1、高中数学 32简单的三角恒等变换教学设计 新人教A版必修42019-2020年高中数学 3.2简单的三角恒等变换教学设计 新人教A版必修4【教学目标】1会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明,引导学生推导半角公式,积化和差、和差化积公式(公式不要求记忆),2使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力.【导入新课】习引入:复习倍角公式、先让学生默写三个倍角公式,注意等号两边角的关系,特别注意.既然能用单角表示倍角,那么能否用倍角表示单角呢?新授课阶段半角公式的推导及理解 : 例1、 试以表示解析:我们可以通过二倍角和来做此题(二倍角公式中以代2,代)解:因为,可以得到;因
2、为,可以得到两式相除可以得到点评:以上结果还可以表示为: 并称之为半角公式(不要求记忆),符号由角的象限决定.降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换,三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系他们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.例2 求证:();()解析:回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式,观察公式与所证式子的联系.证明:()因为和是我们所学习过的知识,因此我们从等式右边着手;两式相加得;即;()由()得;设,那么把的值代入式中得点评:在例证明中用到了换元思想,()式是积化和差的形
3、式,()式是和差化积的形式,在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式例 求函数的周期,最大值和最小值解析:利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求相应的值.解:,所以,所求的周期,最大值为,最小值为点评:例是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简三角函数式中的作用课堂小结用和(差)角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识,学会灵活运用作业课本p143 习题3.2 A组1、(1)(5) 3 、5拓展提升1已知cos(+)cos()=,则cos2sin2的值为( )A
4、 B C D2在ABC中,若sinAsinB=cos2,则ABC是( )A等边三角形 B等腰三角形 C不等边三角形 D直角三角形3sin+sin=(coscos),且(0,),(0,),则等于( )A B C D4已知cos(+)cos()=,则cos2sin2的值为( )A B C D5在ABC中,若sinAsinB=cos2,则ABC是( )A等边三角形 B等腰三角形 C不等边三角形 D直角三角形6sin+sin=(coscos),且(0,),(0,),则等于( )A B C D7已知sin(+)sin()=m,则cos2cos2等于( )Am Bm C4m D4m二、填空题8sin20c
5、os70+sin10sin50=_9已知=,且cos+cos=,则cos(+)等于_三、解答题10已知f(x)=+,x(0,)(1)将f(x)表示成cosx的多项式;(2)求f(x)的最小值12已知ABC的三个内角A、B、C满足:A+C=2B,求cos的值13 已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b,求证:(2cos2A+1)2=a2+b214 求证:cos2x+cos2(x+)2cosxcoscos(x+)=sin215 求函数y=cos3xcosx的最值参考答案一、选择题:1C 2 B 3 D 4C 5 B 6 D 7 B二、填空题:8 9三、解答题
6、10解:(1)f(x)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx1(2)f(x)=2(cosx+)2,且1cosx1,当cosx=时,f(x)取得最小值11 分析:本小题考查三角函数的基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的能力解:由题设条件知B=60,A+C=120,=2,=2将上式化简为cosA+cosC=2cosAcosC,利用和差化积及积化和差公式,上式可化为2coscos=cos(A+C)+cos(AC),将cos=cos60=,cos(A+C)=cos120=代入上式得cos=cos(AC),将cos(AC)=2cos2()1代入上式并整理得4cos2()+2cos3=0,即
7、2cos2cos+3=02cos+30,2cos=0cos=12证明:由已知得两式平方相加得(2cos2A+1)2=a2+b213证明:左边=(1+cos2x)+1+cos(2x+2)2cosxcoscos(x+)=1+cos2x+cos(2x+2)2cosxcoscos(x+)=1+cos(2x+)coscoscos(2x+)+cos=1+cos(2x+)coscoscos(2x+)cos2=1cos2=sin2=右边,原不等式成立14解:y=cos3xcosx=(cos4x+cos2x)=(2cos22x1+cos2x)=cos22x+cos2x=(cos2x+)2cos2x1,1,当co
8、s2x=时,y取得最小值;当cos2x=1时,y取得最大值12019-2020年高中数学 3.2一元二次不等式及其解法三维目标教案 新人教A版必修5三维目标: 1.深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系;2.掌握一元二次不等式的解法,能应用一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系解决综合问题;3.会解高次不等式及分式不等式;4.会解含绝对值的不等式及含参数的一元二次不等式的解法; 5.通过对一元二次不等式的解法的学习,使学生了解“函数与方程”、“数形结合”及“等价转换”的数学思想。重点难点:教学重点:从实际问题中抽象出一元二次不等式模型,围绕一元二次不等式的解法展开,突出体现数学
9、结合的思想,熟练地掌握一元二次不等式的解法。教学难点:深刻理解“三个二次”之间的联系。课时安排:3课时教学过程:第一课时(一)自主探究:1. 一元二次不等式的定义: 一般表达形式为: 2. 一元二次不等式与相应函数、方程的联系:一元二次不等式经过变形,可以化成以下两种标准形式:ax2 + b x + c0(a0) ax2 + b x + c0)上述两种形式的一元二次不等式的解集,可通过方程ax2 + b x + c=0的根来确定,设=,则:(1)当0时,方程ax2 + b x + c=0 有两个 的解,设,则不等式的解集为 不等式的解集为 (2)当=0时,方程ax2 + b x + c=0有两
10、个 的解,即,此时不等式的解集为 不等式的解集为 (3)当0时,方程ax2 + b x + c=0无实数解,则不等式的解集为 不等式的解集为 方程的判别式及根的情况方程有二根、()方程有一根()方程无实根的图像不等式的解集不等式的解集不等式的解集不等式的解集3.一元二次不等式的解法步骤:化二次项系数为正数;计算判别式,分析不等式对应的方程的解的情况;结合图象写出解集。(二)典例剖析:例1解下列不等式:. 例2解下列不等式: 例3求函数的定义域。(三)巩固练习:P80 练习(四)小结:(五)当堂检测: 若集合M=,N=,求MN , MN(六)作业:课本P80 习题3.2A组 第二课时(一) 自主
11、探究:1.一元高次不等式的解法步骤:(数轴标根法)化成标准形式:一端为0,另一端为一次因式(因式中的系数为1)或二次不可约因式的积;求出各因式的实数根,并在数轴上依次标出;自右上方起,从右到左画曲线(奇过偶不过);记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集。2.分式不等式的解法步骤: 移项通分化为转化为整式不等式:(二) 典例剖析例1解下列不等式: 例2. 解下列不等式: (三)小结:(四)当堂检测:解不等式:第三课时(一)自主探究1.含绝对值不等式的解法(): 2.含参数的一元二次不等式的讨论次序为:对二次项系数为零与不为零,是正还是负进行讨论,以便确定解集的形式;对判别式进行讨论,以便确定相应的二次方程根的个数;若有根,则对两根的大小进行讨论以便写出解集。(二)典例剖析例1. 解下列不等式: 例2. 解下列关于的不等式: 例3. 解下列不等式: (三)小结:
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