基于层次分析法模糊综合评价模型.docx
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基于层次分析法模糊综合评价模型
2016财经大学数学建模竞赛
城市交通模型分析
参赛队编号：
2016018
2016年5月20日~5月25日
2016财经大学数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了财经大学数学建模竞赛的竞赛章程。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：
A
我们的参赛队编号为
参赛队员（打印并签名）：
队员1.专业班级计算机141
队员2.专业班级计算机141
队员3.专业班级计算机141
日期：
2016年5月25日
2016财经大学数学建模竞赛
编号和阅卷专用页
参赛队编号：
2016018
参赛队员填写
参赛队员
所有数学类于计算机类课程成绩（意愿参加全国竞赛者埴写）
是否选修建模课程
是否愿参加全国竞赛
在校获奖项目
黄汉
是
否
金霞
是
否
乐晨阳
是
否
阅卷填写，参赛者不得填写
评分（百分制）
评阅人
最终得分
小组评价负责人
卷家语阅专评
备注
1、是否选修数学建模：
指本学期是否选修了数学建模课程
2、是否有意愿参加全国竞赛：
指参加今年的全国大学生数学建模竞赛，一经选定，不得退赛，否则将建议学生所在学院给予处分。
培训时间：
2016年8月5日开始。
财经大学数学建模竞赛组委会
2016年5月15日制定
城市交通模型分析
摘要
随着国民经济的高速发展和城市化进程的加快，我国机动车保有量及道路交通流量急剧增加，交通出行结构发生了根本变化，城市道路交通拥挤堵塞问题已成为制约经济发展、降低人民生活质量、削弱经济活力的瓶颈之一。
本篇论文针对道路拥挤的问题采用层次分析法进行数学建模分析，讨论拥堵的深层次问题及解决方案。
首先建立绩效评价指标的层次结构模型，确定了目标层，准则层（一级指标），子准则层（二级指标）。
其次，建立评价集V二（优，良，中，差）。
对于目标层下每个一级评价指标下相对于第m个评价等级的隶属程度由专家的百分数u评判给出，即U二［0,100］应用模糊统计建立它们的隶属函数A（u）,B（u）,C（u）,D（u）,最后得出目标层的评价矩阵Ri,
（匸1,2,3,4,5）。
利用A,B两城相互比较法，根据实际数据建立二级指标对于相应一级指标的模糊判断矩阵Pi（匸123,4,5）
然后，我们经过N次试验调查，明确了各层元素相对于上层指标的重要性排序，构造模糊判断矩阵P,利用公式
>1
°=WR计算出权重值，经过一致性检验公式
CR=C1_
刊检验后，均有CRvO.l,由此得岀各层次的权向量W=（WrW^...Wiyo然后后，给出建立绩效评价模型（其中O是评价结果向量），应用模糊数学中最大隶属度原则，对被评价城市交通的绩效进行分级评价。
接着在改进方案中，我们具体以交叉口为中心建立模型，其中包括道路长度、宽度、车辆平均长度、车速等等考虑因素。
通过车辆排队长度可以间接判断交通拥堵情况，不需要测量车速、时间等因素而浪费的人力物力和财力，有效的提高了工作成本和效率。
为管理城市交通要道提供了良好的模型和依据。
【关键字】交通拥堵层次分析法模糊综合评判绩效评价隶属度
一、问题重述
随着我国经济社会持续快速发展，群众购车刚性需求旺盛，汽车保有量继续呈快速增长趋势，2015年新注册登记的汽车达2385万辆，保有量净增1781万辆，均为历史最高水平。
汽车占机动车的比率迅速提高，近五年汽车占机动车比率从47.06%提高到61.82%,群众机动化岀行方式经历了从摩托车到汽车的转变，交通出行结构发生了根本性变化。
2015年，小型载客汽车达1.36亿辆，其中，以个人名义登记的小型载客汽车（私家车）达到1・24亿辆，占小型载客汽车的91.53%。
与2014年相比，私家车增加1877万辆，增长17.77%。
全国有40个城市的汽车保有量超过百万辆,天津11个城市汽车保有量超过200万辆。
全国平均每百户家庭拥有31辆私家车八、等大城市每百户家庭拥有私家车超过60辆。
随着城市人口以及城市交通流的增加，城市特别是大城市的交通问题普通成为焦点问题。
路网不畅、设施不足、交通拥堵等问题越来越突岀；行车难、停车难、交通秩序混乱等问题日益突显，对城市交通管理造成的冲击和压力越来越大。
城市道路交通拥挤堵塞问题已成为制约经济发展、降低人民生活质量、削弱经济活力的瓶颈之一。
据美国得克萨斯州运输研究所2006年底公布的数据显示，被称为“汽车王国”的美国每年因交通堵塞造成的经济损失高达1000亿美元。
2007年中国社科院数量经济与技术经济研究所测算，市每天因为堵车造成的社会成本达到4000万元，每年损失146亿元。
对于交通堵塞这个世界性难题，各国政府和民间都在为解决这个问题进行广泛的研究。
交通拥堵的因素很多，其中一个就是交通管理技术低下。
请你建立模型分析在现有交通路网架构的条件下，如何提高交通管理技术，改善城市交通。
二、问题分析
在本文中，我们采用层次分析法从车辆因素、道路因素、人为因素、社会因素四个个方面对城市交通进行综合评估，最终得岀一个综合评分。
车辆因素主要从车辆自身对交通问题影响，包括车流量，车辆运载效率等；道路因素指标目的在于衡量道路的交通运输能力，以及道路交通标线的设计；人为因素体现人为主观行动对交通的影响；社会因素从社会现象上分析对交通的影响。
利用A,B两城市比较法，通过实际数据对比计算相似度，构建模糊矩阵得出二级指标权重向量，再利用专家打分法一级指标权重向量，综合得出应用上述评价体系和评价指标体系，可以对城市交通进行评价，以判断城市交通的现状，诊断其发展进程中的问题，为城市交通的优化提供决策参考。
考虑到用层次分析法计算各因素权重的过程中专家评分具有主观性，各指标具有离散性，因而会有误差，所以我们最后用模糊数学的知识对模型进行了优化处理，对有些变量进行连续化处理，并建立其关于上级指标的隶属函数，进而计算岀隶属度，由此隶属度构成的矩阵，综合各因素的权重列向量，经过矩阵运算，得出技术效益的综合结果。
由这些因素集的综合结果构成上一层的因素集，再根据上一层的权重分配方案，采取同样的计算方法，得到最终的综合分数。
三、模型假设
假设一：
我们的模型只列出了16项影响城市交通绩效的指标，因为宏观因素及微观因素，影响因素远远不止这些，我们假设除本文所列项目，其他因素的影响甚微，可以忽略不计。
假设二：
文中层次分析模型建构过程中涉及到了专家打分，但由于评分专家对所评方案的评分受个人因素影响，我们假设5个专家的打分是客观、公正的，且对指标无明显偏好。
假设三：
假设受评规划方案均满足城市交通规划方案的优化选择模型的基本要求。
四、符号说明
人为因素的评价矩阵
尺人为因素的模糊判断矩阵
W,人为因素的权向量
尺2道路因素的评价矩阵
P2道路因素的模糊判断矩阵
W,道路因素的权向量
R
3车辆因素的评价矩阵
匕车辆因素的模糊判断矩阵
W3车辆因素的权向量
心社会因素的评价矩阵
人社会因素的模糊判断矩
阵
社会因素的权向量
功能特征的评价矩阵
5功能特征的模糊判断矩
阵
%功能特征的权向量
P总目标的模糊判断矩阵
W总目标的权向量
O评价结果向量
久权系数
Z综合评价
五、模型建立
5.1数学知识回顾
5.1.1层次分析法
AHP（AnalyticHierarchyProcess）方法[1],是由20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Sotty提出的。
它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。
这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型,然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。
定理1（Perron定理）：
设”阶方阵人>°,九-为A的最大特征根，则：
九^>0,而且它所对应的特征向量为正向量；
"nrn为A的单特征根，且心ano；
入-对应的特征向量除差—个常数因子外是唯—的。
定理2：
〃阶正互反矩阵A=（吗是一致阵的充要条件是久唤=,1
5.1.2隶属函数
隶属函数是指:
给定论域U上的一个模糊子集A,对于任意u€U,都确定了一个数A（u）,05」.3模糊综合评价
模糊综合评价是应用模糊变换原理，考虑与评价对象相关的各种因素，对其所作的综合评价。
其基本原理是：
（1）根据评价的标准构造多个隶属函数。
（2）通过评测指标在各个隶属函数中对应的程度不同（即隶属度不同），可以形成一个模糊关系矩阵。
（3）构造权重系数矩阵。
（4）将权重系数模糊矩阵和模糊关系矩阵通过模糊运算，最终就可以得到综合指标对各个评价等级的隶属度矩阵。
通常根据最大隶属度原则，在最后的隶属度矩阵中，综合指标对哪个评价等级的隶属度更高，那么我们就将其所要评价的目标定为该评价等级。
5.2建立层次分析结构模型[2]
利用层次分析法解决问题可分如下三步进行：
第一层：
目标层。
这一层只有一个元素，即交通状况综合评分。
第二层：
准则层。
包括所有为实现目标所涉及的所有中间环节，它们属于一级指标。
第三层：
子准则层：
由准则层的各个因素构成，受准则层的支配。
子准则层的因素构成二级指标。
（如下表）
城市交通绩效评价指标
总目标
一级指标
二级指标
人为因素A1
单线高峰客流量（万人次/小时）All
居民品均岀行耗时（小时）A12
人均城市道路占有量（平方米）A13
道路因素A2
道路利用率％A21
红绿灯效率％A22
公交站点密度A23
车辆因素A3
万人车辆标台数（标台/万人）A31
公交出行数量（辆）A32
主干道平均车速（千米/小时）A33
汽车燃油消耗（元/公里）A34
社会因素A4
路段空气质量超标率％A41
干道的昼间噪声（百分贝）A42
油耗比A43
功能特征B1
降雨量（毫米/年）B11
交通基础设施Bl2
日增车辆（辆）Bl3
A（u）=v
0,0wuv85
1/2+1/2sinn/10（u-90）,85wuv95
.1,95WUV100
其中「pm为第n个一级评价指标下第p个二级评价指标相对于第nn个评价等级的隶属度，通过德尔菲法由专家打分给出。
各专家的评判用百分数表示，并作为论域，即U二[0,100],各项指标的测评分为（优，良冲，差），都是U上的模糊子集，分别用（A,B,C,D）
表示，应用模糊统计建立它们的隶属函数如下:
Owuv75
95WUW100
Owuv60
5.3确定各指标的相对隶属度，建立评价矩阵。
根据一级指标对评价集合V的隶属关系,建立评价矩阵Rn:
70上述隶属度函数确定的合理性在于，假定1个专家对某项指标测评为87分，则在A（U）所属函数中的值为0.0955,在B（U）所属函数中的值为0.9045,在C（U）所属函数中的值为0在D（U）所属函数中的值为0。
与实际中以百分制为计的87分为良吻合。
同时，也注意到87分也有可能向优的趋势发展。
但不可能是中和差，从所属函数中的
值为0可完全得到验证。
上述隶属度函数如图1。
各专家对每项指标测评。
例如，有5个专家对All项进行测评分别为62、73、84、92、53,则：
A（U）=1/5[A（62）+A（73）+A（84）+A（92）+A（53）]=0」588
B（U）=1/5[B（62）+B（73）+B（84）+B（92）+B（53）]=0.2412
C（U）=1/5[C（62）+C（73）+C（84）+C（92）+C（53）]=0.2191
D（U）二1/5[D（62）+D（73）+D（84）+D（92）+D（53）]=0.38095.4构造模糊判断矩阵
先构造一级评价指标间两两比较判断矩阵P;由”次调查，就某因素对其相关的同—层的全部因素的重要性（本文中由于条件所限，我们根据讨论的结果给各个因素的重要性做了排序）进行两两比较，结果以模糊数定量表示，得模糊判断矩阵P。
p=（叽,其中呦是三角模糊数。
二级指标的模糊判断矩阵分别记为p,,p2,p3,P4,P5构造
方法与P的一致。
根据上述各符号的意义得矩阵P
5.5确定各评价指标的权重。
5.5.1一、二级评价指标的权重确定
标度
含义
1
表示因素山与◎比较，具有同等重要性
3
表示因素"'与",比较，冷比y稍微重要
5
表示因素"，与"，比较，％比g明显重要
7
表示因素①与比较，比y强烈重要
9
表不因素色与比较，©比极端重要
2,4,6,8
2,4,6,8分别表示相邻判断1和3,3和5,
5和7,7和9的中值
倒数
表示因素©与Uj比较得判断Ujj,则"」与Uj比较得判断勺=1网
1.和积法计算各因素的权重值：
⑴将判断矩阵每一列归一化：
几=^~,（/,;=1,2,•■.,«）
女■】
⑵每一列正规化的判断矩阵按行相加：
石=应,（门=1,2,.・.,“）
⑶对向量馆=（兀石…，石）'作正规化处理：
（/,;=1,2,依次所
得到的用=（眄,叫,..・,叫）7即为所求的特征向量，亦为权重。
2.检验权重的分配是否合理，需要对判断矩阵进行一致性检验，如果一致性不满足
要求，则需要调整判断矩阵直到其达到一致性的要求。
（1）计算判断矩阵的最大特征根入^=丄工匕n也
（2）检验
其中C7=-^-（Anm-n）,RI为判断矩阵的平均随机一致性指标。
11—1
对于1〜9阶判断矩阵，RI取值如下表：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
RI
0.00
0.00
0.58
0.90
1.24
1.32
1.41
1.45
当CR<0.10时，判断矩阵满足一致性，说明权重分配是合理的；同理，求得各二级评价指标的权重，记为：
W1,W2,W3,W4,W5o
5.6建立绩效评价模型
依据城市交通绩效影响因素的特点，本文采用二级综合评价模型。
二级综合评价模型的思想是：
将评价因子集分成若干子集（即城市交通绩效评价指标体系中的两级结构），对每个二级指标的子集进行评价后，再以各二级指标的评价结果为因子，对一级指标进行评价。
o=WR=WWrW’RWNWjRWsRJ其中，O是评价结果向量。
最后，应用模糊数学中最大隶属度原则，对被评价城市交通的绩效进行分级评价。
六、模型求解
6.1权重计算法
由于本模型涉及多项数据指标，所以我们采用A,B类城市相比较的方式由模糊矩阵方法得出二级指标的权重。
其中A类是交通绩效相对比较高的城市，B类是交通绩效有
待改进的城市。
最终我们在考虑到功能特征后以接近A类城市为最优解。
相似程度s二A类指标/（B类指标一A类指标）
见附表6-1
（-）人为因素的模糊判断矩阵尺
1
2
4
1
2
1
丿
R=
2
1
1
1
*2
1•将判断矩阵每一列归一化得到归一化后的判断矩阵:
2、每一列正规化的矩阵按行相加
对向量两（1.71420.85710.4287）7做正规化处理
17142、
匝0.8571
0.4287丿
<1.7142、
1.7142+0.8571+0.4287
0.8571
1.7142+0.8571+0.4287
0.4287
J.7142+0.8571+0.4287,
（0.5714、
0.2857
0.1429丿
\/
得到权重向量：
叫=（0.57140.28570.1429）
3•—致性检验:
123
-max--0.0484
20.58
因为CRvO.lO,所以判断矩阵只满足一致性，说明权重分配是合理的
人为因素相应权重
人为因素
单线高峰客流量
（万人次/小时）
居民品均岀行耗时
（小时）
人均城市道路占有量（平方米）
相应权重
0.5714
0.2857
0.1429
（-）道路因素的模糊判断矩阵£
Ai=—
S
道路利用率A21:
码表示交通道路利用率，n表示某一时刻某一面积道路的车台数，s表主干道路线数。
交叉口红绿灯效率A22:
m表示红灯时停车台数，t表示红灯时间，p表示穿过马路的人数。
mt
1
2
3
£二
1/2
1
2
J/3
1/2
J
W产（两
1•将判断矩阵每一列归一化得到归一化后的判断矩阵:
2.每一列正规化的矩阵按行相加：
设权重向量为:
‘0.5389、
对该向量做正规化处理：
w=0.3151
0.1460’
3.—致性检验:
4ax=-Z=3.0092
3i甲
二0.008V0.10
Ci|（3.0092-3）由于CR=——=
比于RI0.58
所以判断矩阵满足一致性，权重分配是合理的
道路因素相应权重
道路因素
主干道利用
红绿灯效率％
公交站点密
率％
度％
相应权重
0.5389
0.3151
0」460
（三）车辆因素模糊判断矩阵人
'1
2
1
2
1
1
2
1
2
3*
&二
1
3
1
3
1
2*
丄
2
1
1
2
1
12
y
1•将判断矩阵每一列归一化得到归一化后的判断矩阵:
1
2
1
2
1+1/2+1+1/2
2+I+3/2+I
1+2/3+1+2/3
2+1+3/2+1
1/2
1
2/3
1
1+1/2+1+1/2
2+I+3/2+1
1+2/3+1+2/3
2+1+3/2+1
1
3/2
1
3/2
1+1/2+1+1/2
2+I+3/2+1
1+2/3+1+2/3
2+1+3/2+1
1/2
1
2/3
1
1+1/2+1+1/2
2+1+3/2+1
1+2/3+1+2/3
2+1+3/2+1
‘0.3333
0.3636
0.2143
0.3636、
01667
0.1818
0」429
0.1818
0.3333
0.2727
0.2143
0.2727
、0.1667
0.1818
01429
0.1818丿
12748、
2.每一列正规化的矩阵按行相加_0.6732
心1.0021
0.6732丿正规化处理：
1.2748
1.2748+0.6732+1.0021+0.6732
P.3518、
0.1858
0.2766
.0.1858,
0.6732
1.2748+0.6732+1.0021+0.6732
1.0021
1.2748+0.6732+1.0021+0.6732
0.6732
k1.2748+0.6732+1.0021+0.6732丿
得到权向量:
由
‘0.33330.36360.21430.3636、
"0.3518、
即厂
0.16670.18180.14290.1818
0.1858
0.33330.27270.21430.2727
0.2766
k0.16670.18180.14290.1818丿
、0.1858丿
‘1.2748、
0.6732
1.0021
1.2748
0.67321.00210.6732、彳小“
+++=4.0183
得:
0.35180.18580.27660.1858；
CI12_4
CR=—=-厶竺一=0.0067
RI30.90
因为CRvO.lO,所以判断矩阵只满足一致性，说明权重分配是合理的
车辆因素相应权重
车辆因素
万人车辆标台数（标台/万人）
公交岀行数量
（辆）
主干道平均车
速（km/h）
汽车燃油消耗
（元/公里
相应权重
0.3518
01858
0.2766
0」858
（四）社会因素的模糊判断矩阵R
厂151/2^
P、=1/515
经计算权重向量为：
W=（0.39320.33430.2724）73.—致性检验
=3.0657
<0.10
所以判断矩阵满足一致性，权重分配是合理的。
社会因素相应权重
社会因素
路段空气质量超标率
干道的昼间噪声（分贝）
油耗比
相应权重
0.3932
0.3343
0.2724
（五）功能特征的|13
1/31
<23
P,
T设权重向量为：
W=（W]w2»叫）
1•将判断矩阵每一列归一化得到归一化后的判断矩阵
（1
3
1/2]
1/3+1+2
1+3+3
1+1/2+1/3
[0.3
0.4286
0.2727、
1/3
1
1/3
二
0.1
01429
0.1818
1/3+1+2
2
1+3+3
3
1+1/2+1/3
1
、0.6
0.4285
0.5455丿
11/3+1+2
1+3+3
1+1/2+1/3丿
T
2.每一列正规化的矩阵按行相加：
W=（1.00130.42471.5740）7
（O3338、对该向量做正规化处理：
TT7ell,
W=0.1416
、0.5246丿
3•—致性检验:
c/-（3.0536-3）
CR=—=2_二0.04621v0.10所以判断矩阵满足一致性，权
R10>58
重分配是合理的。
功能特征相应权重
功能特征
降雨量
交通设施
日增车辆（辆/日）
相应权重
0.3338
0.1416
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