中考数学压轴选择填空精讲精练3反比例函数问题.docx
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中考数学压轴选择填空精讲精练3反比例函数问题
专题3反比例函数问题
例题精讲
例1.（北海中考）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD：
OD=1：
2，则k的值为________．
【解答】解：
过D点作x轴的垂线交x轴于E点，
∵△ODE的面积和△OBC的面积相等=，
∵△OAC的面积为5，
∴△OBA的面积=5+，
∵AD：
OD=1：
2，
∴OD：
OA=2：
3，
∵DE∥AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴=（）2，
即=，
解得：
k=8．
例2.（临沂中考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点A的坐标为（3，2），且⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点B的坐标为________．
【解答】解：
∵点A（3，2）在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝3×2＝6．
∵⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切，点A的坐标为（3，2），且⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，
∴点B的横坐标为1．
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴点B的坐标为（1，6）．
故答案为：
（1，6）．
例3.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE=4EC，且△ODE的面积是5，则k的值为________．
【解答】解：
∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BE=4EC，
∴E（a，b），
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴a•b=k，∴D（a，b），
∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE
=ab﹣•a•b﹣•a•b﹣•（a﹣a）•（b﹣b）
=ab=5，
∴ab=，
∴k=ab=．
故答案为．
例4.（重庆中考）如图，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C的纵坐标为﹣1，点D在反比例函数y=的图象上，CD平行于y轴，S△OCD=，则k的值为________．
【解答】∵点C在直线AB上，即在直线y=x﹣2上，C的横坐标是2，
∴代入得：
y=×2﹣2=﹣1，即C（2，﹣1），
∴OM=2，
∵CD∥y轴，S△OCD=，
∴CD×OM=，
∴CD=，
∴MD=﹣1=，
即D的坐标是（2，），
∵D在双曲线y=上，
∴代入得：
k=2×=3．
故答案为：
3．
例5.（宿迁中考）如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=（k＜0）上运动，则k的值是________．
【解答】解：
∵双曲线y=关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称．
∴OA=OB．
连接OC，如图所示．
∵△ABC是等边三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°．
∴tan∠OAC==．
∴OC=OA．
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，
过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF．
∴△AEO∽△OFC．
∴==．
∵OC=OA，
∴OF=AE，FC=EO．
设点A坐标为（a，b），
∵点A在第一象限，
∴AE=a，OE=b．
∴OF=AE=a，FC=EO=b．
∵点A在双曲线y=上，
∴ab=2．
∴FC•OF=b•a=3ab=6
设点C坐标为（x，y），
∵点C在第四象限，
∴FC=x，OF=﹣y．
∴FC•OF=x•（﹣y）=﹣xy
=6．
∴xy=﹣6．
∵点C在双曲线y=上，
∴k=xy=﹣6．
故答案为：
﹣6．
习题精炼
1.如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函数y1=的图象经过点A,反比例函数y2=的图象经过点B,则下列关于m,n的关系正确的是（ ）
A. m=-3n
B. m=-n
C. m=-n
D. m=n
2.下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.如图，等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上，双曲线y=过OA的中点，已知等边三角形的边长是4，则该双曲线的表达式为（ ）
A. y=
B. y=-
C. y=
D. y=-
4.如图，直线l与反比例函数y=在第一象限内的图象交于A、B两点，且与x轴的正半轴交于C点．若AB=2BC，△OAB的面积为8，则k的值为（ ）
A. 6
B. 9
C. 12
D. 18
5.如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，已知点B的坐标是（，），则k的值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
6.如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点O重合．在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数y=（k≠0）中k的值的变化情况是（ ）
A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
7.如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数y=（x＞0）、y=（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
8.如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于A，B两点．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 10
9.如图，△OAB为等腰直角三角形，斜边OB边在x负半轴上，一次函数y=﹣x+与△OAB交于E、D两点，与x轴交于C点，反比例函数y=（k≠0）的图象的一支过E点，若S△AED=S△DOC，则k的值为（ ）
A. -
B. -
C. -3
D. -4
10.如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，BC为⊙A的直径，点C在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
11.如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（ ）
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
12.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（ ）
A. 2
B. 4
C.
D.
13.在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2与反比例函数的图象有唯一公共点，若直线y=﹣x+b与反比例函数的图象有2个公共点，则b的取值范围是（ ）
A. b＞2 B. ﹣2＜b＜2 C. b＞2或b＜﹣2 D. b＜﹣2
14.如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数y=的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，则图中阴影部分的面积是________．
15.如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=________
16.如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是________．
17.如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是________．
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若（m为大于l的常数）．记△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则=________．（用含m的代数式表示）
19.如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，﹣2），则点F的坐标是________．
20.如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平分线，分别于反比例函数y=和y=的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为________
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
【解析】【解答】过点B作BE⊥x轴于点E,过点A作AF⊥x轴于点F,
设点B的坐标为（a,）,点A的坐标为（b,）,
则OE=-a,BE=,OF=b,AF=,
∵∠OAB=30°,∴OA=OB,
∵∠BOE+∠OBE=90°,∠AOF+∠BOE=90°,
∴∠OBE=∠AOF,
又∵∠BEO=∠OFA=90°,∴△BOE∽△OAF,
∴==,即==,
解得:
m=-ab,n=,
故可得:
m=-3n.
故答案为：
A.
2.【答案】C
【解析】【分析】分别根据反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积求法以及梯形面积求法得出即可：
A、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：
xy=3；
B、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为|xy|=3：
C、如图，过点M作MA⊥x轴于点A，过点N作NB⊥x轴于点B，
根据反比例函数系数k的几何意义，S△OAM=S△OAM=|xy|=，从而阴影部分面积和为梯形MABN的面积：
（1+3）2=4。
D、根据M，N点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为：
16=3。
综上所述，阴影部分面积最大的是C。
故选C。
3.【答案】B
【解析】【解答】解：
如图，过点C作CD⊥OB于点D．
∵△OAB是等边三角形，该等边三角形的边长是4，
∴OA=4，∠COD=60°，
又∵点C是边OA的中点，
∴OC=2，
∴OD=OC•cos60°=2×=1，CD=OC•sin60°=2×=．
∴C（﹣1，）．
则=，
解得，k=﹣，
∴该双曲线的表达式为y=-．
故选B．
4.【答案】A
【解析】【解答】解：
作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，
∵BE∥AD，
∴△CBE∽△CAD，
∴，
∵AB=2BC，
∴CB：
CA=1：
3，
∴=，
∴AD=3BE，
设B（t，），则A点坐标为（t，），
∵S△AOD+S梯形ABED=S△AOB+S△BOE，
而S△AOD=S△BOE，=k，
∴S△AOB=S梯形ABED=（+）•（t﹣t）=8，
解得，k=6．
故选A．
5.【答案】C
【解析】【解答】解：
如图，过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF=BE，DF=AE，
∵正方形的边长为2，B（，），
∴BE=，AE==，
∴OF=OE+AE+AF=++=5，
∴点D的坐标为（，5），
∵顶点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴k=xy=×5=8．
故选：
C．
6.【答案】C
【解析】【解答】解：
设矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b．
∵矩形ABCD的周长始终保持不变，
∴2（2a+2b）=4（a+b）为定值，
∴a+b为定值．
∵矩形对角线的交点与原点O重合
∴k=AB•AD=ab，
又∵a+b为定值时，当a=b时，ab最大，
∴在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，k的值先增大后减小．
故选：
C．
7.【答案】D
【解析】【解答】解：
由题意得，点C的坐标（t，﹣），
点B的坐标（t，），
BC=+，
则（+）×t=3，
解得k=5，
故选：
D．
8.【答案】C
【解析】【解答】解：
设P（a，0），a＞0，
∴A和B的横坐标都为a，OP=a，
将x＝a代入反比例函数y＝﹣中得：
y＝﹣，
∴A（a，﹣）；
将x＝a代入反比例函数y＝中得：
y＝，
∴B（a，），
∴AB＝AP+BP＝+＝，
则S△ABC＝AB•OP＝××a＝5．
故答案为：
C.
9.【答案】C
【解析】【解答】解：
如图，作EF⊥OB于F，AG⊥OB于G，
设E（m，n），
∴OF=﹣m，EF=n，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∵EF⊥OB，
∴EF=BF=n，
∴OB=﹣m+n，
∴AG=OB=（﹣m+n），
∵一次函数y=﹣x+与x轴交于C点，
∴C（4，0），
∴BC=﹣m+n+4，
∵S△AED=S△DOC，
∴S△EBC=S△ABO，
∴OB•AG=BC•EF，即（﹣m+n）•（﹣m+n）=（﹣m+n+4）•n，
整理得，m2=n2+8n，
∵点E是直线y=﹣x+上的点，
∴n=﹣m+，得出m=4﹣7n，
代入m2=n2+8n化简得，3n2﹣4n+1=0
解得n=1或n=，
∴m=﹣3或m=4﹣＞0（舍去），
∴E（﹣3，1），
∵反比例函数y=（k≠0）的图象过E点，
∴k=mn=﹣3．
故选C．
10.【答案】D
【解析】【解答】解：
如图连接OC，
∵BC是直径，‘
∴AC=AB，
∴S△ABO=S△ACO=3，
∴S△BCO=6，
∵⊙A与x轴相切于点B，
∴CB⊥x轴，
∴S△CBO=，
∴k=12，
故选D．
11.【答案】D
【解析】【解答】设OA=3a，则OB=4a，设直线AB的解析式是y=kx+b，则根据题意得：
，解得：
，则直线AB的解析式是y=﹣x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．根据题意得：
，解得：
则D的坐标是（，），
OA的中垂线的解析式是x=，则C的坐标是（，），则k=．∵以CD为边的正方形的面积为，∴2（﹣）2=，则a2=，
∴k=×=7．故选D．
12.【答案】D
【解析】【解答】解：
过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，
∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，
∴A，B横坐标分别为1，3，
∴AE=2，BE=2，
∴AB=2，
S菱形ABCD=底×高=2×2=4，
故选D．
13.【答案】C
【解析】【解答】解：
解方程组得：
x2﹣bx+1=0，
∵直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点，
∴方程x2﹣bx+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4＞0，
∴b＞2，或b＜﹣2，
故选C．
14.【答案】
【解析】【解答】解：
∵∠ACB=90°，BC=4，∴B点纵坐标为4，
∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴当y=4时，x=3，即B点坐标为（3，4），
∴OC=3．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，AC=BC=4，OA=AC﹣OC=4﹣3．
设AB与y轴交于点D．
∵OD∥BC，
∴=，即=，
解得，OD=4﹣，
∴阴影部分的面积=×（OD+BC）×OC=12﹣，
故答案为：
12﹣．
15.【答案】6
【解析】【解答】解：
∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，
∴S1+S2=4+4﹣1×2=6．
故答案为6．
【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2．
16.【答案】2≤k≤
【解析】【解答】解：
反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A．
∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y=，∴k≥2．
随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，
经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y=﹣x+7，由，得：
x2﹣7x+k=0．
根据△≥0，得：
k≤．
综上可知：
2≤k≤．
故答案为：
2≤k≤
17.【答案】1+5
【解析】【解答】如图，∵点A坐标为（﹣2，2），
∴k=﹣2×2=﹣4，
∴反比例函数解析式为y=-，
∵OB=AB=2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（-，t），
∵PB=PB′，
∴t﹣2=|-|=，
整理得t2﹣2t﹣4=0，
解得t1=1+，t2=1﹣（舍去），
∴t=1+．
故答案为：
1+．
18.【答案】
【解析】【解答】解：
过点F作FD⊥BO于点D，EW⊥AO于点W，
∵，
∴=，
∵ME•EW=FN•DF，
∴=，
∴=，
设E点坐标为：
（x，my），则F点坐标为：
（mx，y），
∴△CEF的面积为：
S1=（mx﹣x）（my﹣y）=（m﹣1）2xy，
∵△OEF的面积为：
S2=S矩形CNOM﹣S1﹣S△MEO﹣S△FON，
=MC•CN﹣（m﹣1）2xy﹣ME•MO﹣FN•NO，
=mx•my﹣（m﹣1）2xy﹣x•my﹣y•mx，
=m2xy﹣（m﹣1）2xy﹣mxy，
=（m2﹣1）xy，
=（m+1）（m﹣1）xy，
∴==．
故答案为：
．
19.【答案】（，0）
【解析】【解答】解：
∵正方形的顶点A（m，2），
∴正方形的边长为2，
∴BC=2，
而点E（n，），
∴n=2+m，即E点坐标为（2+m，），
∴k=2•m=（2+m），解得m=1，
∴E点坐标为（3，），
设直线GF的解析式为y=ax+b，
把E（3，），G（0，﹣2）代入得，
解得，
∴直线GF的解析式为y=x﹣2，
当y=0时，x﹣2=0，解得x=，
∴点F的坐标为（，0）．
20.【答案】3
【解析】【解答】解：
设P（0，b），
∵直线AB∥x轴，
∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y=﹣的图象上，
∴当y=b，x=﹣，即A点坐标为（﹣，b），
又∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴当y=b，x=，即B点坐标为（，b），
∴AB=﹣（﹣）=，
∴S△ABC=•AB•OP=••b=3．
故答案为：
3．
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