搭配问题的数学模型初探.docx

搭配问题的数学模型初探.docx

《搭配问题的数学模型初探.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《搭配问题的数学模型初探.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

搭配问题的数学模型初探

搭配问题的数学模型初探

叶旭刚

（中科院科技政策与管理科学研究所，北京100080）

摘要：

给出几种最基本的飞行员搭配问题的数学模壅。

基于该模壅提出问题转换思路，即将所讨论问题转化为已知的已解决问题或易解决问题。

关薯词：

搭配；二部图；匹配；单元；广义匹配

1、引言

飞行员搭配问题是飞行员派遣中的一类特殊问题，它主要针对的是如何在保证飞行技术安全标准得到满足的情况下．最大化航班的生产。

具体地说，如何将一定的飞行员按照一定的飞行任务要求分组，使每组的成员之问具有可搭配性，成员总体的技术水平满足飞行任务的技术标准，同时使可执行任务的分组数最多，从而最大限度地满足航班生产。

可见。

飞行员搭配问题是一类特殊的优化问题，本文将从最简单情况人手，提炼数学模型，并从多个角度对模型及其进行分析，探讨及论证。

飞行员搭配问题的良好解决，对于合理使用飞行员资源，保证安全，提高效益具有重要意义．当今的发达国家如美国、德国、加拿大、日本、荷兰等国早已将其纳入了飞行员管理的综合框架。

值得一提的是飞行员搭配问题就其数学本质来说可以出现在各个领域，所以它的意义并不局限于航空管理。

任何存在人员组合或某些对象组合的地方都会出现类似的问题。

2飞行员搭配问题的数学描述

实际的飞行员搭配问题主要是按照技术等级的搭配来考虑的。

比如说现在有一批飞行员，包

括正驾驶（机长），第一副驾驶．第二副驾驶三个技术等级若干名。

与此同时考虑一个航班任务，它需要配备一名正驾驶，两名副驾驶。

考虑到执行这个航班任务的技术力量不能太弱，故两名副驾驶只可能是两个第一副驾驶．或者一个第一副驾驶，一个第二副驾驶。

若要执行这个任务，必须从所给飞行员中挑出一名正驾驶。

两名副驾驶。

他们能否配组还要考虑他们之间的可搭配性．比如说不能出现人际障碍．或者性格内向的飞行员碰到一起。

单个任务是微观上的考虑，在有多个任务时，要从宏观上考虑，要做到统筹兼顾．要做到优化组合。

一句话，要从数学规划的角度上来考虑如何产生尽可能多的，基于一定飞行任务需要的，符合一定技术标准又具有可搭配性的飞行组。

搭配问题的最简情形是所谓的“二人组问题”。

也即．从飞行员的角度来讲，飞行员只有正驾驶和副驾驶两类。

从航班任务的角度来讲．每个航班需且仅需配备一名正驾驶和一名副驾驶。

可见“二人组问题”具有问题属性的唯一性特点，而且它是搭配问题的最简情形，上文提到的情形属于一类特殊的“三人组问题”，也属于比较简单的情形，本文的内容将围绕这两类最基本的f可题展开。

先来看“二人组问题”的进一步描述。

假设有m个正驾驶、一个副驾驶，用平面上含有m个点的点集S表示这m个驾驶，用含有个点的点集T表示这个副驾驶，如果某一正驾驶和某一副驾驶具有可搭配性，就在两个相应的点问连上一条弧，将所有可能存在的弧记作集合A。

于是，一个无权，无向图G=（s．T．A）就产生了。

需要注意的是：

这个图中只存在连接s中点和T中点的派，即机长与机长不搭配，副驾驶与副驾驶不搭配。

于是图G是一个简单的无权、无向．二部图。

相应的优化问题为：

定义A的子集M为G的一个匹配，如果M中任两条弧无公共端点，求G的弧数最大的匹配（即最大匹配）。

再来看先前提到的“三人组问题”。

假设有m个正加强，个副驾驶，令rt=rtl+2，其中1为第一副驾驶的个数．rt2为第二副驾驶的个数。

用平面上含有m个点的点集s表示这m个正驾驶，甩含有个点的点集Tl表示这rt1个第一副驾驶，甩含有n2个点的点集Tz表示这rtz个第二副驾驶。

如果某一正驾驶可以和某一第一副驾驶搭配，就在两个相应的点间连上一条弧，并赋权

1；如果某一正驾驶可和某一第--N驾驶搭配，就在两个相应的点间连上一条弧，并赋权0：

如果某一第一副驾驶可以和某一第二副驾驶搭配，就在两个相应的点间连上一条弧，并赋权0；将所有可能存在的弧记作集合A。

于是，一个赋权，无向图G=（s，T=丁1UT2，A）就产生了。

图G已经是非二部图。

构造出图后．我们来进一步阐述“三人组问题”：

定义子图I为单元，如果这个子图I是含S中一个点，T中的两个点的完全三角形，且总权和>／1。

设B为G的所有单元的集合。

定义B的子集M为G的广义匹配，如果M中无两个单元有公共端点。

求G的单元数最大的广义匹配。

现在，我们已将两种最简单的搭配情形描述清楚了，本文下面将具体对之展开讨论，并对可能的推广做出适度探讨。

3对模型的研究

3．1二人组问题

容易知道．我们这里的“二人组问题”是一个经典的匹配问题，也即二部图的基数匹配问题。

文献…指出，二部图的基数匹配问题可以转化为求一种增广路（AugmentPath）的问题，转化为一种特殊的最大流（Maximumflow）问题，转化为一种特殊的指派（WeighedAssignment）问题。

实际上这些方法的共同本质特征为：

寻求原始问题的数学转化，使其转化为已知可求解或已知易求解的问题。

但这些方法都基于了一个“配偶”的概念，这是“二人组问题”内在的特殊性。

然而稍复杂的“三人组问题”却不存在“配偶”的概念，也即一组三人。

本文将介绍一种称之为“关联阵”的方法。

该方法并不依赖这个“配偶”的概念．所以在对问题的描述方面更具推广性。

我们先来看一下对“二人组问题”的描述。

根据一个无权．无向二部图的最大匹配问题的提法：

“从所有的弧中挑选出尽可能多的两两无

公共端点的弧。

”关联阵方法侧重于“挑选”，首先来看什么关联阵。

对于一个无权．无向二部图G=（s，T，A）．设A=fni，n2，…，n1l，即弧集合。

定义0—1变量5g（i=1．2，…，1）：

若一个A的子集M选中了弧．则令=1．否则令zf：

0。

于是产生了一个对应：

（n1．1），（n2，X2）．…．（n1，z1）。

这个子集M是匹配当且仅当对任意的1，xj1，n与口，无公共端点。

所以M形成匹配的挑选原则为：

如果弧n，与口，有公共端点，则，+oT≤1；如果弧与n，无公共端点，则，z，无限制。

这一关系便可由一个称为“关联阵”的东西来描述构造一个矩阵Xl1，对于iO．e充分小。

对于i≥J．令oT=0。

这个矩阵就是我们所说的

“关联阵”，根据它．G的最大匹配问题可描述为：

max∑z

=1

z+≤，，_1·2，…l1；

zi=0或1，i=1，2，…，1；X11为关联阵。

很明显，一个0—1整数规划模型。

X

m

3．2三人组问题

我们来考察本文前面提到的那个“三人组问题”，即所谓的最大广义配问题。

∑Ⅲ

考虑那个赋权无向图G=（s，T：

TlUT2，A，B），其中B为先前所述的单元集。

设B=

{b1．b2，…，b1}，定义0—1变量（i=1，2．……，1）：

若一个B的子集M选中了单元≤b．则令=

1，否则令z=0。

于是产生了一个对应：

（b1，1）．（b2．2），…，（b1，1）。

这个子集M是广义匹配

上．1

当且仅当对任意的，=1，=1，bi与6，无公共端点。

所以M形成广义匹配的挑选原则为：

如果

<

，

单元bt与b有公共端点。

则z+≤1；如果单元b与b，无公共端点，则．无限制。

这一关

系可借助关联阵来描述。

，

=

构遣—个矩阵x11．对于i<（i．J=1，2，…．1）．令z，=1，如果b与有公共端点；=e，

l

2

若b与bj无公共端点，其中e>O，e充分小。

对于i≥j，令f=0。

根据这个关联阵，G=（s．T1

UT2．^．B）的最大广义匹配问题可描述为：

l

矗=0或1．i=1，2，…．1，X1l为关联阵。

可见对于“三人组问题”，借助关联阵描述出来的数学模型与“二人组问题”没有丝毫两样，于是

我们进一步大胆设想，可否进一步描述稍复杂一点的“四人组问题”。

3．3四人组问题

实际中碰到的“四人组问题”经常是基于“两名正驾驶，两名副驾驶”类型的。

给定一批飞行员．

包括第一正驾驶（带队机长），第二正驾驶（机长）．第一副驾驶．第二副驾驶四个技术等级若干名。

考虑一批航班任务，其中每个航班任务要配备两名正驾驶，两名副驾驶。

首先要考虑到执行此类型

航班任务的技术力量不能太弱，比较常见的一个技术搭配原则是这样的；若两个正驾驶都是第一正

驾驶，则两个副驾驶随意挑选；若两个正驾驶中一个是第一正驾驶．另一个是第二正驾驶，则两个副

驾驶中至少要有一个第一副驾驶；若两个正驾驶都是第二正驾驶，则两个副驾驶必须都是第一副驾

驶。

其次要考虑他们之问的可搭配性．即执行航班任务的四个人中的任两人必须是可以合作的。

下面我们用数学语言来进一步描述四人组问题。

假设有个正驾驶，n个副驾驶，令m=ml+m2，其中为ml第一正驾驶的个数，m2为第二

正驾驶的个数；令=n+，其中l为第一副驾驶的个数，n为第二副驾驶的个数。

用平面上

含有m．个点的点集sl表示这m个第一正驾驶，用含有m个点的点集s表示这m2个第二正

驾驶；用含有，个电的点集TI表示这n个第一副驾驶，用含有2个点的点集T表示这2个

第二副驾驶。

如果某一第一正驾驶可和某一第一副驾驶搭配，就在两个相应的点间连上一条弧，

并赋权2；如果某一第一正驾驶可和某一第二副驾驶搭配．就在两个相应的点间连上一条弧，并

赋权1：

如果某一第二正驾驶可和某一第一副驾驶搭配，就在两个相应的点间连上一条弧，并赋

权1；如果某一第二正驾驶可以和某一第二副驾驶搭配，就在两个相应的点间连上一条弧，并赋权

0。

如果某一第一正驾驶可和某一第二正驾驶搭配，就在两个相应的点间连上一条弧，并赋权0；

如果某一第一副驾驶可以和某一第二副驾驶搭配，就在两个相应的点间连上一条弧，并赋权0。

将

所有可能存在的弧记作集合A。

于是，一个赋权，无向图G=（S=StUS2．T=T1UT2，A）就产

生了。

构造出图后，我们来进一步阐述“四人组问题”：

定义的子图I为单元，如果这个子图I是含s

中两个点．T中的两个点的完全四边形，且总权和≥4。

设B为G的所有单元的集合。

定义B的子集M为G的广义匹配，如果M中无两个单元有

公共端点。

求G的单元数最大的广义匹配。

可见．描述到这里之后，再往下就和“二人组问题”及“三人组问题”的相应部分的讨论一致了。

但是仍然产生出来一个问题：

即如何找出所有的“单元”?

这是一个产生复杂性的地方。

由于篇幅

限制，本文不做讨论了。

下面再来探讨一下所谓的“混合同题”。

3．4混合问题

最简单的混合问题是“二人组”与“三人组”的混合。

考察一批飞行员，包括正驾驶，第一副驾

驶，第二副驾驶三个技术等级各若干名。

与此同时，考虑一批航班任务，任务有两种类型：

其一，所

谓的“双人飞行”需配备一名正驾驶和一名第一副驾驶；其二，所谓的“三人飞行”，需配备一名正驾

驶和两名副驾驶，考虑到技术组合不能太弱，故两名副加强不能都是第二副驾驶。

所谓混合问题是

指：

从这批飞行员中既要选出一批“双人组”，又要选出一批“三人组”，来最大限度地满足这两种类

型的航班任务的生产。

在实际中一般要考虑到至少要配出一定数量的“双人组”，至步要配出一定

数量的“三人组”，在此基础上，寻求名自数量的最大化。

在这里，寻求各自数量的最大化还不能使

问题的实际意义体现出来。

一般来说“双人组航班”的飞行收益与“三人组航班”的飞行收益并不一

致。

所以考虑收益最大化将使问题的描述更具实际意义。

基于这样的考虑后，总的目标必须是个

加权和。

当然这只是从某一方面考虑问题，实际中肯定会派生出多种多样的问题。

这里就不再冗

述。

先来探讨所谓的“收益最大化”的混合问题，其数学描述如下：

给定一个赋0，1权的无向图G=（s，T=TlUT2，A）其中点集S={】，2，一，M}，T】=

{“I，”2，……，”l}，7"2={”l’，2’，…，”2’}。

点集s中任两点间无弧。

若s中某一与T】中

某一ui间有弧，则记权”（，）=1；若S中某一与T2中某一’问有弧，则记权"（Uj’）

=O；若Tl中某一”’与T2中某一间有弧，则记权”（’．Uj’）=0。

定义G的子图I为单元

如果I满足下列两种情况之一：

情况I：

I是一个权为1的弧；情况Ⅱ：

I是含s中一个点，T中的两个点的完全三角形，且总

权和≥l。

设B为G的所有单元的集合。

定义B的子集M为G的广义匹配，如果M中无两个单元有

公共端点。

设情况I的单元的收益数为C。

，情况II的单元的收益数为c2，定义广义匹配M的收

益数为．+c2，其中为情况I的单元数，Y为情况II的单元数。

求G的收益敦最大的广义匹

配并满足条件：

>／-0，≥o，其中o为至少需要的情况I单元数，Yo为至少需要的情况II的单

元数。

下面我们借助关联阵来进一步描述。

设B=1b1，b2，…，bn，bl’，b2’，…，bn’}，其中bl，b2，…，611为情况I的单元，61’，62’，…，

Bl2’为情况Ⅱ的单元。

定义0—1变量Xi（1，2…，z1），（=1，2，…，2）：

若一个B的了集M

选中了单元6，，则令=1，否则令f=O；若M选中了单元6’，则令=1，否则令=O。

于是产

生了一个对应：

（61，1），（b2，2），…，（6ll’，Yl1），（62’，Y2），…（6l2’，Yl2）。

子集M是广义匹配当

且仅当，的取值满足：

对任意的z{=1，=1，b与无公共端点，其中：

，=1，2，’”，z1；对任

意的=1，，=1，bi与bj’无公共端点，其中：

1，2，…，z1，=1，2，…，12；对任意的=1，=

1，b’与6，’无公共端点，其中：

i，j=1，2，…，l2。

所以M形成广义匹配的挑选原则为：

如果单元b

与6，有公共端点，则z≤l，否则，IJ无限制，其中i，j=1，2，…，zl；如果单元b与bj’有公

共端点，则，≤1，否则，无限制，其中i：

1，2，…，l，=1，2，…，12；如果单元b，’与’有

共公端点，则Y≤1，否则，，无限制，其中，j=1，2，…，12。

可见我们须借助三个关联阵来

描述上述关系。

矩阵xI1：

对于

与6，无公共端点，其中e>O，e充分小。

对于i≥，令=0。

矩阵yl2l2：

对于i

b’与6，’无公共端点，其中￡>O，e充分小。

对于i≥j，令Y=0。

矩阵Zl1l2：

令=1，如果b，与’有公共端点；z口=e，如果bf与’无公共端点，其中e>

0，e充分小。

1，2，--．，l，=1，2，…，2。

借助上述三个关联阵。

G的收益数最大的广义匹配问题可描述为：

ma）【Cl∑+c2∑

f≤，i<，f，=1，2，…，ll；

+≤，<川，=1I2，…，f2；

≤，i=1，2，…，ii，j=1，2，…，12；

∑≥o，∑≥Yo；

，为0或1，i=1，2，…，l，=1，2，…，z2；

xll×I1，yl2xl2，z1l×l2为关联阵。

可见．是一个稍复杂的0—1整数规划问题。

4结束语

本文仅讨论了飞行员搭配问题中的最简情形：

“二人组问题”，一类特殊的“三人组问题”，一类

特殊的“四人组问题”和一类特殊的“混合问题”。

值得注意的是，飞行员搭配问题是一个系列问题。

实际中我们碰到的情况远远不止上面提到的那样简单。

比如说许多航班任务是要配备多个机组人

员，除正驾驶，副驾驶之外，还有报务员和机械员等。

“混和问题”的模式也复杂得多。

经常是“多个

多人组问题”。

不论怎样，这一系列问题的研究必然是从诸如“二人组”和“三人组”这样的简单问题

开始的。

实际上飞行员搭配问题系列所反映出来的数学本质是粗合优化的一个方向，在这个方向

上如有所突破，都将对实际的工程管理领域做出贡献。

参考文献

【1]C．H-papadimitfiouandSteigl；tz．CombinationalOptimizationAlgorithmandComplexity【M]．Printice—HallInc．

1982．

【2]EdwardM．Reingold，JurgNievergeltandNarsinghdoeCccnhinatinoalAlgorithms：

TheoryandpracticeM【]．Printice

—HaUIncEngle,~,aClif／s，NewJersey07632，1977．

【3]徐俊明．图论及其应用M【]．中国科技大学出版社．1998．

【4]杨振生，王树禾．组合数学及其算法M【]．中国科技大学出版社，1997．

InitialExplorationofproblemsinCrewsGrouping

YEXu—gang

（InstituteofPolicy＆Manugement，ChineseAcademyofSciences，Beijing100080．China）

Abstract：

Threerno6telementarytypesofquestionsonCrewsGroupingareputforwardfor~scusmonint}fispa

—

per·Althoughrudimentarydotheyseem，theyaregate~leadingtoa5esofdeeperharder．andrnocomplexprob—

，

l吣·Basedonthebasicproblemsexplored，akindofthinkingisestablishedinordertoreducetheoriginalproblmesinto

whathavebeenHolvedorwhatarecomparativelyeaertoresolve

．

Keywonb：

grouping；bigraph；matching