相交线与平行线常考题目及答案绝对经典.docx
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相交线与平行线常考题目及答案绝对经典
相交线与平行线
一・选择题（共3小题）
1.在同一平面，有8条互不重合的直线，h,b,4…h,若1】丄12,h〃13,
1:
」h,h//l5…以此类推，则h和h的位置关系是（）
A.平行B.垂直C.平行或垂直D.无法确定
2.如图，直线AB、CD相交于0,0E丄AB,0F丄CD,则与Z1互为余角的有
A.3个B.2个C・1个D.0个
3.
如图所示，同位角共有（
二.填空题（共4小题）
4.一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成块.
5.如图，P点坐标为（3,3）,1.丄12,1】、12分别交x轴和y轴于A点和B
点，则四边形OAPB的面积为・
6.如图，直线Zl=20°,则Z2+Z3二
7.将一副学生用三角板按如图所示的方式放置.若AE〃BC,则ZAFD的度
评卷人得分
三・解答题（共43小题）
8.已知：
直线EF分别与直线AB,CD相交于点F,E,EM平ZFED,AB〃CD,
H,P分别为直线AB和线段EF上的点.
X'HF/BAHnF/B
（1）如图1,HM平分ZBHP,若HP丄EF,求ZM的度数.
（2）如图2,EN平分ZHEF交AB于点N,NQ丄EM于点Q,当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究ZFHE与ZENQ的关系，并证明你的结论・
9.我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？
一般地，n条直线最多有多少个交点？
说明理由.
10.如图，直线AB,CD相交于点0,0A平分ZE0C.
（1）若ZE0C=70°,求ZB0D的度数.
（2）若ZE0C：
ZE0D=4：
5,求ZB0D的度数.
、/
C
11・如图，直线EF,CD相交于点0,0A丄0B,且0C平分ZA0F,
（1）若ZA0E=40°,求ZB0D的度数；
（2）若ZA0E二a,求ZB0D的度数；（用含a的代数式表示）
（3）
从
（1）
（2）的结果中能看出ZA0E和ZB0D有何关系？
右侧，DE平分ZADC,BE平分ZABC,直线DE、BE交于点E,ZCBN=100°.
（1）若ZADQ=130°,求ZBED的度数;
（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变,若ZADQ-n°,求ZBED的度数（用含n的代数式表示）.
13•如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若Zl=26°
（1）求Z2的度数
（2）若Z3=19°,试判断直线n和m的位置关系，并说明理由.
4AJ
c
14.如图，已知直线h〃12,X、打和1】、12分别交于点A、B、C、D,点P在直线X或打上且不与点A、B、C、D重合.记ZAEP二Zl,ZPFB二Z2,ZEPF=Z3.
（1）若点P在图
（1）位置时，求证：
Z3=Z1+Z2；
（2）若点P在图
（2）位置时，请直接写出Zl、Z2、Z3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出Zl、Z2、Z3之间的关系并给予证明.
（1）试探索ZABC,ZBCP和ZCPN之间的数量关系，并说明理由;
（1）求证:
AE/ZCD；
（2）反之，若ZB+ZD=ZE,直线AB与直线CD有什么位置关系？
简要说明理由.
（3）若将点E移至图2的位置，此时ZB、ZD、ZE之间有什么关系？
直接写出结论.
（4）若将点E移至图3的位置，此时ZB、ZD、ZE之间有什么关系？
直接写出结论.
（5）在图4中，AB〃CD,ZE+ZG与ZB+ZF+ZD之间有何关系？
直接写出结论.
18.如图1,AB〃CD,在AB、CD有一条折线EPF.
（1）求证：
ZAEP+ZCFP二ZEPF.
（2）如图2,已知ZBEP的平分线与ZDFP的平分线相交于点Q,试探索ZEPF与ZEQF之间的关系.
（3）如图3,已知ZBEQ二丄ZBEP,ZDFQ丄ZDFP,则ZP与ZQ有什么关系，
33
说明理由.
（4）已知ZBEQ二丄ZBEP,ZDFQ^ZDFP,有ZP与ZQ的关系为.（直
19.如图所示，L,U,Ls交于点（），Z1=Z2,Z3：
Zl=8：
1,求Z4的度
20.如图，一个由4条线段构成的“鱼"形图案，其中Zl=50°,Z2=50°,
（1）若ZA0C=70°,ZD0F=90°,求ZE0F的度数；
（2）若OF平分ZCOE,ZB0F=15°,若设ZA0E=x°.
1则ZE0F=.（用含x的代数式表示）
2求ZA0C的度数.
22.如图，直线AB、CD相交于点0,已知ZA0C二75°,0E把ZB0D分成两个角，且ZBOE：
ZE0D=2：
3.
（1）求ZE0B的度数；
（2）若0F平分ZA0E,问：
0A是ZC0F的角平分线吗？
试说明理由.
23.如图，直线AB、CD相交于点0,ZA0C=72°,射线0E在ZB0D的部,ZD0E=2ZB0E.
（1）求ZBOE和ZA0E的度数；
（2）若射线0F与0E互相垂直，请直接写出ZD0F的度数.
24.如图，直线AB,CD相交于点0,0A平分ZEOC,且ZEOC：
ZEOD二2：
3.
（1）求ZBOD的度数；
（2）如图2,点F在OC上，直线GH经过点F,FM平分ZOFG,且ZMFH-Z
BOD二90°,求证：
OE//GH.
25.如图,直线AB.CD相交于点0,0E平分ZBOC,ZCOF二90°.
（1）若ZB0E=70°,求ZAOF的度数；
（2）若ZBOD：
ZBOE=1：
2,求ZAOF的度数.
（1）VZ3=Z4（已知）
••・//（）
（2）VZDBE=ZCAB（已知）
.•・//（）
（3）VZADF+=180°（已知）
•••AD〃BF（）
27.如图，直线AB、CD相交于点0,0E平分ZBOD.
（1）若ZA0C=68°,ZD0F=90°,求ZEOF的度数.
（2）若OF平分ZCOE,ZB0F=30°,求ZAOC的度数.
28.将一副三角板拼成如图所示的图形，ZDCE的平分线CF交DE于点F.
（1）求证：
CF〃AB.
（2）求ZDFC的度数.
29.看图填空，并在括号注明说理依据.
如图，已知AC丄AE,BD丄BF,Zl=35°,Z2=35°,AC与BD平行吗？
AE与BF平行吗？
解：
因为Zl=35°,Z2=35°（已知），
所以Z1=Z2.
所以〃（）.
又因为AC丄AE（已知），
所以ZEAC=90°.（）
所以ZEAB=ZEAC+Z1=125°.
同理可得，ZFBG=ZFBD+Z2=0.
所以ZEAB=ZFBG（）.
所以//（同位角相等，两直线平行）.
30.已知如图所示，ZB=ZC,点B、A、E在同一条直线上，ZEAC=ZB+ZC,且AD平分ZEAC,试说明AD/7BC的理由.
31.如图，直线AB、CD相交于点0,0E把ZB0D分成两部分；
（1）直接写出图中ZA0C的对顶角为,ZB0E的邻补角为
（2）若ZA0C=70°,且ZBOE：
ZE0D二2：
3,求ZA0E的度数.
D
32.如图，已知AB/7CD,现将一直角三角形PMN放入图中，其中ZP=90°,PM交AB于点E,PN交CD于点F
（1）当APHN所放位置如图①所示时，则ZPFD与ZAEM的数量关系
为;
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：
ZPFD-ZAEM=90°；
（3）在
（2）的条件下，若MN与CD交于点0,且ZD0N=30°,ZPEB=15°,求ZX的度数.
33.阅读下面的推理过程，在括号填上推理的依据，如图:
因为Zl+Z2=180°,Z2+Z4=180°（已知）
所以Z1=Z4,（）
所以a〃c.（）
又因为Z2+Z3=180°（已知）
Z3=Z6（）
所以Z2+Z6=180°,（）
所以a〃b.（）
35.已知：
如图，AB〃CD,FE丄AB于G,ZEMD=134°,求ZGEM的度数.
36.如图，ZB和ZD的两边分别平行.
（1）在图1中，ZB和ZD的数量关系是,在图2中，ZB和ZD的
数量关系是;
（2）用一句话归纳的命题为：
;并请选择图1或图2中一种情况说
明理由；
（3）应用：
若两个角的两边分别互相平行，其中一个角是另一个角的2倍,求这两个角的度数.
图1图2
37.已知AD〃BC,AB〃CD,E为射线BC上一点，AE平分ZBAD.
（1）如图1,当点E在线段BC上时，求证：
ZBAE=ZBEA・
（2）如图2,当点E在线段BC延长线上时，连接DE,若ZADE=3ZCDE,Z
AED-600・
1求证：
ZABC=ZADC；
2求ZCED的度数•
38.如图，已知a〃b,ABCDE是夹在直线a,b之间的一条折线，试研究Z1、
39.如图，AB〃DC,增加折线条数，相应角的个数也会增多，ZB,ZE,Z
（1）如图1,点E在直线BD上的左侧，直接写出ZABE,ZCDE和ZBED之
间的数量关系是.
（2）如图2,点E在直线BD的左侧，BF,DF分别平分ZABE,ZCDE,直接
写出ZBFD和ZBED的数量关系是・
（3）
如图3,点E在直线BD的右侧BF,DF仍平分ZABE,ZCDE,那么ZBFD和ZBED有怎样的数量关系？
请说明理由.
41.
（1）如图，直线/b,c两两相交，Z3=2Z1,Z2=155°,求Z4的度数.
（2）如图，直线AB、CD相交于点0,0E平分ZBOD,0F平分ZCOE,ZA0D：
ZB0E=4：
U求ZA0F的度数.
42.如图，已知CD丄DA,DA丄AB,Z1=Z2.试说明DF/7AE・请你完成下列填空，把解答过程补充完整.
解：
TCD丄DA,DA丄AB,
AZCDA=90°,ZDAB二90°.（）
AZCDA=ZDAB.（等量代换）
又Z1=Z2,
从而ZCDA-Z1=ZDAB-.（等式的性质）
即Z3二.
•••DF〃AE.（）.
43.如图1,AB〃CD,EOF是直线AB、CD间的一条折线.
（1）说明：
ZO=ZBEO+ZDFO.
（2）如果将折一次改为折二次，如图2,则ZBEO、ZO、ZP、ZPFC会满足怎样的关系，证明你的结论.
（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论？
请写出你的结论.
44.如图，已知Zl=60°,Z2=60°,ZMAE=45°,ZFEG=15°,EG平分ZAEC,ZNCE=75°.求证：
（1）AB〃EF.
BE是ZABC的角平分线.
46.已知，直线AB/7CD,E为AB、CD间的一点，连结EA、EC.
（1）如图①，若ZA=30°,ZC=40°,则ZAEC=.
（2）如图②，若ZA=100°,ZC=120°,则ZAEC二.
（3）如图③，请直接写出ZA,ZC与ZAEC之间关系是
—B
E〈
——n
B
（7DD
图②图③
47.如图,
已知AB〃CD,
EF丄AB于点G,若Zl=30°
试求ZF的度数
48.生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活,就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：
（1）请你计算出图1中的ZABC的度数.
（2）图2中AE〃BC,请你计算出ZAFD的度数.
49.如图，将一矩形纸片ABCD沿EF对折，延长DE交BF于点G,若ZEFG=50°,求Zl,Z2的度数•
50.如图所示，在长方体中.
（1）图中和AB平行的线段有哪些？
（2）图中和AB垂直的直线有哪些？
••页脚.
参考答案及解析
一.选择题（共3小题）
1.在同一平面，有8条互不重合的直线，1“12,13…h,若h丄12,W
1：
」14,1„/715…以此类推，则1】和h的位置关系是（）
A.平行B.垂直C.平行或垂直D.无法确定
【分析】如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直.再根据“垂直于同一条直线的两直线平行”，可知L与Ls的位置关系是平行.
【解答】解：
V12/Z13,h丄h,L/h,h丄h,打丄h,
•J丄h,l」h,16±18,
・・・12丄h.
故选A
【点评】灵活运用“垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键.
2.如图，直线AB、CD相交于（），0E丄AB,OF丄CD,则与Z1互为余角的有
）
【分析】由0E丄AB,OF丄CD可知：
ZA0E=ZD0F=90°,而Zl、ZA0F都与ZE0F互余，可知Z1二ZA0F,因而可以转化为求Z1和ZA0F的余角共有多少个.
【解答】解：
TOE丄AB,OF丄CD,
ZA0E=ZD0F=90°,
即ZAOF+ZEOF=ZEOF+Z1,
.*.Z1=ZAOF,
ZCOA+Z1=Z1+ZEOF=Zl+ZB0D=900.
.•.与Z1互为余角的有ZCOA、ZEOF、ZBOD三个.
故选A.
【点评】本题解决的关键是由已知联想到可以转化为求Z1和ZAOF的余角.
3.如图所示，同位角共有（）
【分析】在基本图形“三线八角”中有四对同位角，再看增加射线GM、HN后，增加了多少对同位角，求总和.
【解答】解：
如图，由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对，射线GM和直线CD被直线EF所截，形成2对同位角；射线GM和直线HN被直线EF所截，形成2对同位角；射线HN和直线AB被直线EF所截，形成2对同位角.
则总共10对.
故选C.
【点评】本题主要考查同位角的概念.即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角.
二.填空题（共4小题）
4.一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成8块.
【分析】一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成23=8块.
【解答】解：
长方体橡皮可以想象为立体图形，第一次最多切2块，第二次在第一次的基础上增加2倍，第三次在第二次的基础上又增加2倍，故最多能被分成8块.
【点评】本题考查了学生的空间想象能力，分清如何分得到的块数最多是解决本题的关键.
5.如图，P点坐标为（3,3）,1.丄h,1】、12分别交x轴和y轴于A点和B
点，则四边形OAPB的面积为9.
【分析】过Z2的顶点作12的平行线1,则1由平行线的性质得出
Z4=Z1=2O°,ZBAC+Z3=180°,即可得出Z2+Z3=200°.
【解答】解：
过Z2的顶点作I的平行线1,如图所示：
则1〃1|〃12,
Z4=Z1=2O°,ZBAC+Z3=180°,
AZ2+Z3=180°+20°=200°；
故答案为：
200°.
【点评】本题考查了平行线性质：
两直线平行，同位角相等；两直线平行,同旁角互补；两直线平行，错角相等.
7.将一副学生用三角板按如图所示的方式放置.若AE〃BC,则ZAFD的度数是75°.
【分析】根据平行线的性质得到ZEDC=ZE=45°,根据三角形的外角性质得到ZAFD二ZC+ZEDC,代入即可求出答案.
【解答】解：
VZEAD=ZE=45°,
•・・AE〃BC,
.*.ZEDC=ZE=45O,
VZC=30°,
AZAFD=ZC+ZEDC=75°,
故答案为：
75°.
【点评】本题主要考查对平行线的性质，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能利用性质进行推理是解此题的关键，题型较好，难度适中.
三.解答题（共43小题）
8.已知：
直线EF分别与直线AB,CD相交于点F,E,EM平ZFED,AB〃CD,
H,P分别为直线AB和线段EF上的点.
”BAHNF/B
（1）如图1,HM平分ZBHP,若HP丄EF,求ZM的度数・
（2）如图2,EN平分ZHEF交AB于点N,NQ丄EM于点Q,当H在直线AB上
运动（不与点F重合）时，探究ZFHE与ZENQ的关系，并证明你的结论.
【分析】
（1）首先作MQ/7AB,根据平行线的性质，推得ZM二丄（ZFHP+ZHFP）；2
然后根据HP丄EF,推得ZFHP+ZHFP二90°,据此求出ZM的度数即可.
（2）①首先判断出ZNEQ二ZNEF+ZQEF二丄（ZHEF+ZDEF）二丄ZHED,然后22
根据NQ丄EM,可得ZNEQ+ZENQ二90。
推得ZENQ-i（180°-ZHED）二丄Z22
CEH,再根据AB〃CD,推得ZFHE=2ZENQ即可.
②首先判断出ZMEQ二ZQEF-ZNEF=i（ZDEF-ZHEF）=iZHED,然后根据22
NQ丄EM,可得ZNEQ+ZENQ二90°,推得ZENQ-丄（180°-ZHED）-丄ZCEH,
22
VAB//CD,MQ〃AB,
・・.MQ〃CD,
.•.Z1=ZFHM,Z2=ZDEM,
•••Z1+Z2二ZFHM+ZDEM-丄（ZFHP+ZFED）-丄（ZFHP+ZHFP）,
22
THP丄EF,
AZHPF=90°,
.•.ZFHP+ZHFP=180°-90°=90°,
VZ1+Z2=ZM,
•••ZM冷X90°二45°•
ZFHE=2ZENQ,理由如下:
ZNEQ=ZNEF+ZQEF=i（ZHEF+ZDEF）二丄ZHED,
22
TNQ丄EM,
AZNEQ+ZENQ=90°,
AZENQ-1（180°-ZHED）二丄ZCEH,
22
VAB/7CD,
AZFHE=ZCEH=2ZENQ.
ZFHE=180°-2ZENQ,理由如下:
Z5IEQ二ZQEF-ZNEF』（ZDEF-ZHEF）二丄ZHED,
22
TNQ丄EM,
AZNEQ+ZENQ-900,
ZENQ-i（180°-ZHED）二丄ZCEH,
22
VAB//CD,
.\ZFHE=180o-ZCEH=180°-2ZENQ.
综上，可得
当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，ZFHE=2ZENQ或ZFHE=180°-2ZENQ.
【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①定理1:
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：
两直线平行，同位角相等.定理2：
两条平行线被地三条直线所截，同旁角互补.简单说成：
两直线平行，同旁角互补.③定理3：
两条平行线被第三条直线所截，错角相等.简单说成：
两直线平行，错角相等.
9.我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？
一般地，n条直线最多有多少个交点？
说明理由.
【分析】分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数,找出规律即可解答.
【解答】解：
如图：
2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2个交点；
4条直线相交有1+2+3个交点；
5条直线相交有1+2+3+4个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；
【点评】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交有啤2L个交点.
10.如图，直线AB,CD相交于点0,0A平分ZE0C.
（1）若ZE0C=70°,求ZB0D的度数.
（2）若ZEOC：
ZE0D二4：
5,求ZB0D的度数・
A/OB
C
【分析】
（1）根据角平分线的定义求出ZAOC的度数，根据对顶角相等得到答案；
（2）设ZE0C=4x,根据邻补角的概念列出方程，解方程求出ZE0C=80o,根据角平分线的定义和对顶角相等计算即可得到答案.
【解答】解：
（1）•.•ZE0C=70°,0A平分ZEOC,
ZA0C=35°,
.*.ZBOD=ZAOC=350；
（2）设ZE0C=4x,则ZE0D=5x,
.•.5x+4x=180°,
解得x=20°,
则ZE0C=80°,
又TOA平分ZEOC,
AZA0C=40°,
AZB0D=ZA0C=40°.
【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质以及角平分线的定义，
掌握对顶角相等、邻补角之和等于180。
是解题的关键.
11.如图，直线EF,CD相交于点0,0A丄0B,且0C平分ZAOF,
（1）若ZA0E=40°,求ZBOD的度数；
（2）若ZAOE=a,求ZBOD的度数；（用含a的代数式表示）
（3）从
（1）
（2）的结果中能看出ZAOE和ZBOD有何关系？
【分析】
（1）、
（2）根据平角的性质求得ZAOF,又有角平分线的性质求得Z
FOC；然后根据对顶角相等求得ZEOD=ZFOC；ZB（）E=ZAOB-ZAOE,ZBOD=
ZEOD-ZBOE；
（3）由
（1）、
（2）的结果找出它们之间的倍数关系.
【解答】解：
（1）VZA0E+ZA0F=180°（互为补角）,ZA0E=40°,
ZA0F=140°；
又TOC平分ZAOF,
ZFOC-1ZAOF=7O°,
2
ZE0D=ZF0C=70°（对顶角相等）；
而ZBOE=ZAOB-ZAOE=5O°,
ZBOD=ZEOD-ZB0E=20°；
（2）VZA0E+ZA0F=180°（互为补角），ZAOE=a,
ZA0F=180°-a；
又TOC平分ZAOF,
ZFOC-IZAOF二90°-丄a,
22
AZE0D=ZF0C-90°-丄a（对顶角相等）；
而ZBOE=ZAOB-ZA0E=90°-a,
AZBOD-ZEOD-ZBOE-丄a；
2
（3）从
（1）
（2）的结果中能看出ZAOE=2ZBOD.
【点评】本题利用垂直的定义，对顶角和互补的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点.
12.如图1,已知MN〃PQ,B在MN上,C在PQ上,A在B的左侧,D在C的
右侧，DE平分ZADC,BE平分ZABC,直线DE、BE交于点E,ZCBN=100°.
（1）若ZADQ=130°,求ZBED的度数；
（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若ZADQ-n°,求ZBED的度数（用含n的代数式表示）.
【分析】
（1）过点E作EF〃PQ,由平行线的性质及角平分线求得ZDEF和ZFEB,即可求出ZBED的度数，
（2）过点E作EF〃PQ,由平行线的性质及角平分线求得ZDEF和ZFEB,即可求出ZBED的度数，
【解答】解：
（1）如图1,
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