最新北京市昌平区高三二模数学理科试题及答案.docx
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最新北京市昌平区高三二模数学理科试题及答案
昌平区2015年高三年级第二次统一练习
数学试卷（理科）2015.4
考生注意事项：
1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分（选择题）必须用2B铅笔作答，第二部分（非选择题）必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B铅笔．
3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．
4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1.已知集合
，
，则
中元素的个数为
A．0个B.1个C.2个D.3个
2.
A．
B.
C.1D.6
3.已知等差数列
的公差是2，若
成等比数列，则
等于
A.
B.
C.
D.
4.“
是“直线
与圆
相交”的
A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充要条件D.既不充分也不必要条件
5.在篮球比赛中，某篮球队队员投进三分球的个数如表所示：
队员i
1
2
3
4
5
6
三分球个数
右图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球
总数s的程序框图，则图中的判断框内应填入的条件是
A.
B.
C.
D.
6一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
7.已知函数
（
R）是奇函数，其部分图象如图
所示,则在
上与函数
的单调性相同的是
A.
B.
C.
D.
8.已知四面体
满足下列条件：
（1）有一个面是边长为1的等边三角形；
（2）有两个面是等腰直角三角形.
那么四面体
的体积的取值集合是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
9.已知直线l的极坐标方程为
，则直线l的斜率是___________.
10.如图，⊙O中的弦AB与直径CD相交于点P，M为
DC延长线上一点，MN与⊙O相切于点N，若AP＝8,PB＝6,
PD＝4,MC＝2，则
_______,
.
11.在
中，若
，
，
，则边
__________.
12.如图,在菱形
中,
为
的中点,则
的值是.
13.某班举行联欢会由5个节目组成，演出顺序有如下要求：
节目甲必须和节目乙相邻，
且节目甲不能排在第一个和最后一个，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有___________种.（用数字作答）
14.如图，已知抛物线
被直线
分成两个区域
（包括边界），
圆
（1）若
，则圆心C到抛物线上任意一点距离的最小值是__________；
（2）若圆C位于
内（包括边界）且与三侧边界均有公共点，则圆C的半径是__________.
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.（本小题满分13分）
已知函数
的部分图象如图所示.
（I）求函数
的解析式；
（II）求函数
的单调递增区间.
16.（本小题满分13分）
某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”的概率为
.
专业
性别
中文
英语
数学
体育
男
1
1
女
1
1
1
1
现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（
）求
的值；
（II）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
（III）设
为选出的3名同学中“女生或数学专业”的学生的人数，求随机变量
的分布列及其数学期望
.
17.（本小题满分14分）
如图，已知等腰梯形
中，
是
的中点，
，将
沿着
翻折成
，使平面
平面
.
（I）求证：
；
（II）求二面角
的余弦值；
（III）在线段
上是否存在点P，使得
平面
，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
18.（本小题满分13分）
已知函数
（I）若函数
在
处的切线垂直于
轴，求实数a的值；
（II）在（I）的条件下，求函数
的单调区间；
（
）若
恒成立，求实数a的取值范围.
19.（本小题满分14分）
已知椭圆
：
，右焦点
，点
在椭圆上.
（I）求椭圆
的标准方程；
（II）已知直线
与椭圆
交于
两点，
为椭圆
上异于
的动点.
（i）若直线
的斜率都存在，证明：
;
（ii）若
，直线
分别与直线
相交于点
，直线
与椭圆
相交
于点
（异于点
），求证：
三点共线.
20.（本小题满分13分）
如图，在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中，将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规律填入各方格中.其中第
行，第
列的数记作
，如
.
2
4
8
14
…
6
10
16
24
…
12
18
26
36
…
20
28
38
50
…
…
…
…
…
…
（
）写出
的值；
（
）若
求
的值；（只需写出结论）
（III）设
，
（
）,记数列
的前
项和为
求
；并求正整数
，使得对任意
，均有
．
昌平区2015年高三年级第二次统一练习
数学试卷（理科）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
A
B
A
D
C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．
9.210.12,611.1
12.113.3614.
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.（本小题满分13分）
解：
（I）由题意可知，
，得
，解得
.
，
即
，
，
所以
，故
.……………7分
（II）
由
故
.……………13分
16.（本小题满分13分）
解：
（I）设事件
：
从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．
由题意可知，“数学专业”的学生共有
人．
则
．
解得
．
所以
．……………4分
（II）设事件
：
从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．
则
．……………7分
（III）由题意，
的可能取值为
，
，
，
．
由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．
所以
，
，
，
．
所以
的分布列为
0
1
2
3
所以
．……………13分
17.（本小题满分14分）
（I）由题意可知四边形
是平行四边形，所以
，故
.
又因为
所以
即
所以四边形
是平行四边形.
所以
故
.
因为平面
平面
平面
平面
平面
所以
平面
.
因为
平面
所以
.
因为
、
平面
所以
平面
.……………5分
（II）以
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系，则
.
平面
的法向量为
.
设平面
的法向量为
因为
，
令
得,
.
所以
因为二面角
为锐角,
所以二面角
的余弦值为
.……………10分
（III）存在点P,使得
平面
.……………11分
法一:
取线段
中点P，
中点Q，连结
.
则
，且
.
又因为四边形
是平行四边形，所以
.
因为
为
的中点，则
.
所以四边形
是平行四边形，则
.
又因为
平面
所以
平面
.
所以在线段
上存在点
，使得
平面
，
.……………14分
法二：
设在线段
上存在点
，使得
平面
设
（
）,
，因为
.
所以
.
因为
平面
所以
所以
解得
又因为
平面
所以在线段
上存在点
，使得
平面
，
．……………14分
18.（本小题满分13分）
解：
（I）
定义域为
依题意，
.
所以
，解得
……………4分
（II）
时，
，定义域为
，
当
或
时,
，
当
时，
，
故
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.----8分
（III）解法一：
由
，得
在
时恒成立，
令
，则
令
，则
在
为增函数，
.
故
，故
在
为增函数.
，
所以
，即实数
的取值范围为
.……………13分
解法二：
令
，则
，
（i）当
，即
时，
恒成立，
在
上单调递增，
，即
，所以
；
（ii）当
，即
时，
恒成立，
在
上单调递增，
，即
，所以
；
（iii）当
，即
或
时，
方程
有两个实数根
若
，两个根
，
当
时，
，
在
上单调递增，
则
，即
，所以
；
若
，
的两个根
，
，且
在
是连续不断的函数
所以总存在
，使得
，不满足题意.
综上，实数
的取值范围为
.……………13分
19.（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点为
，则
，
解得
，所以
.
故椭圆
的标准方程为
.……………5分
（Ⅱ）（i）证明：
设
，则
两式作差得
.
因为直线
的斜率都存在，所以
.
所以
，即
.
所以，当
的斜率都存在时，
.……………9分
（ii）证明：
时，
.
设
的斜率为
，则
的斜率为
，
直线
，
，
直线
，
所以直线
，直线
，
联立，可得交点
.
因为
，
所以点
在椭圆
上.
即直线
与直线
的交点
在椭圆上，即
，
，
三点共线.……………14分
20.（本小题满分13分）
解：
（
）
，
.……………4分
（
）I=20,j=3.…………8分
（
）位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是2，10，26，50，bn是依（
）中排法的第2n–1组的中间一个数，即第n个数，
所以bn=（2n–
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