初等代数研究课后习题完整版余元希.docx
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初等代数研究课后习题完整版余元希
初等代数研究课后习题完整版
（1）对任何
a,b
N，
当且仅当
a
b时，b
a.
（2））对任何
a,b
N，
在a
b，
ab，a
b中有且只有一个成立
证明
：
对任何
a,b
N，
设A
a，
Bb
（1）
a”
a
b，则
B,
B,使A~B,，
BB,~A,ba
a”
b
a，则
B,
B,使B,~A，
A~B,B,ab
综上对任何
a,b
N，a
b
ba
（2）
由
（1）
a
b
ba
a
b与a1
b不可能同时成立，
假设a
b与a
b同时成立，
则B,
B,使A~B,且A~B，
1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即
B~B,与B为有限集矛盾,
ab与ab不可能同时成立,
综上，对任何a,bN，在ab，ab，a
b中有且只有一个成立
2、证明自然数的加法满足交换律
先证a
11
a，
设满足此式的
a组成集合
k，
显然有1+1=1+1成立
1k
，设
a
k，a11
a，则
a1
（a
）（a1）
（1a）
1
a
ak，
k
N，
取定a，则
1M，
设
b
M,abba，则
ab（a
b）
（b
a）ba
bM
I
M
N
对任何
a,b
N，
abba
证明：
对任何a,b
N设m为使等式abb
a成立的所有b组成的集合
3、证明自然数的乘法是唯一存在的
证明：
唯一性：
取定a，反证：
假设至少有两个对应关系
f,g，对bN，有
f（b）,g（b）N，设M是由使f（b）g（b）成立的所有的b组成的集合,
f（b）g（b）a11M
设bN则f（b）g（b）f（b）ag（b）a
f（b）g（b），bM，MN即bN，f（b）g（b）
乘法是唯一的
存在性：
设乘法存在的所有a组成集合K当a1时，bN,
，设aK,
111,1bbb
即乘法存在
A2,A2
A3a
3,As
A
A7
4,A
5基数和为2
3343528
p24—6、证明：
Aa,B
b，
A中的x与B中的
y对应
A
Bab，
B
Aba
ab
AB
ab
AB
AB
B
A
p24—&证明：
1）3+4=7
31
343
231
（31）4
5
33
32
（3
2）
5
6
34
33
（3
3）
6
7
2）34
12
31
3
32
31
31
36
33
32
32
3
9
34
33
33
3
12
p24—12、证明:
1）（m
n）
m
n
A5
（mn）
mn1（m1）n
2）（mn）nmm
（mn）mn1mn（m1）nmm
p26—36、已知f（m,n）对任何m,nN满足
f（1,n）n1
f（m1,1）f（m,2）
f（m
1,n1）
f（m,f（m1,n））
求证：
1）
f（2,n）
n2
2）
f（3,n）
2n2
3）
f（4,n）
2n12
证明：
1）当n1时，f（2,1）f（11,1）f（1,2）2112结论成立，
假设nk时，结论成立，即f（2,k）k2,
当nk1时，
f（2,k1）f（11,k1）f（1,f（2,k））
f（1,k2）（k2）1（k1）2所以对一切自然数结论都成立
2）当n1时，f（3,n）f（21,n）f（2,2）22212结论成立
假设nk时，结论成立，即f（3,k）2k2
当nk1时，
f（3,k1）f（21,k1）
f（2,f（3,k））
f（2,2k2）2k22
2（k1）2
所以对一切自然数结论都成立
3）当n1时，f（4,1）f（3
1,1）f（3,2）2222112结论成立
假设nk时，结论成立，即
k1
f（4,k）2k12
当nk1时，
f（4,k1）f（3,f（4,k））
f（3,2k12）
2（2k12）22k22
所以对一切自然数结论都成立
p62—1、证明定理2.1
证明：
[a,b],[c,d]Z，[a,b][c,d][ac,bd]
因为自然数加法满足交换律[ac,bd][ca,db]
而[c,d][a,b][ca,db][a,b][c,d][c,d][a,b]
证明：
“”已知[a,b][c,d]则adbc
[a,b][c,d][ad,bc][1,1]
“”已知[a,b][c,d][1,1]则[ad,bc][1,1],adbc
[a,b][c,d]
p62—4、已知a,bN，求证（[a,b]）[a,b]
证明：
[a,b][b,a]（[a,b]）[b,a][a,b]
p62—5、已知[a,b],[c,d]Z，求证（[a,b][c,d]）[a,b][c,d]
证明：
左边（[a,b][c,d]）[ad,bc][bc,ad]
右边[a,b][c,d][b,a][c,d][bc,ad]所以左边等于右边（[a,b][c,d]）[a,b][c,d]
p62—7、已知a,b,cN，求证当且仅当adbc时[a,b][c,d]
证明：
“”已知adbc，[a,b][c,d][ad,bc]
因为adbc[ad,bc]是负数，[a,b][c,d]
已知[a,b][c,d]则[a,b][c,d][ad,bc]
因为[ad,bc]是负数，adbc
p62—9、已知
Z，求证：
1）
2）
II
证明：
设
[a,b],
[Gd]
[ac,b
d]
（ac）（bd）
（a
c）
acbd
ab,
（b
d）
（ab）
（c
d）
[ac
（ad
II
bd,ad
bc]
ac
bd
（ad
bc）
a（cd）b（dc）
b）（c
d）
p63—12、n名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第
k名胜负的次数各为ak,bk，
、22
k1,2,,n,求证：
a1a2
a2b1
证明：
对于ak（k1,2,...,n），必存在一个bj（j1,2,...,n）使得ak
bj
a：
b2（k,j
22
a?
bf
...bn
p63—16、已知p10a
p10cd，求证padbc
证明：
由已知:
s,t
Z使10ab
ps，
10cdpt
10a
ps,d10c
pt
adbc
10ac
apt（10ac
cps）
p（csat）
padbc
p63—17、设2不整除a，求证8a21
证明：
因为2不整除a，所以存在唯一一对
q,rZ，使a
2qr，
其中0r2
r1，a24q24q1a2
4q（q1）
8a21
p63—20、设aZ，求证a（a1）（a2）（a3）1是奇数的平方
（a1）（a2）肯定为偶数
证明:
a（a
1）（a
2）（a3）1
[（a
1）
1]（a1）[（a2）（a2）1]1
[（a
1）2
（a1）][（a
2）2
（a
2）]1
（a
1）2（a
2）22（a
1）（a
2）
1
[（a
1）（a
2）1]2
a1,a2肯定一奇一偶
（a1）（a2）1肯定为奇数
p63—22、证明：
前n个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9
证明：
前n个自然数的和为°n）n
2
因为：
n个自然数的和仍为自然数1+n与n中必定一个为奇数一个为偶数
若个位数码为2
则1+n与n的个位数码只能是1,4或4,1
而（1+n）-n=1个位数码不能为2
若个位数码为4
则1+n与n的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立若个位数码为7
则1+n与n的个位数码有2种可能，则2,7或1,14
也不可能成立，若个位数码为9
则1+n与n的个位数码有2种可能，即2,9或1,18也不可能成立，
综上，前n个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9
p63—26、证明2.3定理1（a1,a2,……a.,）=（a1,a2,……an）
证明：
因为：
（a1,a2,……a“）是印^,……an的公因数中的最大数
所以R需考虑非负整数（a1,a2,an,）=（a1,a2,an）
p63—29、证明2.3定理4的推论（a,b）1的充要条件是有x,yZ使得axby1
证明：
因为（a,b）1
a,b不全为0
“”由定理4
x,yZ使axby（a,b）1
“”设（a,b）
d则da,db,daxbyd1d（a,b）1
p63—30、证明2.3定理6及其推论。
定理6：
若mN，贝U（ma,mb）m（a,b）
证明：
若a,b都为0,则（0,0）m（0,0）显然成立
若a,b不全为零，则X0,y°Z使ax°by。
（a,b）
IIIIII
maxmby（ma,mb）而maxmbym（axby）
因为x,yZ,ax0by°axbyax0by。
axby
m（ax0by0）maxmbym（a,b）maxmbym（a,b）（ma,mb）
而（ma,mb）amx^mby0m（a,b）（ma,mb）m（a,b）
推论：
设d是a,b的公因数，贝U（a/d,b/d）1的充要条件是d（a,b）
证明：
“”d是a,b的公因数dNdd（a/d,b/d）（a,b）
“”因为d（a,b）x,yZ，使axbyd
x,yZ，使（a/d）x（b/d）y1（a/d,b/d）1
p64—32、证明2.3定理七及其推论
定理七：
若（a,c）1,bZ,b,c中至少有一个不为0,则（ab,c）（b,c）
证明：
b,c中至少有一个不为0x,yZ使abxcy（a
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