初等代数研究课后习题完整版余元希.docx

1、初等代数研究课后习题完整版余元希初等代数研究课后习题完整版（1）对任何a,bN，当且仅当ab时，ba.（2）对任何a,bN，在ab，a b， ab 中有且只有一个成立证明：对任何a,bN，设Aa，Bb（1）a ”ab，则B,B,使 A B,，B B, A, b aa ”ba，则B,B ,使 B, A ，A B, B , a b综上 对任何a,bN ， abba（2）由（ 1）abbaab与a 1b 不可能同时成立，假设 ab与ab 同时成立，则 B,B,使 A B,且 A B，1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即B B,与B为有限集矛盾,a b与a b不可能同时成立,综上，对任何 a

2、,b N ，在 a b， a b， ab 中有且只有一个成立2、证明自然数的加法满足交换律先证 a11a，设满足此式的a 组成集合k，显然有 1+1=1+1 成立1k，设ak ， a 1 1a，则a1(a) (a 1)(1 a)1aa k ，kN，取定 a ，则1 M ，设bM,a b b a，则a b (ab)(ba) b abMIMN对任何a,bN，a b b a证明：对任何 a,bN设m为使等式abba 成立的所有 b 组成的集合3、证明自然数的乘法是唯一存在的证明：唯一性：取定 a ，反证：假设至少有两个对应关系f,g，对 b N，有f（b）, g（b） N，设M是由使f （b） g（

3、b）成立的所有的b组成的集合,f (b) g(b) a 1 1 M设b N 则 f (b) g(b) f (b) a g(b) af(b ) g(b )， b M ， M N 即 b N， f(b) g(b)乘法是唯一的存在性：设乘法存在的所有 a组成集合K 当a 1时， b N ,，设 a K ,11 1,1 b b b即乘法存在A 2,A2A3 a3,AsAA74, A5基数和为23 3 4 3 5 28p24 6、证明：A a, Bb，A中的x与B中的y对应AB ab，BA baabA BabA BA BBAp24 &证明：1) 3+4=73 13 4 32 3 1(3 1) 453 3

4、3 2(32)563 43 3(33)672)3 4123 133 23 13 13 63 33 23 2393 43 33 3312p2412、证明:1)(mn )mnA5(m n )m n 1 (m 1) n2) (mn ) nm m(mn ) mn 1 mn (m 1) nm mp26 36、已知f(m, n)对任何m,n N满足f(1,n) n 1f(m 1,1) f(m,2)f(m1,n 1)f (m, f (m 1,n)求证： 1 )f(2,n)n22)f(3,n)2n 23)f(4,n)2n 1 2证明：1)当 n 1 时，f(2,1) f(1 1,1) f(1,2) 2 1 1

5、 2结论成立，假设n k时，结论成立，即 f (2, k) k 2 ,当 n k 1时，f(2,k 1) f(1 1,k 1) f(1,f(2,k)f(1,k 2) (k 2) 1 (k 1) 2 所以对一切自然数结论都成立2)当 n 1时， f(3,n) f(2 1,n) f(2,2) 2 2 2 1 2结论成立假设n k时，结论成立，即 f(3,k) 2k 2当 n k 1 时，f(3,k 1) f(2 1,k 1)f(2, f(3,k)f (2,2k 2) 2k 2 22(k 1) 2所以对一切自然数结论都成立3)当 n 1 时， f(4,1) f(31,1) f (3,2) 2 2 2

6、 21 1 2 结论成立假设n k时，结论成立，即k1f (4,k) 2k 1 2当 n k 1 时，f(4,k 1) f (3, f (4, k)f (3,2k 1 2)2(2k 1 2) 2 2k 2 2所以对一切自然数结论都成立p62 1、证明定理2.1证明： a, b, c,d Z ，a,b c,d a c,b d因为自然数加法满足交换律 a c,b d c a, d b而c,d a,b c a,d b a,b c,d c,d a,b证明：“ ”已知a,b c,d则 a d b ca,b c,d a d,b c 1,1“ ”已知a,b c,d 1,1则a d,b c 1,1, a d

7、b ca,b c,dp624、已知 a,b N，求证(a, b) a,b证明： a,b b,a ( a,b) b,a a,bp625、已知a,b,c, d Z，求证(a,b c, d) a,b c,d证明：左边 (a,b c,d) a d,b c b c,a d右边 a,b c,d b,a c,d b c,a d 所以左边等于右边 (a,b c,d) a,b c,dp627、已知a,b,c N，求证当且仅当 a d b c时a,b c,d证明：“ ” 已知 a d b c， a,b c,d a d,b c因为 a d b c a d,b c 是负数， a,b c,d已知a,b c,d则a,b

8、c,d a d,b c因为 a d ,b c 是负数， a d b cp62 9、已知Z，求证：1),2)II证明：设a,b,Gda c,bd(a c) (b d)(ac)ac bda b,(bd)(a b)(cd)ac(adIIbd, adbcacbd(adbc)a(c d) b(d c)b)(cd)p6312、n名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第k名胜负的次数各为 ak,bk，、 2 2k 1,2, , n ,求证：a1 a2a2 b1证明：对于 ak(k 1,2,., n)，必存在一个 bj( j 1,2,., n)使得 akbja： b2(k, j2 2a?bf.bnp6316、已知

9、 p 10ap 10c d，求证 p ad bc证明：由已知:s,tZ 使 10a bps，10c d pt10aps, d 10cptad bc10acapt (10accps)p(cs at)p ad bcp6317、设2不整除a，求证8 a2 1证明：因为2不整除a，所以存在唯一一对q, r Z，使 a2q r，其中0 r 2r 1， a2 4q2 4q 1 a24q(q 1)8 a2 1p6320、设a Z，求证a(a 1)(a 2)(a 3) 1是奇数的平方(a 1)(a 2)肯定为偶数证明:a(a1)(a2)(a 3) 1(a1)1(a 1)(a 2)(a 2) 1 1(a1)2(

10、a 1)(a2)2(a2) 1(a1)2(a2)2 2(a1)(a2)1(a1)(a2) 12a 1,a 2肯定一奇一偶(a 1)(a 2) 1肯定为奇数p63 22、证明：前n个自然数之和的个位数码不能是 2、4、7、9证明：前n个自然数的和为 n)n2因为：n个自然数的和仍为自然数 1+n与n中必定一个为奇数一个为偶数若个位数码为2则1+n与n的个位数码只能是 1,4或4,1而(1+n) - n=1 个位数码不能为 2若个位数码为4则1+n与n的个位数码只能是 1,8或8,1也不可能成立 若个位数码为7则1+n与n的个位数码有2种可能，则2,7或1,14也不可能成立，若个位数码为 9则1+

11、n与n的个位数码有2种可能，即2,9或1,18 也不可能成立，综上，前n个自然数和的个位数码不能是 2,4,7,9p6326、证明 2.3定理 1( a1,a2,a.,) =( a1 , a2 ,an)证明：因为：(a1,a2,a“)是印,an的公因数中的最大数所以R需考虑非负整数 (a1, a2, an,) = ( a1 , a2 , an )p6329、证明2.3定理4的推论(a,b) 1的充要条件是有 x, y Z使得ax by 1证明：因为(a,b) 1a, b不全为0“ ” 由定理4x, y Z 使 ax by (a, b) 1“ ” 设(a,b)d 则 d a,d b, d ax

12、by d 1 d (a,b) 1p63 30、证明2.3定理6及其推论。定理 6：若m N，贝U (ma, mb) m(a,b)证明：若a,b都为0,则(0,0) m(0,0)显然成立若a, b不全为零，则 X0,y Z使ax by。 (a,b)II I I IImax mby (ma,mb)而 max mby m(ax by )因为 x, y Z , ax0 by ax by ax0 by。ax bym(ax0 by0) max mby m(a,b) max mby m(a,b) (ma, mb)而(ma,mb) amx mby0 m(a,b) (ma,mb) m(a,b)推论：设d是a,b的公因数，贝U (a/d,b/d) 1的充要条件是d (a,b)证明：“ ” d 是a,b 的公因数 d N d d(a/d,b/d) (a,b)“ ”因为 d (a,b) x, y Z，使 ax by dx, y Z，使(a /d)x (b/d)y 1 (a /d ,b / d) 1p64 32、证明2.3定理七及其推论定理七：若(a,c) 1, b Z , b, c中至少有一个不为 0,则(ab,c) (b, c)证明：b,c中至少有一个不为 0 x, y Z使abx cy (a