函数的值域所有知识点docx.docx

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函数的值域与最值

•知识点归纳

一、相关概念

1、值域：

两数y=/9），xeA,我们把函数值的集合｛y\y=f（x\xeA｝称为这个函数的值域。

2、最值：

求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。

事实上，如果在函数的值域屮存在一个最小（人）数，这个数就是函数的最小（人）值。

因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而己。

最大值：

一般地，设函数>=/&）的定义域为人如果存在实数M满足：

①对于任意的炸人都有心）WM；②存在迪丘7,使得/Uo）二M。

那么，称M是函数尸心）的最大值。

记作儿ax=/（^o）

最小值：

一般地，设函数：

的定义域为人如果存在实数“满足：

①对于任意的兀日，都有心）2M；

②存在也三7,使得ZUQ二M。

那么，称M是函数y=/U）的最小值。

记作ymin=f（x0）

注意：

1函数最人（小）首先应该是某一•个函数值，即存在使得Axo）=M；

2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xez,都有y（x）WM（y（x）>M）o

二、基本函数的值域

•次函数y=la+b（qH0）的定义域为R,值域为R；

•次函数y=ox2+bx+c（ghO）的定义域为R,；

当g>0,[4^-/?

2,+oo）；6Z<0,（_oo,4m_Q]

4a4a

反比例函数J,=L（k工0）的定义域为｛x|xH0｝,值域为｛y/y工0｝；

指数函数V=N（a>0jJgl）的值域为｛y/y>0｝;

对数函数y=logx（a>OHzzH1）的值域为R；

正、余弦:

函数的值域[-1,1]；

正、余切函数y=tanx;xHk7r昇,y=cotx（x工k兀,kwZ）的值域为R。

三、求函数值域和最值常用的方法

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：

（1）求常见函数值域；

⑵求由常见函数复合而成的函数的值域；

（3）求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域

三大类:

（1）单项式,多项式的值域：

利用

（1）利用基本函数

（2）X2>0|x|>0；

sfx>0（x>0）

（2）指数、对数，开根号函数的值域：

采用换元法

分式函数的值域方法：

（1）分离变量（常数）法;

（2）反函数法（中间变量有界法）;（3）数形结合（解析几何法：

求斜率）;（4）判别式法（定义域无限制为R）；

类别一

（1）观察法（用非负数的性质，如：

X2>0；X>0；y［x>0（x>0）等）

例如：

求下列函数的值域：

y二-3x^+2;{y|y22}

变式：

y二5+2厶+1（x2T）的值域是{y|y$5}

（2）利用基本函数求值域法:

例如:

下列函数中值域是1.尸丿2y=3.y=

4y=x+丄（兀〉0）

解析：

通过基本函数的值域可知：

A的值域为［0,+oo）,C的值域为［0,1］,D的值域为［2,+8）.答案:

B

（3）配方法：

多项式里边的二次函数必用配方，（二次或四次）转化为二次函数，（即转化为含有自变量的平方式与常数的和）型如:

/（x）=ax2+fcr+c,xw（m,n）然后根据变量的取值范围确定函数的最值；

思考：

如何配方呢?

例如：

求值域:

y=x24-x+l,xwR；xg[-1,3];xe（1,5];xg[-5,-1]

解析：

通过配方可得尸（兀+*）2+令开口向上，所以当"+时，函数取最小值JI厶

y=-;当xw[-l,3]时，在x=丄时，函数的最小值为y=-;故大值在x=3时取至U，

*424

f（3）=13；故其值域为[3,13];

4

同学练习：

G（1,5]；JT€[-5,-1]

变式1：

—-x2+3x—6的值域

4

变式2：

y=—x2+4x—1x^[-l,3）;（答：

【-6,3]）变式3：

求函数y二一仝的值域.（答:

（0,5]）

2；r-4x+3

类别二

（4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；例1:

求函数y=2兀+4VE的值域（-oo,4]

解析：

令r=二（t<0）,贝ljx=l-/2,故y=2（l"）+4f,经整理得y=-2t2+4t+2；

（不要忘了t的定义域）用配方法求的y的值域为（-8,4]。

例二求/（x）=log2（x2-2x+6）的值域

解答：

复合形式用换元：

令/=/一2兀+6,则由例1可知，te[5,+oo）根据单调性，可求出log21的值域为[log25,+cc）

例三：

求f（x）=4”+2却+6的值域

解答：

因为4X=（2A）2,所以，采用换元法，令t=2',则fw（0,+oo）则原函数变为厂+2/+6,可以根据二次函数值域的求法得到值域为（6，+qo）变式1：

求函数y二3x-Jl-2x的值域.（｛y|yW@｝）

2

变式2：

y=2x+\+y/x-i的值域为｛（3,+00））（令yjx-i=t9r>0O｝;变式3:

y=x+4+yl9-x2的值域为（答：

[1,3血+4]）;

变式4:

函数y=的值域为（答：

［-V2,1］）

变式6:

求函数y=logj2x-log!

x2+5（2

［学,8］）（捉小：

令t二log】X,

7747

类别三

（5）分离常数法：

（分式转化法）；对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域.形如尸竺二卞伽加（特点，分式的分子，分cx+a

母最高次数一样，且都是一次）此类也可以用反解法解

例如：

求下列函数的值域：

y=（｛y|yHi｝）

2

（6）反解法，形如y二弩特点，分式的分子分母最高次数一样，且都是二

CX+（1

次）函数歹=二的值域是（）

1+兀

解:

由咔斗得厲寺・.•宀0,.•.匕20,解W-K^l.

2X

练习：

求函数"云7T的值域（答：

i>y>o）

将原式转化为x的整式方程，当二次项含有分母吋，必须分成二次项系数为零和不为零两种情况讨论，只有二次项不为零时才能用判别式。

当原函数的定义域不为R时慎用判别式

例求函数y二壬的最值.

〒+444

变式：

尸叮+2；［1,5］

X+X+1

（8）基本不等式法：

（暂时不讲）转化成型如：

〉，》+£伙〉0）,利用基本不等

X

式公式来求值域；

设兀4卫2?

成等弟数列，x,b、,b”y成等比数列，则⑺弓‘）2的取值范围是（答：

（y,0］U［4,+8））o

练习：

求函数尸77^+，=的最小值（答：

y>2.5）

yjx2+4

（9）单调性法：

函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域

如果函数円❻）在区间⑷切上单调递增，在区间［b,C］上单调递减则函数円（Q

在x=b处有最大值J{h）；

如果函数〉=/（兀）在区间［Q,甸上单调递减，在区间［b,c］上单调递增则函数円（兀）

在尸b处有最小值fib）；

求y=^--（1<%<9）的值域为（答：

（0,学））；

x9

1「？

、1X1-X--

练习：

函数代方二vm+7i亦「丄的值域【2+8】函数"G）4的值域

兀L3丿2

［（0,72］］

（10）数形结合：

根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求

值域已知点P（s）在圆川+〉，2=1上，求丄及y_2兀的取值范围（答：

［~里亘］、x+233

［-75,75］）;

练习：

求函数y二仏+1）2+⑵2+J（—1）2+（3）2的值域.（答：

y>V29）

提示：

此题可以看做（X,0）到（-1,-2）和（1,-3）两点的距离和

（11）导数法:

求函数/（x）=2x3+4x2-40x,%g［-3,3］的最小值。

（答：

一48）

•典例剖析

题型一：

函数值域问题

例1.求下列函数的值域：

（1）y=\l-x2-6x-5；

（2）y="；

x-2

（3）y=x+4>/l-x；（4）y=x+y/]-x2；（暂时不讲）（5）y=|x-l|+|x+4|；

厂、2x2—x+22%2—x+111—sinx/亦心十“、

（6）y=；（7）y=（x>—）；（8）y=°（暂吋不讲）

「x_+x+l2x-l2•2-cosx

解：

（1）求复合函数的值域：

设a=-x2-6x-5（;/>0）,则原函数可化为y=JQ。

又•.*“——x~—6x-5=—（兀+3）"*+454,・；05“54,故w[0,2],

・・・y=V-x2-6x-5的值域为[0,2]。

分离变最法：

y=j£±l=3（x-2）+7=3+丄,

X—2x~2x~2

77+1

•••丄H0,•••3+丄工3,•••函数y二一的值域为{）疋7?

|）心3}°

x-2x-2x-2

（3）换元法（代数换元法）：

设t=41^>0，则x=l-r2,

・•・原函数可化为y=1—尸十4/=—（/—2）2+5（/\0）,・・・yW5,・・・原函数值域为（-oo,5]c

注：

总结y=ax+b-\-4cxTd型值域，

变形：

y=cvc2+b+Jex?

+d^y=ax2+b+Jex+d

（4）三角换元法：

V1-x2>0=>-1

则y=cosq+sinq=V2sin（

4

…m-i•7T「TT5/T「.•/兀、「1

•ocg[057i\9•■a—g[一、—J9••sin（€ZH—）g[91],

44442

・・・a/2sin（«+?

）w[-1,血],・••原函数的值域为[-1,72]o

4

-2兀-3（x<-4）

（5）数形结合法：

y=|x-l|+|x+4|=«5（-4'>5,/.函数值域为[5,+00）。

2x+3（x>1）

（6）判别式法：

・・・F+x+i>0恒成立，.••函数的定义域为/?

。

2y2_y+2

illy=—；得：

（）：

一2）无2+（y+l）x+y-2=0①

X+兀+1

①当y-2=0即y=2吋，①即3x+0=0,：

.x=OeR

②当y—2工0即y北2时，Txw/?

时方程（y—2）兀2+（y+l）x+y—2=0/亘冇实根,

AAQ=（y+l）2-4x（3；-2）2>0,A1

/亍、2x"—x+1x（2.x—1）+1

If）y=

丄

1121

=XA=兀1H,

2兀一1212

x—

2

*X>2f

••XF

1

11->2

2x-1

2

当.FL仅当

1

兀——

2

召时,

x--

2

“呼吋等号成立。

/.y>V2+—f原函数的值域为［y/2+—,+co）o

（8）方程法：

原函数可化为：

sinx-ycosx=l-2y,

+y2sin（兀-0）=\-2y（其屮cos%=/）

Jl+员Ji+b

/.sin（x-（p）=i）=•g［—1,1］f11—2y$Jl+），,3y2—4y50,・；05y5—,

Jl+员’3

4

・••原函数的值域为［0,-］o

例2（分段函数法及图像法）求函数y=|x+l|+|x-2|的值域

解：

将函数化为分段函数形式：

—2x+l（xv—1）

y=<3（-1

2x-l（x>2）

画岀它的图象，山图象可知，函数的值域是{y|y>3}

例2：

已知函数/V）二工+U+d,圧［1,+s）,

（1）当0=丄吋，求函数于（劝的最小值

2

（2）若对任意兀丘［1,+00）金）>0恒成立，试求实数a的取值范围

解：

（1）当y（x）=x+丄+2

22x

7

・・•兀0在区间［1,+00）上为增函数,・・JW在区间［1，+00）上的最小值为夬1）=一

2

⑵解法一在区间[1,+<»）上，

J（x）="+2x+a>0恒成立o%2+2x+tz>0恒成立

x

设y=^+2x+arKG[1,+oo）,）?

=x2+2x+6Z=（jrl-1）2+tz—1递增，

・••当j=l时,加“=3+a,当且仅当ymin=3^d>0时,函数夬兀）>0恒成立,故《>_3