北师大版八年级数学第一章《等腰三角形》导学案.docx

1、北师大版八年级数学第一章等腰三角形导学案1.1.1 等腰三角形【学习目标】1.掌握证明的基本步骤和书写格式,运用全等三角形的性质和判定定理证明相关结论.2、掌握“等边对等角”和等腰三角形的“三线合一”.【自主学习】1.回忆证明的基本步骤：2.列举我们已知道的公理： （1）公理：_ 的两个三角形全等。（简称_，字母表示_） （2）公理：_ 的两个三角形全等。（简称_，字母表示_） （3）公理：_ 的两个三角形全等。（简称_，字母表示_） （4）公理：全等三角形的对应边_，对应角_。 【合作探究】 探究一：三角形全等的判定 回忆：判定一般的三角形全等还有什么方法？ 推论: _ 的两个三角形全等。

2、（简称_，字母表示_）你能证明吗？ 已知：在ABC和DEF中，A=D,B=E,BC=EF，求证：ABCDEF 证明探究二：等腰三角形的性质定理 1、等腰三角形性质：等腰三角形的两个_相等（简称_） 已知：如图，在ABC中，ABAC，求证：BC 证明一：取BC的中点D，连接AD 证明二:作BAD的角平分线AD,交BC于D, _(角平分线的定义) 在ABD与ACD中 _,_,_ ABDACD( ) BC ( ) 以上证明过程中的AD有什么关系?2、推论：等腰三角形的顶角的_、底边上的_、底边上的_互相重合（简称：_） 【达标检测】1.P3 随堂练习 2.P5 习题1.1 13.在ABC和DEF中，

3、以下四个命题中假命题是【 】 A、由AB=DE，BC=EF，B=E，可判断ABCDEF； B、由A=D，C=F，AC=DF，可判断ABCDEF； C、由AB=DE，AC=DF，BC=EF，可判断ABCDEF； D、由A=D，B=E，AC=EF，可判断ABCDEF。 4.下列各组几何图形中，一定全等的是（ ） A、各有一个角是55的两个等腰三角形；B、两个等边三角形； C、腰长相等的两个等腰直角三角形； D、各有一个角是50，腰长都为6cm的两个等腰三角形. 5.若等腰三角形中有一个角等于50，则等腰三角形的顶角度数为 _ 6.如图，已知：ABCD，AB=CD，添加一个条件， 使ABECDF,说

4、明你的理由。 1.1.2 等腰三角形【学习目标】1.进一步运用全等三角形定理证明等腰三角形相关结论2、经历探索、猜想、证明”的过程，进一步发展推理证明意识和能力.；【自主学习】1.等腰三角形的一个内角为700，则顶角为 . 2.在ABC中，ABAC,A60, 则B_,C _【合作探究】1.阅读教材P5 例12.尝试证明:等腰三角形的两底的角平分线相等 已知： 求证： 证明：3.试一试:等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？ (1)已知：在ABC中，ABAC,BD和CE分别是两腰上 的中线 求证：BD=CE 证明：BD和CE分别是两腰上的中线 AD=_，AE =_,( ) _( ) AD=AE(

5、 ) 在ABD与AEC中 _,_,_ ABDAEC( ) BD=CE( ) (2)已知：在ABC中，ABAC,BDAC于D,CEAB于E 求证：BD=CE 证明：BDAC,CEAB ADB=_=_( ) 在ABD与AEC中 _,_,_ ABDAEC( ) BD=CE( )以上结论还有其他证明方法吗?4.议一议(P5)【例题解析】例:证明:等边三角形的三个内角相等, (等边三角形的性质) 已知： 求证： 证明：【达标检测】1.P6 随堂练习 2. 如图，已知D、E在ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE 1.1.3 等腰三角形【学习目标】1.能够证明等腰三角形的判定定理，并会

6、运用其定理进行证明.2、结合实例体会反证法的含义.【自主学习】1.等腰三角形的腰长和底边长分别是5cm,8cm,则顶角的角平分线长为( ) A.2.5cm B.3cm C.4cm D.5cm2.等腰三角形性质:_【合作探究】探究一:在ABC中,BC ,那么ABAC吗? 等腰三角形判定定理：有两个_相等的三角形是等腰三角形 （简称_） 证明：探究二:阅读教材P8 想一想 证明时,先_,然后推出与_、_、_相矛盾的结果,从而_,这样的证明方法称为反证法。运用:用反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角已知： 求证： 证明：假设_【例题解析】例:已知：如图,AB=DC,BD=CA 求证：AED是等

7、腰三角形 证明：在ABD与DCA中 _,_,_ ABDDCA( ) _( ) _( 等角对等边 ) AED是等腰三角形( )【达标检测】1.P9 随堂练习 2.习题1.3 3 (尺规作图)3.用反证法证明三角形中必有一个内角不小于60,应当先假设这个三角形 中( ) A.有一个内角小于60 B.每一个内角都小于60 C.有一个内角大于60 D.每个内角都大于604. 在ABC中，D是AC边上一点，其中A =36，DBC =36，C =72，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明1.1.4 等腰三角形【学习目标】1.掌握“等边三角形判定”及“300角的直角三角形的性质”的推论

8、，会用上 述结论进行相关的计算和证明.2、将探索、发现、猜想、证明有机结合起来，使数学思维的创造性和严谨性协调发展【自主学习】1.有一个角是600的等腰三角形是 三角形；2.如果三角形中有两个角都等于600， ，那么这个三角形是不是等边三角形？ 3.如果三角形中三个角都相等，那么这个三角形是不是等边三角形？ ;【合作探究】探究一:等边三角形的判定 判定1:有一个角是600的 是等边三角形 判定2:三个角 的三角形是等边三角形 已知：在ABC中,ABC 求证：ABC是等边三角形 证明：AB _(等角对等边) BC _(等角对等边) _(等量代换) ABC是等边三角形探究二:动手做一做 利用刻度尺

9、测量一下含300角的三角板的斜边和较短的直角边，小组讨论有什麽样的结果?结论：_已知：在RtABC中A300,C900, 求证： BC=AB 证明： 证法一:如图1延长BC到D,使CD=AD,连接AD 在ABC与ADC中 _,_,_ ABCADC( ) AB=AD,( ) ABD是_三角形( ) BC=BD=AB( ) 证法二:如图2,在AB上取一点D,使BD=BC,B600， BDC为_三角形 DCB600,ACD900-DCB=900-600=300=A DC_ BC=AB【达标检测】1.P12 随堂练习2、判断： （1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半.（ ）（2）有一个角是600的三

10、角形是等边三角形.（ ）3.在RtABC中，ACB=900, A =300,CDAB,BD=1,则AB= 。4.在ABC中，AB=AC,BAC=1200,D是BC的中点， DEAC,则AE:EC= 5.等腰三角形的底边为150，腰长为2a，求腰上的高.1.2.1 直角三角形【学习目标】1.掌握直角三角形的性质定理及判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立【自主学习】1. 在RtABC中,C900，A350，则B_。2.一直角三角形的两条边长为3和4，第三边长度为_。3.与直角三角形相关的结论： （

11、1）.直角三角形两个锐角_。 （2）. 两个锐角_的三角形是直角三角形。 （3）.勾股定理：_。（4）.如果在一个三角形中，当三边满足_时，这个直角三角形是直角三角形。【合作探究】探究一：直角三角形的判定你能证明结论（4）吗?已知：如图：在ABC中，AB2+AC2BC2求证：ABC是直角三角形分析：要从边的关系，推出A90是不容易的，如果能借助于ABC与一个_三角形全等，而得到A与对应角(构造的三角形的直角)相等，即可证证明：作RtABC，使A_，AB_，AC=_ 则AB2AC2=BC2.(勾股定理)AB2AC2BC2，AB_，AC=_ 即_在ABC与ABC中 _,_,_ABCABC（_）AA

12、90(_)因此，ABC是直角三角形归纳：直角三角形的判定定理：_探究二：互逆命题和互逆定理1.如果两个角是对顶角，那么它们相等条件：_结论：_如果两个角相等，那么它们是对顶角条件：_结论：_2.如果小明患了肺炎，那么他一定发烧条件：_结论：_如果小明发烧，那么他一定患了肺炎条件：_结论：_3.三角形中相等的边所对的角相等条件：_ 结论：_三角形中相等的角所对的边相等条件：_结论：_观察上面命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗?结论1：在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的_和_，那么这两个命题称为_命题，其中一个命题称为另一个命题的_，相对于逆

13、命题来说，另一个就为_请同学们判断每组原命题的真假逆命题呢?巩固练习 P16 随堂练习 3结论2；原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为_你能举例说出我们已学过的互逆定理吗?【达标检测】1.P16 随堂练习 1,22.命题：“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”，是_命题，（填“真”“假”），它的的逆命题是_，是_命题，3、若一个直角两直角边之比为3：4，斜边长20CM，则两直角边为 。4、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为_，斜边上的高为_。1.2.2 直角三角形【学习目标】1.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性2.利用“HL定理

14、解决实际问题【自主学习】1.我们以前学过的的三角形全等的证明方法有_2.如图，在ABC与ABC中，BC= BC,CC=90,要证明ABCABC，可添加条件 _利用“SAS”： 可添加条件 _利用“ASA” 可添加条件 _利用“AAS”；添加AB=AB是否可以证明两三角形全等？为什么？【合作探究】1.做一做：做RtABC，使C90，AC=a，AB=b，小组比较讨论所作三角形全等吗？ _a_ _ b _ 2.试一试：直角三角形的全等判定 已知：在ABC与ABC中，C=C90，BC =BC, AC =AC求证：RtABCRtABC 证明：在RtABC中，AC2= _ (勾股定理)在RtABC中，AC

15、2 = _ (勾股定理) _ _AC =AC在ABC与ABC中 _,_,_RtABCRtABC (_)定理： _ _对应相等的两个直角三角形全等 （这一定理可以简单地用“ _ _”或“ _ ”表示）【例题解析】例1：如图已知ACB=BDA=90，要使ACBBDA，还需要一个什么条件？把它们分别写出来并“HL”加以证明。 【达标检测】1.P20 随堂练习 1,22. 下列说法正确的有（ ）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等。（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等。（4）有两条边相等的两个直角三角形全等。（5）有斜边和条直角边

16、对应相等的两个直角三角形全等。A：2个 B：3个 C：4个 D：5个3. 如图，在ABC和ABD中，C=D=90，若利用“AAS”证明ABCABD，则需要加条件 _或 ； 若利用“HL”证明ABCABD，则需要加条件 或 4.如图，在ABC中，已知AB=AC， D是BC中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F， 求证：DEDF1.3.1 线段的垂直平分线【学习目标】 1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理2经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力丰富对几何图形的认识。【自主学习】1. _ _ _ 叫做线段的垂直平分线（又叫中垂线）. 2. 线段的垂直平分线性质： _ _

17、_ .3.已知：如图，BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则ADC= 。【合作探究】探究一：线段垂直平分线的性质定理改写命题：如果_ _ 那么_ _ 已知：如图，直线MNAB，垂足是C，且AC=BC，P为MN上一点求证：PA=PB分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等证明： MNAB， = =90( _ )在PCA与PCB中 _ ， _ ， _ PCAPCB( ) ；PA=PB( _ )探究二：线段垂直平分线的判定定理写出性质定理的逆命题：如果_ _ 那么_ _ 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB求证：P点在AB的垂直平分线上证法一：

18、（作垂直证中点）过点P作PCAB,垂足为C 在RtPAC与RtPBC中则ACP=BCP=90在RtPAC与RtPBC中 _ ， _ ，RtPACRtPBC( _ ) _ ，P点在AB的垂直平分线上证法二：（作垂直证中点）取AB的中点C，过PC作直线PCA=PCB=90，即PCABP点在AB的垂直平分线上【例题解析】例：已知：如图，在 ABC 中，AB = AC，O 是 ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段BC。证明： AB = AC，【达标检测】1.P23 随堂练习 1,22.如图，ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，则BCD的周长是 。3.

19、已知：如图，DE是ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分BAC，若B=300，求C的度数。4.如图，在ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，BCE的周长等于50，求BC的长.1.3.2 线段的垂直平分线【学习目标】1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形【自主学习】1.在ABC中,AB=AC, B=580,AB的垂直平分线交AC于N,则NBC= .2.回忆尺规作图做线段垂直平分线的方法3.已知线段AB，请你用尺规作出它的垂直平分线。 A B【合作探究】1.做一做：任意画一个三角形，并运用尺规作图

20、作三边的垂直平分线观察图形回答问题： （1）三条垂直平分线有什么位置关系？ （2）对于所有三角形都成立吗？试说明理由。2.试一试已知：在ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP求证：P点在AC的垂直平分线上证明：归纳定理：三角形三边的垂直平分线相交于 ，并且这一点到三个顶点的距离 3.议一议（1）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?已知底边及底边上的高，求作等腰三角形已知：线段a、h a h 求作：ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h（2）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等

21、吗?4.想一想：认真观察教材P25:“做一做”中图1-21，在右图中用同样的方法完成作图 . l P拓展：如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流.【达标检测】1.P26 随堂练习 2. 下列命题中正确的命题有（ ）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.在ABC中，C=90，AB的中垂线交直线BC于D，若

22、DAC=15，则B等于（ ）A.37.5 B.67.5 C.37.5或67.5 D.无法确定4. ABC三条垂直平分线相交于一点，当ABC为锐角三角形时，点P在ABC的_；当ABC为直角三角形时，点P在ABC的_；当ABC为钝角三角形时，点P在ABC的_.1.4.1 角平分线【学习目标】 1. 会证明角平分线的性质定理及其逆定理2进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力 【自主学习】1. _ _ _ 叫做角平分线2. 角平分线性质： _ _ _ .3. OM平分BOA，P是OM上的任意一点，PDOA，PEOB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（

23、）A.PD=PE B.OD=OE C.DPO=EPO D.PD=OD【合作探究】探究一：角平分线的性质定理改写命题：如果_ _ 那么_ _ 已知：如图，OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D、E求证：PD=PE分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等证明：PDOA，PEOB， = =90( _ )在PDO与PEO中 _ ， _ ， _ PDOPEO( _ )PD=PE( _ _ )探究二：角平分线的判定定理写出性质定理的逆命题：如果_ _ 那么_ _ 已知：在么AOB内部有一点P，且PDOA，PEOB，D、E分别为垂足，且PD=PE，求

24、证：点P在AOB的角平分线上（OP是AOB角平分线）分析：要想证明OP是AOB角平分线，只需证明 _即可.证明：PDOA，PEOB， = =90( _ )在RtODP和RtOEP中 _ ， _ ，RtODP RtOEP(_ ) _ ，(全等三角形对应角相等)点P在AOB的角平分线上练一练：在RtABC中，C=90，AD是BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是_。 【达标检测】1.P29 随堂练习 1,22. 如图1，在ABC中，ACB=90,BE平分ABC，DEAB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于（ ）A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 图1 图2 3.如图2，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则ABEACF BDFCDE D在BAC的平分线上，以上结论中，正确的是（ ）A.只有 B.只有 C.只有和 D.，与1.4.2 角平分线 【学习目标】1. 证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用【自主学习】1.如图1，AD平分BAC，点P在AD上，若PEAB，PFAC