
∴=-2.
将上式化简为cosA+cosC=-2cosAcosC,
利用和差化积及积化和差公式,上式可化为
2coscos=-[cos(A+C)+cos(A-C)],
将cos=cos60°=,cos(A+C)=cos120°=-代入上式得cos=-cos(A-C),
将cos(A-C)=2cos2()-1代入上式并整理得4cos2()+2cos-3=0,
即[2cos-][2cos+3]=0.
∵2cos+3≠0,∴2cos-=0.
∴cos=.
12.证明:
由已知得
∴
两式平方相加得(2cos2A+1)2=a2+b2.
13.证明:
左边=(1+cos2x)+[1+cos(2x+2α)]-2cosxcosαcos(x+α)
=1+[cos2x+cos(2x+2α)]-2cosxcosαcos(x+α)
=1+cos(2x+α)cosα-cosα[cos(2x+α)+cosα]
=1+cos(2x+α)cosα-cosαcos(2x+α)-cos2α
=1-cos2α=sin2α
=右边,
∴原不等式成立.
14.解:
y=cos3x·cosx
=(cos4x+cos2x)
=(2cos22x-1+cos2x)
=cos22x+cos2x-
=(cos2x+)2-.
∵cos2x∈[-1,1],
∴当cos2x=-时,y取得最小值-;
当cos2x=1时,y取得最大值1.
2019-2020年高中数学3.2一元二次不等式及其解法三维目标教案新人教A版必修5
三维目标:
1.深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系;
2.掌握一元二次不等式的解法,能应用一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系解决综合问题;
3.会解高次不等式及分式不等式;
4.会解含绝对值的不等式及含参数的一元二次不等式的解法;
5.通过对一元二次不等式的解法的学习,使学生了解“函数与方程”、“数形结合”及“等价转换”的数学思想。
重点难点:
教学重点:
从实际问题中抽象出一元二次不等式模型,围绕一元二次不等式的解法展开,突出体现数学结合的思想,熟练地掌握一元二次不等式的解法。
教学难点:
深刻理解“三个二次”之间的联系。
课时安排:
3课时
教学过程:
第一课时
(一)自主探究:
1.一元二次不等式的定义:
一般表达形式为:
2.一元二次不等式与相应函数、方程的联系:
一元二次不等式经过变形,可以化成以下两种标准形式:
①ax2+bx+c>0(a>0)②ax2+bx+c<0(a>0)
上述两种形式的一元二次不等式的解集,可通过方程ax2+bx+c=0的根来确定,
设△=,则:
(1)当△>0时,方程ax2+bx+c=0有两个的解,设,则不等式①的解集为不等式②的解集为
(2)当△=0时,方程ax2+bx+c=0有两个的解,即,此时不等式①的解集为不等式②的解集为
(3)当△<0时,方程ax2+bx+c=0无实数解,则不等式①的解集为
不等式②的解集为
方程
的判别式及根的情况
方程有二根、()
方程有一根()
方程无实根
的图像
不等式
的解集
不等式
的解集
不等式
的解集
不等式
的解集
3.一元二次不等式的解法步骤:
①化二次项系数为正数;
②计算判别式,分析不等式对应的方程的解的情况;
③结合图象写出解集。
(二)典例剖析:
例1.解下列不等式:
①.②
③④
例2.解下列不等式:
①②③
例3.求函数
的定义域。
(三)巩固练习:
P80练习
(四)小结:
(五)当堂检测:
若集合M=,N=,求MN,MN
(六)作业:
课本P80习题3.2A组
第二课时
(一)自主探究:
1.一元高次不等式的解法步骤:
(数轴标根法)
①化成标准形式:
一端为0,另一端为一次因式(因式中的系数为1)或二次不可约因式的积;
②求出各因式的实数根,并在数轴上依次标出;
③自右上方起,从右到左画曲线(奇过偶不过);
④记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集。
2.分式不等式的解法步骤:
①移项通分化为
②转化为整式不等式:
(二)典例剖析
例1.解下列不等式:
①
②
例2.解下列不等式:
①②
(三)小结:
(四)当堂检测:
解不等式:
第三课时
(一)自主探究
1.含绝对值不等式的解法():
2.含参数的一元二次不等式的讨论次序为:
①对二次项系数为零与不为零,是正还是负进行讨论,以便确定解集的形式;
②对判别式
进行讨论,以便确定相应的二次方程根的个数;
③若有根,则对两根的大小进行讨论以便写出解集。
(二)典例剖析
例1.解下列不等式:
例2.解下列关于的不等式:
①②
例3.解下列不等式:
①②
③④
(三)小结: