中考数学勾股定理专题训练含答案解析.docx

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中考数学勾股定理专题训练含答案解析

勾股定理

一．认真选一选，你一定能行！

1．下列说法正确的是（　　）

A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2

B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2

C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2+b2=c2

D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a2+b2=c2

2．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（　　）

A．斜边长为5B．三角形的周长为25

C．斜边长为25D．三角形的面积为20

3．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是cm，则另一条直角边的长是（　　）

A．4cmB．cmC．6cmD．cm

4．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（　　）

A．42B．32C．42或32D．37或33

5．如图，在△ABC中，三边a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜a＜c

6．已知直角三角形的一直角边长为24，斜边长为25，则另一条直角边长为（　　）

A．16B．12C．9D．7

7．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于（　　）

A．或B．或C．D．

8．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（　　）

A．2倍B．4倍C．3倍D．5倍

9．△ABC中，若（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形应是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

10．如图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动（　　）

A．11米B．12米C．13米D．14米

二．仔细填一填，小心陷阱约！

11．如图，三个正方形中的两个的面积S1=25，S2=144，则另一个的面积S3为　　．

12．在Rt△ABC中，∠C=90°，b=6，c=10，则a=　　．

13．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为　　cm2．

14．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为　　．

15．小明从家中出发，先向正东前进200m，接着又朝正南方向前进150m，则这时小明离家的直线距离为　　m．

16．直角三角形的两直角边之比为a：

b=3：

4，斜边c=10，则a=　　，b=　　．

17．直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的高是　　．

18．在△ABC中，∠C=90°，BC=60cm，CA=80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA﹣AB﹣BC的路径再回到C点，需要　　分的时间．

三．解答题

19．如图，AD⊥AB，BD⊥BC，AB=3，AD=4，CD=13，求BC的大小

20．在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm．

（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长；

（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长．

21．如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．

22．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱

23．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：

00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：

00，甲、乙二人相距多远还能保持联系吗

24．阅读下面内容后，请回答下面的问题：

学习勾股定理有关内容后，老师请同学们交流讨论这样一个问题：

“已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4，请你求出第三边．”同学们经片刻的思考与交流后，张雨同学举手说：

“第三边长是5”；王宁同学说：

“第三边长是．”还有一些同学也提出了不同的看法…假如你也在课堂上，你的意见如何为什么

四、备用题：

25．如图，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．

26．如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再转向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少

勾股定理

参考答案与试题解析

一．认真选一选，你一定能行！

1．下列说法正确的是（　　）

A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2

B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2

C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2+b2=c2

D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a2+b2=c2

【考点】勾股定理．

【分析】根据勾股定理的内容，即可解答．

【解答】解：

A、勾股定理只限于在直角三角形里应用，故A可排除；

B、虽然给出的是直角三角形，但没有给出哪一个是直角，故B可排除；

C、在Rt△ABC中，直角所对的边是斜边，C中的斜边应为a，得出的表达式应为b2+c2=a2，故C也排除；

D、符合勾股定理，正确．

故选D．

【点评】注意：

利用勾股定理时，一定要找准直角边和斜边．

2．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（　　）

A．斜边长为5B．三角形的周长为25

C．斜边长为25D．三角形的面积为20

【考点】勾股定理．

【分析】利用勾股定理求出后直接选取答案．

【解答】解：

两直角边长分别为3和4，

∴斜边==5；

故选A．

【点评】此题较简单关键是熟知勾股定理：

在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．

3．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是cm，则另一条直角边的长是（　　）

A．4cmB．cmC．6cmD．cm

【考点】含30度角的直角三角形；勾股定理．

【专题】计算题．

【分析】根据含30度角的直角三角形求出AB，根据勾股定理求出BC即可．

【解答】解：

∵∠C=90°，∠B=30°，AC=2

cm，

∴AB=2AC=4

cm，

由勾股定理得：

BC==6cm，

故选C．

【点评】本题主要考查对含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．

4．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（　　）

A．42B．32C．42或32D．37或33

【考点】勾股定理．

【分析】本题应分两种情况进行讨论：

（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；

（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．

【解答】解：

此题应分两种情况说明：

（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，

BD===9，

在Rt△ACD中，

CD===5

∴BC=5+9=14

∴△ABC的周长为：

15+13+14=42；

（2）当△ABC为钝角三角形时，

在Rt△ABD中，BD===9，

在Rt△ACD中，CD===5，

∴BC=9﹣5=4．

∴△ABC的周长为：

15+13+4=32

∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．

故选C．

【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．

5．如图，在△ABC中，三边a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜a＜c

【考点】实数大小比较；勾股定理．

【专题】网格型．

【分析】先分析出a、b、c三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可．

【解答】解：

根据勾股定理，得a==；b==；c==．

∵5＜10＜13，∴b＜a＜c．

故选D．

【点评】本题考查了勾股定理及比较无理数的大小，属中学阶段的基础题目．

6．已知直角三角形的一直角边长为24，斜边长为25，则另一条直角边长为（　　）

A．16B．12C．9D．7

【考点】勾股定理．

【分析】本题直接根据勾股定理求解即可．

【解答】解：

由勾股定理的变形公式可得：

另一直角边长==7．

故答案为：

D．

【点评】本题考查勾股定理的应用，较为简单．

7．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于（　　）

A．或B．或C．D．

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．

【专题】分类讨论．

【分析】因为题目没有说明哪个边为腰哪个边为底，所以需要讨论，①当4为腰时，此时等腰三角形的边长为4、4、6；②当6为腰时，此时等腰三角形的边长为4、6、6；然后根据等腰三角形的高垂直平分底边可运用解直角三角形的知识求出高．

【解答】解：

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

边长为4、6的等腰三角形有4、4、6与4、6、6两种情况，

①当是4、4、6时，底边上的高AD===；

②当是4、6、6时，同理求出底边上的高AD是=．

故选A．

【点评】本题考查勾股定理及等腰三角形的性质，解答本题需要掌握三点，①等腰三角形的高垂直平分底边；②勾股定理的表达式；③三角形的三边关系．

8．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（　　）

A．2倍B．4倍C．3倍D．5倍

【考点】勾股定理．

【分析】根据勾股定理，可知：

把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．

【解答】解：

设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2=c2；

另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为=2c．

即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．

故选A．

【点评】熟练运用勾股定理对式子进行变形．

9．△ABC中，若（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形应是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】先对已知进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．

【解答】解：

∵（a+b）2﹣c2=2ab，

∴a2+b2=c2，

∴△ABC是直角三角形．

故选B．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

10．如图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动（　　）

A．11米B．12米C．13米D．14米

【考点】勾股定理的应用．

【分析】顶端离地面15米，梯子长25米，运用勾股定理可以得出梯子在水平距离的长度，再利用要使梯子顶端离地24米，求出梯子底端水平距离，进而求出梯子方向上滑行的距离．

【解答】解：

∵一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，

∴梯子水平距离为：

=20米，

∵要使梯子顶端离地24米，

∴梯子水平滑动距离为：

=7米，

∴梯子的底部在水平方向上应滑动：

20﹣7=13米．

故选：

C．

【点评】此题考查的是对勾股定理在解直角三角形中的应用，结合图形利用勾股定理求出是解决问题的关键．

二．仔细填一填，小心陷阱约！

11．如图，三个正方形中的两个的面积S1=25，S2=144，则另一个的面积S3为　169　．

【考点】勾股定理．

【分析】根据直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式，不难发现：

S1+S2=S3．则S3为169．

【解答】解：

由题可知，在直角三角形中两直角边的平方分别为25和144，所以斜边的平方为144+25=169，即面积S3为169．

【点评】注意能够根据勾股定理以及正方形的面积公式证明：

S1+S2=S3．

12．在Rt△ABC中，∠C=90°，b=6，c=10，则a=　8　．

【考点】勾股定理．

【分析】由题意知道c为斜边，已知两边根据勾股定理即可求得第三边的长．

【解答】解：

∵Rt△ABC中，∠C=90°，b=6，c=10

∴a==8．

【点评】此题主要考查学生对勾股定理的运用．

13．（2003•吉林）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为　49　cm2．

【考点】勾股定理．

【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：

四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．

【解答】解：

由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，

故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．

故答案为：

49cm2．

【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．

14．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为　6，8，10　．

【考点】勾股定理．

【分析】根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x﹣2，x+2根据勾股定理即可解答．

【解答】解：

根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x﹣2，x+2根据勾股定理，得

（x﹣2）2+x2=（x+2）2，

x2﹣4x+4+x2=x2+4x+4，

x2﹣8x=0，

x（x﹣8）=0，

解得x=8或0（0不符合题意，应舍去），

所以它的三边是6，8，10．

【点评】注意连续偶数的特点，能够熟练解方程．

15．小明从家中出发，先向正东前进200m，接着又朝正南方向前进150m，则这时小明离家的直线距离为　250　m．

【考点】勾股定理的应用．

【分析】根据正东和正南可知道，开始走的两段路可看为直角三角形的直角边，然后这时小明离家的直线距离为可知道求的是斜边的长．

【解答】解：

∵先向正东前进200m，接着又朝正南方向前进150m，

∴这时小明离家的直线距离为=250．

这时小明离家的直线距离为250m．

故答案为：

250．

【点评】本题考查勾股定理的应用，关键是知道所走的路和小明离家的直线距离可构成直角三角形．

16．直角三角形的两直角边之比为a：

b=3：

4，斜边c=10，则a=　6　，b=　8　．

【考点】勾股定理．

【分析】设直角边为3x和4x，根据勾股定理列出方程：

（3x）2+（4x）2=102解答即可．

【解答】解：

∵a：

b=3：

4，

∴（3x）2+（4x）2=102，

∴9x2+16x2=100，

即25x2=100，

x2=4，

x=±2．x=﹣2（舍去）．

则a=3×2=6，b=4×2=8．

故答案为6，8．

【点评】本题考查了勾股定理，根据题意设出个边的长，利用勾股定理列出方程是解题的基本思路．

17．直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的高是　　．

【考点】勾股定理；三角形的面积．

【专题】计算题．

【分析】在直角三角形中，已知两直角边长为5，12，根据勾股定理可以计算斜边的长，根据三角形面积的不同方法计算可以求得斜边的高的长度．

【解答】解：

在直角三角形中，已知两直角边为5，12，

则斜边长为=13，

根据面积法，直角三角形面积可以根据两直角边求值，也可以根据斜边和斜边上的高求值，

即可求得两直角边的乘积=斜边长×斜边上高线长，

斜边上的高线长==，

故答案为：

．

【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形面积的计算，根据面积法求斜边的高是解题的关键．

18．在△ABC中，∠C=90°，BC=60cm，CA=80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA﹣AB﹣BC的路径再回到C点，需要　12　分的时间．

【考点】勾股定理．

【专题】计算题．

【分析】运用勾股定理可求出斜边AB的长，然后可求出直角三角形的周长即蜗牛所走的总路程，再除以蜗牛的行走速度即可求出所需的时间．

【解答】解：

由题意得，==100cm，

∴AB=100cm；

∴CA+AB+BC=60+80+100=240cm，

∴240÷20=12（分）．

故答案为12．

【点评】本题考查了速度、时间、路程之间的关系式及勾股定理的应用，考查了利用勾股定理解直角三角形的能力．

三．解答题

19．如图，AD⊥AB，BD⊥BC，AB=3，AD=4，CD=13，求BC的大小

【考点】勾股定理．

【专题】计算题．

【分析】AD⊥AB，BD⊥BC，在Rt△ABD和Rt△DBC中，利用勾股定理先求出BD的长，然后求出BC的长．

【解答】解：

∵AD⊥AB，

∴△ABD是直角三角形．

根据勾股定理得：

AD2+AB2=BD2，即32+42=BD2，

∴BD=5；

同理在△DBC中，∵BD⊥BC，

∴CD2=BD2+BC2，

即：

BC2=132﹣52=144，

∴BC=12．

【点评】本题考查勾股定理的知识，属于基础题，比较容易解答，关键是利用勾股定理先求出BD的长．

20．在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm．

（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长；

（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长．

【考点】勾股定理．

【分析】

（1）根据勾股定理求得该直角三角形的斜边，根据直角三角形的面积，求得斜边上的高等于斜边的乘积÷斜边；

（2）在

（1）的基础上根据勾股定理进行求解．

【解答】解：

（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm，

∴AB2=AC2+BC2=+=，

∴AB=3.5cm．

∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，

∴AC•BC=AB•CD，

∴CD===（cm）．

（2）在Rt△ACD中，由勾股定理得：

AD2+CD2=AC2，

∴AD2=AC2﹣CD2=﹣

=（+）（﹣）

=×

=2××2×

=22×9××

∴AD=2×3×=（cm）．

∴BD=AB﹣AD=﹣=（cm）．

【点评】此题考查了勾股定理的熟练运用，注意：

直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积÷斜边．

21．如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．

【考点】勾股定理的应用．

【专题】计算题．

【分析】此题只需根据勾股定理计算直角三角形的斜边，即矩形的宽．再根据矩形的面积公式计算．

【解答】解：

根据勾股定理得，蔬菜大棚的斜面的宽度即直角三角形的斜边长为：

m，

所以蔬菜大棚的斜面面积为：

10×20=200m2．

答：

阳光透过的最大面积为200平方米．

【点评】此题考查勾股定理的实际应用，注意阳光透过的最大面积，即是矩形的面积．

22．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱

【考点】勾股定理的应用．

【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积．

【解答】解：

由勾股定理，AC===12（m）．

则地毯总长为12+5=17（m），

则地毯的总面积为17×2=34（平方米），

所以铺完这个楼道至少需要34×18=612元．

【点评】正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．

23．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：

00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：

00，甲、乙二人相距多远还能保持联系吗

【考点】勾股定理的应用；方向角．

【专题】应用题．

【分析】要求甲、乙两人的距离，就要确定甲、乙两人在平面的位置关系，由于甲往东、乙往北，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求得甲、乙两人的距离．

【解答】解：

如图，甲从上午8：

00到上午10：

00一共走了2小时，

走了12千米，即OA=12．

乙从上午9：

00到上午10：

00一共走了1小时，

走了5千米，即OB=5．

在Rt△OAB中，AB2=122十52=169，∴AB=13，

因此，上午10：

00时，甲、乙两人相距13千米．

∵15＞13，∴甲、乙两人还能保持联系．

答：

上午10：

00甲、乙两人相距13千米，两人还能保持联系．

【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

24．阅读下面内容后，请回答下面的问题：

学习勾股定理有关内容后，老师请同学们交流讨论这样一个问题：

“已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4，请你求出第三边．”同学们经片刻的思考与交流后，张雨同学举手说：

“第三边长是5”；王宁同学说：

“第三边长是．”还有一些同学也提出了不同的看法…假如你也在课堂上，你的意见如何为什么

【考点】勾股定理．

【分析】本题中虽然给出了直角三角形的两边是3、4，而没有指出它们一定是直角边或斜边，所以本题应该分情况讨论．当3，4是直角边时，当3与所求的第三边是直角边，4是斜边时，可求出两种情况的解．

【解答】解：

本题中虽然给出了直角三角形的两边是3、4，而没有指出它们一定是直角边或斜边，所以本题应该分情况讨论．

（1）当3、4，是直角边时，第三边等于

（2）当3与所求的第三边是直角边，4是斜边时，第三边等于，

所以本题的答案应该是或5．

【点评】本题考查勾股定理的应用，关键讨论3，4是直角边和4是斜边的两种情况进行讨论．

四、备用题：

25．如图，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．

【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．

【专题】几何图形问题．

【分析】要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE≌Rt△AFE，所以AF=10cm，EF=DE=8﹣x；在Rt△ABF中由勾股定理得：

AB2+BF2=AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，又CF=BC﹣BF=10﹣BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：

EF2=CE2+CF2，即：

（8﹣x）2=x2+（10﹣BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长．

【解答】解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，

根据题意得：

Rt△ADE≌Rt△AFE，

∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，

设CE=xcm，则DE=EF=CD﹣CE=8﹣x，

在Rt△ABF中由勾股定理得：

AB2+BF2=AF2，

即82+BF2=102，

∴BF=6cm，

∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4（cm），

在Rt△ECF中由勾股定理可得：

EF2=CE2+CF2，

即（8﹣x）2=x2+42，

∴64﹣16x