初中数学《反比例函数的意义的教学尝试》精编版.docx
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初中数学《反比例函数的意义的教学尝试》精编版
拉长概念形成的思维链条
——17.1.1反比例函数的意义的教学尝试
【教材分析】
本节教材是新课标人教版第46页至47页的内容，教材的主题内容非常精短.我们知道，学生曾在小学六（下）学过“反比例”，在中学七（下）学过“平面直角坐标系”，在八（上）学过“一次函数”。
对“反比例”、“函数”等已经有了一定认识，在此基础上来讨论反比例函数有了一定的经验积累，为这里的学习奠定了较好的基础.学好它，将对后继学习（如二次函数等）产生积极的影响.
本节内容是本章的重点之一，也是反比例函数的开端.教材首先在“思考”栏目中提出三个反比例关系的实例，通过对具体情景的分析，从中引出反比例函数并概括出它的概念.然后通过举例和例题丰富对反比例函数的认识，理解反比例函数的意义.
本节的重点、难点都是理解反比例函数的概念.我们知道，八年级学生的思维品质（完备性、深刻性、实践性、批判性等）尚待提高，学生抽象概括能力也有限，对函数的意义理解、数量变化规律的把握还是有一定难度，特别是对抽象的表达式中的变量与常量的取值理解不深.因此在反比例函数概念的形成过程中，应注重利用学生已有的生活经验与背景知识，创设丰富的现实情境，同时充分让学生自主学习与合作交流相结合，通过举例、说理、讨论等交流形式，巩固、内化、升华其知识，让学生揭示规律，形成数学能力。
具体操作如下：
1、注意“三看”，引导学生对反比例函数概念的理解.
一看形式.等号左边是函数y，等号右边是一个分式，自变量x在分母上，且x的指数是1，分子是不为0的常数k；
二看自变量x的取值范围.由于x在分母上，故取x≠0的一切实数；
三看函数y的取值范围.因为k≠0，且x≠0，所以函数值y也不可能为0.
2、加强与正比例函数的对照.
讲解、交流时可对照正比例函数y＝kx（k≠0），比较二者解析式的相同点和不同点.以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解
3、注意形态的变化.
（k≠0）还可以写成（k≠0）或xy＝k（k≠0）的形式.
【教学目标】
●知识与技能目标：
1．从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解.
2．使学生理解并掌握反比例函数的概念
3．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式
●过程与方法目标：
1、经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨别唯物主义观点。
2、经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识。
3、经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会函数的模型思想
●情感态度与价值观目标：
1．经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生学习数学的兴趣。
2、通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神。
【教学重点、难点】
1．重点：
理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式
2．难点：
理解反比例函数的概念
【教学方法】
情景——探索教学法.
教学过程
一、丰富情境，领悟新知
（设计说明：
问题1、2、3、4是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过对两个变量之间的反比例关系的讨论和探究，使学生感受彼此之间特殊的一一对应关系，从而加深对函数概念的理解，然后，启动“互动迁移”栏目，让学生根据自己的理解举例，而后通过改编教材“思考”栏目上的问题成三个填空题，为学生的发现提供了足够的感性材料，在此基础上，让学生通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想，并在交流中领悟概念.）
（一）、情境引入
根据下面情境，探究有关问题.
问题1：
（课件展示）请同学们想一想：
把一张面值100元的人民币换成面值50元的人民币，可得几张？
如果换成面值20元的人民币，可得几张？
如果换成10元、5元的人民币呢？
设所换成的面值为x元，相应的张数为y元:
x（元）
50
20
10
5
2
1
x
y（张）
①你会用含x的代数式表示y吗？
②当换成的面值x变化时，相应的张数y会怎样变化？
③变量y是x的函数吗？
为什么？
问题2：
（课件展示）我们知道：
矩形的面积（S）与长（a）、宽（b）之间的关系式为：
S=ab，当S=24cm2
①你能用含有b的代数式表示a吗？
②利用写出的关系式完成下表
b（cm）
2
4
6
8
10
12
……
a（cm）
……
③规律：
当b越来越大时，a
当b越来越小时，a
变量a是b的，理由：
问题3：
（课件展示）我们知道，电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V时
①你能用含有R的代数式表示I吗？
②利用写出的关系式完成下表
R（Ω）
20
40
60
80
100
……
I（A）
……
③规律：
当R越来越大时，I
当R越来越小时，I
变量I是R的，理由：
④课件定性展示舞台灯光明暗：
当I较小时，灯光较暗，当I较大时，灯光较亮.
问题4：
（课件展示）京沪高速公路全长约为1262km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度V（km/h）之间有怎样的关系？
变量t是V的函数吗？
为什么？
在学生完成四个问题的交流后得到四个关系式：
，，,.至此，教师不要忙于揭示、导引，让反比例函数现身，而应进入新的互动环节，使反比例函数的概念“瓜熟蒂落”.
（二）、互动迁移
你能举出类似以上的实例吗？
并与同伴交流.
有了前面4个问题的铺垫，以及小学学过的反比例关系的认识，估计学生能顺利地举例.如：
百米赛跑中时间与平均速度的关系；三角形的面积一定，底与高的关系等.诸如此类，都给予肯定，尤其要关注学困生的发言，若出现偏差，也要善于发现闪光点而予以表扬，并做好适当补充、引领.然后教师在展示几个备好的填空，进一步强化反比例函数模型.
1、某住宅小区要种植一个面积为1000平方米的矩形草坪，草坪长为y米，宽为x米，则y关于x的关系式为＿＿＿＿；
2、已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，全市总人口为n人，人均占有土地面积为s平方千米，则s关于n的关系式为＿＿＿＿；
３、京沪线铁路全程为１463km，某列车平均速度为v（km／h），全程运行时间为t（h），则v关于t的关系式为＿＿＿＿.
答案依次为：
，，.
（教学说明：
情景引入与互动迁移两个环节的教学，可先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看成函数,了解所讨论的函数的表达形式.通过一波三折，反比例函数的概念已是呼之欲出.一折是问题1-4的交流，二折是学生的自主举例，三折是三个填空，以构建互动、和谐的课堂教学氛围为依托，帮助学生完成了对反比例函数概念从感性体验到理性认知的过渡.）
（三）、明晰概念
师：
前面我们已获取了不少的关系式：
，，，，，，…请同学们认真观察，思考以下问题（按顺序完成一个再出示下一个）：
（1）这些关系式都体现了函数关系，那它们是我们已学过的一次函数、正比例函数吗？
（2）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？
（3）它们有一些什么样的共同特征？
（4）从问题1-3的表格可以发现两个变量成什么关系吗？
（5）你能归纳出反比例函数的概念吗？
形成如下认识：
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可表示成（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.
师：
这就是我们今天学习的反比例函数概念，他是继一次函数后的又一种新函数，从今天起，函数家族又多了一个新成员，随着学习的深入，今后我们还要研究其它函数.
（教学说明：
引导学生在体验探究的过程中，感受知识的发现、形成和构建过程，使学生从获得的关系式中，抽象出反比例函数的一般形式，并借此提出反比例函数的概念，通过让学生感受从特殊到一般的思考方法，发展学生的抽象思维能力，同时也为知识的内化和正迁移创造了条件，培养了学生建模的意识.）
（四）、领悟概念
请同学们通过下面的问题串，领悟概念
（1）反比例函数关系式中有几个变量？
（2）变量之间存在什么关系？
（3）还有其它形式吗？
若有，并指出来
（4）对x、y、k有什么具体要求？
为什么？
（5）它与正比例函数有哪些区别与联系？
通过问题（5）的回答回应以上4个问题.明确如下：
联系：
1°它们都有两个变量；
2°都含比例系数“k”；
区别：
1°反比例函数中两个变量的积是一个非零定值；正比例函数中两个变量的商是一个非零定值.
2°反比例函数中自变量x位于分母，表达式呈分式；正比例函数中的自变量x处于整式中.
3°自变量x的次数不同：
反比例函数中自变量x的次数为-1，故可写成（k≠0）或xy＝k（k≠0）的形式；正比例函数中自变量x的次数为1.
4°自变量x的取值范围不同：
反比例函数中自变量x取除零外的任何实数；正比例函数中自变量x可取任何实数.
5°函数y的取值范围不同：
反比例函数中y取除零外的任何实数；正比例函数中y可取任何实数.
（教学说明：
引导学生仔细审视列出的各函数关系式以及反比例函数的定义式，使之与我们以前所学的一次函数、正比例函数的关系式进行类比，找出异同，进而发现其本质特征.教学时要紧抓概念中的关键词，以确保学生对概念认知的系统性、完整性，并在概念揭示后强调反比例函数也可表示为y＝kx－1（k为常数，k≠0）的形式，并结合旧知验证其正确性.）
二、自主演练，内化新知.
（设计说明：
通过练习1，使学生进一步熟悉从实际问题中抽象出反比例函数，体验反比例函数在生活中的应用价值及模型作用；通过练习2，巩固反比例函数的概念；通过补充练习3，进一步突出反比例函数的本质特点，理解其意义.）
1、请同学们独立完成P47，练习的1题.
2、请同学们独立完成P47，练习的2题.
3、下列等式中的y是x的反比例函数吗？
若是，指出k的值.
（1）
（2）（3）xy＝0（4）
（5）（6）（7）y＝4x—1（8）
新军事变革全面发展始于。
答案
1、
（1）；
（2）；（3）.
2、xy＝123.
3、解析：
根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成（k为常数，k≠0）的形式，这里
（1）是整式，（3）中的k=0，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是，分子不是常数，只有
（2）、（5）、（7）能写成定义的形式，它们的k依次为：
，，4.
提出全面改革总目标的会议是（教学说明：
利用学生对反比例函数概念的初步认识，引导学生借助自主练习，进一步加大学生对该概念的正迁移力度，初步把握其内涵与外延.）
三、拓展应用，升华新知
（设计说明：
例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系.例2是对反比例函数概念的逆向认识，是另一种形式y＝kx－1的应用，以图深入理解概念.而例3是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但处理得当能提高学生分析、解决问题的能力.紧随其后，设置了4个练习，一是巩固例题的成果，二是进行了适当延伸，特别是5题以表格的形式出现，既回应了课始问题的对应形式，实现了表格与函数关系式的相互转化，同时又为下一节画反比例函数的图像做了孕伏.）
期末冲刺100分完全试卷答案例1、已知y是x的反比例函数，当
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