北师大版八年级数学第一章《等腰三角形》导学案.docx

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北师大版八年级数学第一章《等腰三角形》导学案

§1.1.1等腰三角形

【学习目标】

1.掌握证明的基本步骤和书写格式,运用全等三角形的性质和判定定理证明相关结论.

2、掌握“等边对等角”和等腰三角形的“三线合一”.

【自主学习】

1.回忆证明的基本步骤：

2.列举我们已知道的公理：

（1）公理：

________________的两个三角形全等。

（简称___，字母表示__）

（2）公理：

________________的两个三角形全等。

（简称___，字母表示__）

（3）公理：

________________的两个三角形全等。

（简称___，字母表示__）

（4）公理：

全等三角形的对应边_____，对应角___。

【合作探究】

探究一：

三角形全等的判定

回忆：

判定一般的三角形全等还有什么方法？

推论:

________________的两个三角形全等。

（简称___，字母表示__）你能证明吗？

已知：

在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF，

求证：

△ABC≌△DEF

证明

探究二：

等腰三角形的性质定理

1、等腰三角形性质：

等腰三角形的两个____相等（简称________）

已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，

求证：

∠B＝∠C

证明一：

取BC的中点D，连接AD

证明二:

作∠BAD的角平分线AD,交BC于D,

∴_______（角平分线的定义）

在△ABD与△ACD中

________,________,________

∴△ABD≌△ACD（）

∴∠B＝∠C（）

以上证明过程中的AD有什么关系?

2、推论：

等腰三角形的顶角的________、底边上的________、底边上的________互相重合（简称：

________）

【达标检测】

1.P3随堂练习

2.P5习题1.11

3.在△ABC和△DEF中，以下四个命题中假命题是【】

A、由AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，可判断△ABC≌△DEF；

B、由∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF，可判断△ABC≌△DEF；

C、由AB=DE，AC=DF，BC=EF，可判断△ABC≌△DEF；

D、由∠A=∠D，∠B=∠E，AC=EF，可判断△ABC≌△DEF。

4.下列各组几何图形中，一定全等的是（）

A、各有一个角是55°的两个等腰三角形；B、两个等边三角形；

C、腰长相等的两个等腰直角三角形；

D、各有一个角是50°，腰长都为6cm的两个等腰三角形.

5.若等腰三角形中有一个角等于50°，则等腰三角形的顶角度数为___

6.如图，已知：

AB∥CD，AB=CD，添加一个条件，

使△ABE≌△CDF,说明你的理由。

§1.1.2等腰三角形

【学习目标】

1.进一步运用全等三角形定理证明等腰三角形相关结论

2、经历探索、猜想、证明”的过程，进一步发展推理证明意识和能力.；

【自主学习】

1.等腰三角形的一个内角为700，则顶角为.

2.在△ABC中，AB＝AC,∠A＝60°,则∠B＝___,∠C＝___

【合作探究】

1.阅读教材P5例1

2.尝试证明:

等腰三角形的两底的角平分线相等

已知：

求证：

证明：

3.试一试:

等腰三角形两条腰上的中线相等吗？

高呢？

（1）已知：

在△ABC中，AB＝AC,BD和CE分别是两腰上的中线

求证：

BD=CE

证明：

∵BD和CE分别是两腰上的中线

∴AD=

___，AE=

___,（）

∵________（）

∴AD=AE（）

在△ABD与△AEC中

________,________,________

∴△ABD≌△AEC（）

∴BD=CE（）

（2）已知：

在△ABC中，AB＝AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E

求证：

BD=CE

证明：

∵BD⊥AC,CE⊥AB

∴∠ADB=___=___°（）

在△ABD与△AEC中

________,________,________

∴△ABD≌△AEC（）

∴BD=CE（）

以上结论还有其他证明方法吗?

4.议一议（P5）

【例题解析】

例:

证明:

等边三角形的三个内角相等,

（等边三角形的性质）

已知：

求证：

证明：

【达标检测】

1.P6随堂练习

2.如图，已知D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,

求证:

BD=CE

§1.1.3等腰三角形

【学习目标】

1.能够证明等腰三角形的判定定理，并会运用其定理进行证明.

2、结合实例体会反证法的含义.

【自主学习】

1.等腰三角形的腰长和底边长分别是5cm,8cm,则顶角的角平分线长为（）A.2.5cmB.3cmC.4cmD.5cm

2.等腰三角形性质:

________

【合作探究】

探究一:

在△ABC中,∠B＝∠C,那么AB＝AC吗?

等腰三角形判定定理：

有两个____相等的三角形是等腰三角形

（简称________）

证明：

探究二:

阅读教材P8想一想

证明时,先_____________________,然后推出与_______、_________、___________________相矛盾的结果,从而_____________________,这样的证明方法称为反证法。

运用:

用反证法证明:

一个三角形中不能有两个角是直角

已知：

求证：

证明：

假设___________________

【例题解析】

例:

已知：

如图,AB=DC,BD=CA

求证：

△AED是等腰三角形

证明：

在△ABD与△DCA中

________,________,________

∴△ABD≌△DCA（）

∴_____（）

∴_____（等角对等边）

∴△AED是等腰三角形（）

【达标检测】

1.P9随堂练习

2.习题1.33（尺规作图）

3.用反证法证明三角形中必有一个内角不小于60°,应当先假设这个三角形

中（）

A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°

C.有一个内角大于60°D.每个内角都大于60°

4.在△ABC中，D是AC边上一点，其中∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，图中一共有几个等腰三角形？

找出其中的一个等腰三角形给予证明．

§1.1.4等腰三角形

【学习目标】

1.掌握“等边三角形判定”及“300角的直角三角形的性质”的推论，会用上述结论进行相关的计算和证明.

2、将探索、发现、猜想、证明有机结合起来，使数学思维的创造性和严谨性协调发展

【自主学习】

1.有一个角是600的等腰三角形是三角形；

2.如果三角形中有两个角都等于600，，那么这个三角形是不是等边三角形？

3.如果三角形中三个角都相等，那么这个三角形是不是等边三角形？

;

【合作探究】

探究一:

等边三角形的判定

判定1:

有一个角是600的是等边三角形

判定2:

三个角的三角形是等边三角形

已知：

在△ABC中,∠A＝∠B＝∠C

求证：

△ABC是等边三角形

证明：

∵∠A＝∠B

∴_______（等角对等边）

∵∠B＝∠C

∴_______（等角对等边）

∴______________（等量代换）

∴△ABC是等边三角形

探究二:

动手做一做

利用刻度尺测量一下含300角的三角板的斜边和较短的直角边，小组讨论有什麽样的结果?

结论：

___________________________________________________

已知：

在Rt△ABC中∠A＝300,∠C＝900,

求证：

BC=

AB

证明：

证法一:

如图1延长BC到D,使CD=AD,连接AD

在△ABC与△ADC中

________,________,________

∴△ABC≌△ADC（）

∴AB=AD,（）

∴△ABD是______三角形（）

∴BC=

BD=

AB（）

证法二:

如图2,在AB上取一点D,使BD=BC,

∵∠B＝600，

∴△BDC为_______三角形

∴∠DCB＝600,∠ACD＝900-∠DCB=900-600=300=∠A

∴DC＝____＝____

∴BC=

AB

【达标检测】

1.P12随堂练习

2、判断：

（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半.（）

（2）有一个角是600的三角形是等边三角形.（）

3.在Rt△ABC中，∠ACB=900,∠A=300,CD⊥AB,BD=1,则AB=。

4.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点，DE⊥AC,则AE:

EC=

5.等腰三角形的底边为150，腰长为2a，求腰上的高.

§1.2.1直角三角形

【学习目标】

1.掌握直角三角形的性质定理及判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

【自主学习】

1.在Rt△ABC中,∠C＝900，∠A＝350，则∠B＝________。

2.一直角三角形的两条边长为3和4，第三边长度为________。

3.与直角三角形相关的结论：

（1）.直角三角形两个锐角________。

（2）.两个锐角_____________________的三角形是直角三角形。

（3）.勾股定理：

_____________________________________。

（4）.如果在一个三角形中，当三边满足________________________时，这个直角三角形是直角三角形。

【合作探究】

探究一：

直角三角形的判定

你能证明结论（4）吗?

已知：

如图：

在△ABC中，AB2+AC2＝BC2

求证：

△ABC是直角三角形．

分析：

要从边的关系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个______三角形全等，而得到∠A与对应角（构造的三角形的直角）相等，即可证．

证明：

作Rt△A′B′C′，使∠A′＝____，A′B′＝____，A′C′=____

则A′B′2＋A′C′2=B′C′2.（勾股定理）．

∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝____，A′C′=____

∴________即________

在△ABC与△A′B′C′中

________,________,________

∴△ABC≌△A′B′C′（____）

∴∠A＝∠A′＝90°（____________）．

因此，△ABC是直角三角形．

归纳：

直角三角形的判定定理：

①____________________________________

②____________________________________

探究二：

互逆命题和互逆定理．

1.如果两个角是对顶角，那么它们相等．条件：

__________结论：

_________

如果两个角相等，那么它们是对顶角．条件：

__________结论：

_________

2.如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．条件：

__________结论：

_________

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．条件：

__________结论：

_________

3.三角形中相等的边所对的角相等．条件：

__________结论：

_________

三角形中相等的角所对的边相等．条件：

__________结论：

_________

观察上面命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?

在前面的学习中还有类似的命题吗?

结论1：

在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的________和________，那么这两个命题称为________命题，其中一个命题称为另一个命题的________，相对于逆命题来说，另一个就为________．

请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢?

巩固练习P16随堂练习3

结论2；原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为_______

你能举例说出我们已学过的互逆定理吗?

【达标检测】

1.P16随堂练习1,2

2.命题：

“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”，是_______命题，（填“真”“假”），它的的逆命题是___________________________，是_______命题，

3、若一个直角两直角边之比为3：

4，斜边长20CM，则两直角边为。

4、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为________，斜边上的高为_________。

§1.2.2直角三角形

【学习目标】

1.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性

2.利用“HL’’定理解决实际问题

【自主学习】

1.我们以前学过的的三角形全等的证明方法有_________________

2.如图，在△ABC与△A′B′C′中，BC=B′C′,

∠C＝∠C′=90°,要证明△ABC≌△A′B′C′，

可添加条件____利用“SAS”：

可添加条件____利用“ASA”

可添加条件____利用“AAS”；

添加AB=A′B′是否可以证明两三角形全等？

为什么？

【合作探究】

1.做一做：

做Rt△ABC，使∠C＝90°，AC=a，AB=b，小组比较讨论所作三角形全等吗？

_a___

b__

2.试一试：

直角三角形的全等判定

已知：

在△ABC与△A′B′C′中，∠C=∠C′＝90°，BC=B′C′,AC=A′C′

求证：

Rt△ABC≌Rt△A'B'C'

证明：

在Rt△ABC中，AC2=___（勾股定理）．

在Rt△△A′B′C′中，A′C′2=___（勾股定理）

∵______．

∴AC=A′C′

在△ABC与△A′B′C′中

________,________,________

∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（_____）．

定理：

______对应相等的两个直角三角形全等．

（这一定理可以简单地用“_____”或“___”表示．）

【例题解析】

例1：

如图已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要一个什么条件？

把它们分别写出来并“HL”加以证明。

【达标检测】

1.P20随堂练习1,2

2.下列说法正确的有（）

（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等。

（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等。

（4）有两条边相等的两个直角三角形全等。

（5）有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

A：

2个B：

3个C：

4个D：

5个

3.如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件_______或；若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件或．

4.如图，在△ABC中，已知AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：

DE＝DF

§1.3.1线段的垂直平分线

【学习目标】

1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．

2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。

【自主学习】

1.________叫做线段的垂直平分线（又叫中垂线）.

2.线段的垂直平分线性质：

________.

3.已知：

如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直

平分线交BC于D则∠ADC=。

【合作探究】

探究一：

线段垂直平分线的性质定理

改写命题：

如果_____那么_____

已知：

如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P为MN上一点．

求证：

PA=PB．

分析：

要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．

证明：

∵MN⊥AB，

∴==90°（__）

在△PCA与△PCB中

__，__，__

∴△PCA≌△PCB（）．；

∴PA=PB（__）．

探究二：

线段垂直平分线的判定定理

写出性质定理的逆命题：

如果_____那么_____

已知：

线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．

求证：

P点在AB的垂直平分线上．

证法一：

（作垂直证中点）过点P作PC⊥AB,垂足为C

在Rt△PAC与Rt△PBC中

则∠ACP=∠BCP=∠90°

在Rt△PAC与Rt△PBC中

__，__，

∴Rt△PAC≌Rt△PBC（__）．

∴__，

∴P点在AB的垂直平分线上．

证法二：

（作垂直证中点）取AB的中点C，过PC作直线．

∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB

∴P点在AB的垂直平分线上．

【例题解析】

例：

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.

求证：

直线AO垂直平分线段BC。

．

证明：

∵AB=AC，

【达标检测】

1.P23随堂练习1,2

2.如图，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分

AB，则△BCD的周长是。

3.已知：

如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C的度数。

4.

如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.

§1.3.2线段的垂直平分线

【学习目标】

1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点

2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形．

【自主学习】

1.在△ABC中,AB=AC,∠B=580,AB的垂直平分线交AC于N,则∠NBC=.

2.回忆尺规作图做线段垂直平分线的方法

3.已知线段AB，请你用尺规作出它的垂直平分线。

AB

【合作探究】

1.做一做：

任意画一个三角形，并运用尺规作图作三边的垂直平分线

观察图形回答问题：

（1）三条垂直平分线有什么位置关系？

（2）对于所有三角形都成立吗？

试说明理由。

2.试一试

已知：

在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP．

求证：

P点在AC的垂直平分线上．

证明：

归纳定理：

三角形三边的垂直平分线相交于，并且这一点到三个顶点的距离

3.议一议

（1）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?

能作几个?

已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．

已知：

线段a、hah

求作：

△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h

（2）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?

如果能，能作几个?

所作出的三角形都全等吗?

4.想一想：

认真观察教材P25:

“做一做”中图1-21，

在右图中用同样的方法完成作图.l

P

拓展：

如果点P是直线l外一点，那么怎样用尺规作l的垂线，使它经过点P呢？

说说你的作法，并与同伴交流.

【达标检测】

1.P26随堂练习

2.下列命题中正确的命题有（）

①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.在△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠DAC=15°，则∠B等于（）

A.37.5°B.67.5°C.37.5°或67.5°D.无法确定

4.△ABC三条垂直平分线相交于一点，当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的______；当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的______；当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的______.

§1.4.1角平分线

【学习目标】

1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．

2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．

【自主学习】

1.________叫做角平分线

2.角平分线性质：

________.

3.OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，

PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（）

A.PD=PEB.OD=OEC.∠DPO=∠EPOD.PD=OD

【合作探究】

探究一：

角平分线的性质定理

改写命题：

如果_____那么_____

已知：

如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．

求证：

PD=PE

分析：

要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．

证明：

∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴==90°（__）

在△PDO与△PEO中

__，__，__

∴△PDO≌△PEO（__）．

∴PD=PE（____）．

探究二：

角平分线的判定定理

写出性质定理的逆命题：

如果_____那么_____

已知：

在么AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E分别为垂足，且PD=PE，

求证：

点P在∠AOB的角平分线上．（OP是∠AOB角平分线）

分析：

要想证明OP是∠AOB角平分线，只需证明__即可.

证明：

∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴==90°（__）

在Rt△ODP和Rt△OEP中

__，__，

∴Rt△ODP≌Rt△OEP（__）．

∴__，（全等三角形对应角相等）．

∴点P在∠AOB的角平分线上．

练一练：

在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________。

【达标检测】

1.P29随堂练习1,2

2.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

图1图2

3..如图2，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF

②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是（）

A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③

§1.4.2角平分线

【学习目标】

1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．

2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用

【自主学习】

1.如图1，AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC