因式分解的常用方法目前最牛最全的教案解析.docx

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因式分解的常用方法目前最牛最全的教案解析

因式分解的常用方法

第一部分：

方法介绍

　　多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：

ma+mb+mc=m（a+b+c）

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）（a+b）（a-b）=a2-b2---------a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）（a±b）2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=（a±b）2；

　（3）（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3------a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

　（4）（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3------a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．

下面再补充两个常用的公式：

　（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

　（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：

分析：

从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：

原式=

=每组之间还有公因式！

=

例2、分解因式：

解法一：

第一、二项为一组；解法二：

第一、四项为一组；

第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：

原式=原式=

==

==

练习：

分解因式1、2、

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：

分析：

若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

例4、分解因式：

解：

原式=解：

原式=

==

==

练习：

分解因式3、4、

综合练习：

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

（7）（8）

（9）（10）

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——进行分解。

特点：

（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：

十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.

解析：

凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求>0而且是一个完全平方数。

于是为完全平方数，

例5、分解因式：

分析：

将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=（-2）×（-3）=1×6=（-1）×（-6），从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。

12

解：

=13

=1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：

将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：

解：

原式=1-1

=1-6

（-1）+（-6）=-7

练习5、分解因式

（1）

（2）（3）

练习6、分解因式

（1）

（2）（3）

（二）二次项系数不为1的二次三项式——

条件：

（1）

（2）

（3）

分解结果：

=

例7、分解因式：

分析：

1-2

3-5

（-6）+（-5）=-11

解：

=

练习7、分解因式：

（1）

（2）

（3）（4）

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：

分析：

将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

18b

1-16b

8b+（-16b）=-8b

解：

=

=

练习8、分解因式

（1）

（2）（3）

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、例10、

1-2y把看作一个整体1-1

2-3y1-2

（-3y）+（-4y）=-7y（-1）+（-2）=-3

解：

原式=解：

原式=

练习9、分解因式：

（1）

（2）

综合练习10、

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

（7）（8）

（9）（10）

五、换元法。

例13、分解因式

（1）

（2）

解：

（1）设2005=，则原式=

=

=

（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=

设，则

∴原式==

==

练习13、分解因式

（1）

（2）

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式

（1）

解法1——拆项。

解法2——添项。

原式=原式=

======

==

练习15、分解因式

（2）（3）4）

第二部分：

习题大全

经典一：

一、填空题

1.把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。

2分解因式：

m3-4m=.

3.分解因式：

x2-4y2=_______.

4、分解因式：

=_________________。

5.将xn-yn分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x-y），则n的值为.

6、若，则=_________，=__________。

二、选择题

7、多项式的公因式是（）

A、B、C、D、

8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）

A、B、

C、D、

10.下列多项式能分解因式的是（）

（A）x2-y（B）x2+1（C）x2+y+y2（D）x2-4x+4

11．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（）

A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y－1）

C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x＋1）

12．下列各个分解因式中正确的是（）

A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）

B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）

C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）

D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）

13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（）

A.2B.4C.2y2D.4y2

三、把下列各式分解因式：

14、15、

16、17、

18、19、；

五、解答题

20、如图，在一块边长=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长=3.33cm的正方形。

求纸片剩余部分的面积。

21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径长。

利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？

（取3.14，结果保留2位有效数字）

22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第（5）个等式。

经典二：

因式分解小结

知识总结归纳

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1.因式分解的对象是多项式；

2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7.因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；

下面我们一起来回顾本章所学的内容。

1.通过基本思路达到分解多项式的目的

例1.分解因式

分析：

这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解一：

原式

解二：

原式=

2.通过变形达到分解的目的

例1.分解因式

解一：

将拆成，则有

解二：

将常数拆成，则有

3.在证明题中的应用

例：

求证：

多项式的值一定是非负数

分析：

现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。

本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

证明：

设，则

4.因式分解中的转化思想

例：

分解因式：

分析：

本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。

解：

设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B

说明：

在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

中考点拨

在中，三边a,b,c满足求证：

1.若x为任意整数，求证：

的值不大于100。

2.将

一、填空：

（30分）

1、若是完全平方式，则的值等于_____。

2、则=____=____3、与的公因式是＿

4、若=，则m=_______，n=_________。

5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的

有________________________，其结果是_____________________。

6、若是完全平方式，则m=_______。

7、

8、已知则

9、若是完全平方式M=________。

10、，

11、若是完全平方式，则k=_______。

14、若则___。

12、若的值为0，则的值是________。

13、若则=_____。

15、方程，的解是________。

二、选择题：

（10分）

1、多项式的公因式是（）

A、－a、B、C、D、

2、若，则m，k的值分别是（）

A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、

3、下列名式：

中能用平方差公

式分解因式的有（）

A、1个，B、2个，C、3个，D、4个

4、计算的值是（）

A、B、

三、分解因式：

（30分）

1、2、3、4、

5、6、7、8、

四、代数式求值（15分）

1、已知，，求的值。

2、若x、y互为相反数，且，求x、y的值

3、已知，求的值

五、计算：

（15）

（1）0.75

（2）　（3）

六、试说明：

（8分）

1、对于任意自然数n，都能被动24整除。

2、两个连续奇数的积加上其中较大