傅立叶变换的原理意义和应用.docx

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傅立叶变换的原理意义和应用

傅立叶变换的原理、意义和应用

1概念：

编辑

傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。

许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。

参考《数字信号处理》毅明著p.89，机械工业2012年发行。

定义

f（t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：

在一个周期具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期具有有限个极值点；绝对可积。

则有下图①式成立。

称为积分运算f（t）的傅里叶变换，

②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。

F（ω）叫做f（t）的像函数，f（t）叫做

F（ω）的像原函数。

F（ω）是f（t）的像。

f（t）是F（ω）原像。

①傅里叶变换

②傅里叶逆变换

中文译名

Fouriertransform或TransforméedeFourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。

为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。

应用

傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。

相关

*傅里叶变换属于谐波分析。

*傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;

*正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；

*卷积定理指出：

傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；

*离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT））.[1]

2性质编辑

线性性质

傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。

具体而言，假设函数

和

的傅里叶变换

和

都存在，

和

为任意常系数，则有

尺度变换性质

若函数

的傅里叶变换为

，则对任意的非零实数

，函数

的傅里叶变换

存在，且等于

对于

的情形，上式表明，若将

的图像沿横轴方向压缩

倍，则其傅里叶变换的图像将沿横轴方向展宽

倍，同时高度变为原来的

。

对于

的情形，还会使得傅里叶变换的图像关于纵轴做镜像对称。

平移性质

若函数

的傅里叶变换为

，则对任意实数

，函数

也存在傅里叶变换，且其傅里叶变换

等于

也就是说，

可由

向右平移

得到。

微分关系

若函数

的傅里叶变换为

，且其导函数

的傅里叶变换存在，则有

即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子

。

更一般地，若

的

阶导数

的傅里叶变换存在，则

即

阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子

。

卷积特性

若函数

以与

都在

上绝对可积，则卷积函数

的傅里叶变换存在，且

Parseval定理以与Plancherel定理

若函数

以与

平方可积，二者的傅里叶变换分别为

与

，则有

上式被称为Parseval定理。

特别地，对于平方可积函数

，有

上式被称为Plancherel定理。

这两个定理表明，傅里叶变换是平方可积空间

上的一个运算符（若不考虑因子

）。

3特殊变换编辑

连续傅里叶变换

一般情况下，若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。

“连续傅里叶变换”将平方可积的函数

表示成复指数函数的积分形式：

上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数表示为频率域的函数

的积分。

反过来，其正变换恰好是将频率域的函数

表示为时间域的函数

的积分形式。

一般可称函数

为原函数，而称函数

为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transformpair）。

当

为奇函数（或偶函数）时，其余弦（或正弦）分量为零，而可以称这时的变换为余弦变换（或正弦变换）。

傅里叶级数

主条目：

傅里叶级数

连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。

对于周期函数，它的傅里叶级数（Fourierseries）表示被定义为：

其中

为函数的周期，

为傅里叶展开系数，它们等于

对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：

其中

和

是实频率分量的振幅。

离散时间傅里叶变换

主条目：

离散时间傅里叶变换

离散时间傅里叶变换（discrete-timeFouriertransform,DTFT）针对的是定义域为

的数列。

设

为某一数列，则其DTFT被定义为

相应的逆变换为

DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的，它一般用来对离散时间信号进行频谱分析。

DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。

离散傅里叶变换

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域，且须满足有限性或周期性条件。

这种情况下，序列

的离散傅里叶变换（discreteFouriertransform,DFT）为

其逆变换为

直接使用DFT的定义计算的计算复杂度为

，而快速傅里叶变换（fastFouriertransform,FFT）可以将复杂度改进为

。

计算复杂度的降低以与数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。

在阿贝尔群上的统一描述

以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。

这一问题属于调和分析的畴。

在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群（dualgroup）。

此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。

傅里叶变换家族

下表列出了傅里叶变换家族的成员。

容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性，反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。

变换

时间域

频率域

连续傅里叶变换

连续，非周期性

连续，非周期性

傅里叶级数

连续，周期性

离散，非周期性

离散时间傅里叶变换

离散，非周期性

连续，周期性

离散傅里叶变换

离散，周期性

离散，周期性

4相关编辑

[2]

变换提出

傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是JeanBaptisteJosephFourier（1768-1830）,Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：

任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。

当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日（JosephLouisLagrange,1736-1813）和拉普拉斯（PierreSimondeLaplace,1749-1827），当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。

法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃与，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。

直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

拉格朗日是对的：

正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。

但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅里叶是对的。

用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波来表示的原因在于，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。

用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：

正弦曲线保真度。

一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。

且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。

变换分类

根据原信号的不同类型，我们可以把傅里叶变换分为四种类别：

1非周期性连续信号傅里叶变换（FourierTransform）

2周期性连续信号傅里叶级数（FourierSeries）

3非周期性离散信号离散时域傅里叶变换（DiscreteTimeFourierTransform）

4周期性离散信号离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）

下图是四种原信号图例：

这四种傅里叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅里叶变换呢？

没有。

因为正余弦波被定义成从负无穷大到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。

面对这种困难，方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离解信号，我们就可以用到离散时域傅里叶变换的方法。

还有，也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离解信号，这时我们就可以用离散傅里叶变换方法进行变换。

这里我们要学的是离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。

但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。

所以对于离散信号的变换只有离散傅里叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT方法，后面我们要理解的也正是DFT方法。

这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题，至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。

每种傅里叶变换都分成实数和复数两种方法，对于实数方法是最好理解的，但是复数方法就相对复杂许多了，需要懂得有关复数的理论知识，不过，如果理解了实数离散傅里叶变换（realDFT），再去理解复数傅里叶就更容易了，所以我们先把复数的傅里叶放到一边去，先来理解实数傅里叶变换，在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论，然后在理解了实数傅里叶变换的基础上再来理解复数傅里叶变换。

如上图所示，实信号四种变换在时域和频域的表现形式。

还有，这里我们所要说的变换（transform）虽然是数学意义上的变换，但跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的，对于离散数字信号处理（DSP），有许多的变换：

傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的定义，允许输入和输出有多种的值，简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。

变换意义

傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。

要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。

傅里叶原理表明：

任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不