数值分析试题卷与答案解析.docx
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数值分析试题卷与答案解析
数值分析试题
一、填空题（20×2′）
1.
3
2
2
A
1
X
2
3
设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2
位有效数字。
2.若f（x）=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,2
7]=1
，
f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]=
0
。
3.设，‖A‖∞＝___5____，‖X‖∞＝__3_____，
‖AX‖∞≤15___。
4.
非线性方程fx
）=0
的迭代函数x
x
在有解区间满足
’x
）|<1
，则使用该迭
（
=（）
|（
代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5.区间[a,b]上的三次样条插值函数S（x）在[a,b]上具有直到2阶的连续导数。
6.当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公
式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的
拉格朗日插值公式
。
n
7.
拉格朗日插值公式中
f（xi）的系数ai（x）的特点是：
ai（x）
1
；所以
i0
当系数ai（x）满足
ai（x）>1
，计算时不会放大
f（xi）的误
差。
8.
要使20的近似值的相对误差小于
0.1%，至少要取
4
位有效数字。
9.
对任意初始向量
（0）
及任意向量
g
，线性方程组的迭代公式
x
（k+1）=
Bx
（k）+（
=0,1,⋯）
X
gk
收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是（B）<1。
10.
由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是
5
。
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
y=f（x）
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
11.
牛顿下山法的下山条件为
|f（xn+1）|<|f（xn）|
。
12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri（i=0,1,⋯,n）来实现的，其中的残差
r＝（b
-a
x
-a
x
-⋯-ax
）/a
ii
，（i=0,1,⋯,n）。
ii
i1
1
i2
2
inn
13.在非线性方程f（x）=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f（x）
的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为
f（x0）f”（x0）>0。
14.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。
二、判断题（10×1′）
1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。
（×）
2、解非线性方程f（x）=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。
（）
3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式
n
aiiaij（i1,2,...,n）
j1ji
则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。
（×）
4、样条插值一种分段插值。
（）
5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。
（）
6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差
及舍入误差。
（）
7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。
（×）
8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步
迭代计算的舍入误差。
（×）
9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截
断误差＝舍入误差。
（）
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。
（×）
三、计算题（
5×10′）
1、用列主元高斯消元法解线性方程组。
x1x2x34
5x14x23x312
2x1x2x311
解答：
（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：
5x14x23x312
x1x2x34
2x1x2x311
L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4方程化为：
5x14x23x312
0.2x20.4x31.6
2.6x20.2x315.8
（-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：
5x14x23x312
2.6x20.2x315.8
0.2x20.4x31.6
L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：
5x14x23x312
2.6x20.2x315.8
0.38462x30.38466
回代得：
x13.00005
x25.99999
x31.00010
2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4（x），并写
出其截断误差的表达式（设f（x）在插值区间上具有直到五阶连续导数）。
xi
0
1
2
f（xi）
1
-1
3
f’（xi）
1
5
解答：
做差商表
xi
F（xi）
F[xi,xi+1]
F[xi.xi+1.xi+2]
F[xi,xi+1,xi+2,xi+3
F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4
]
]
0
1
1
-1
-2
1
-1
1
3
2
3
4
3
0
2351-2-1
P4（x）=1-2x-3x（x-1）-x（x-1）（x-1）（x-2）
R4（x）=f（5）（）/5!
x（x-1）（x-1）（x-2）（x-2）
3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——
赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代
法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。
2x1
x2
x4
1
x1
x3
5x4
6
x2
4x3
x4
8
x1
3x2
x3
3
解答：
交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：
2x1
x2
x4
1
x1
3x2
x3
3
x2
4x3
x4
8
x1
x3
5x4
6
雅克比迭代公式：
2x1
x2
x4
1
x1
3x2
x3
3
x2
4x3
x4
8
x1
x3
5x4
6
《计算机数学基础
（2）》数值分析试题
一、单项选择题
（每小题
3分，共15
分）
1.
已知准确值
x*与其有
t
位有效数字的近似值
x＝0.0
a1a2⋯an×10s（a10）的绝对误差x*－
x（
）．
（A）0.5×10s－1－t
（B）0.5×10s－t
（C）0.5×10s＋1－t
（D）0.5×10s＋t
2.
以下矩阵是严格对角占优矩阵的为
（
）．
2
1
0
0
5
2
1
0
（A）
1
2
1
0
，
1
4
1
0
0
1
2
（B）
1
4
1
1
1
0
0
1
2
0
0
1
2
5
2
1
0
4
2
1
1
1
4
2
1
1
4
1
0
（C）
1
4
1
（D）
1
4
1
2
2
0
0
1
2
1
3
1
5
3.
过（0，1），（2，4），（3，1）点的分段线性插值函数
P（x）=（
）
3
1
0
x
2
3
1
0
x
2
（A）
x
（B）
x
2
2
3x
10
2
x
3
3x2
10
2
x
3
（C）
3x1
0x2
（D）
3x1
0x2
2
2
3x
10
2
x
3
x
4
2
x3
4.
等距二点的求导公式是
（
）
f（xk）
1
yk1）
f（xk）
1
yk1）
（yk
（yk
（A）
h
（B）
h
1
1
f（xk1）
yk1）
f（xk1）
（yk
（ykyk1）
h
h
f（xk）
1（yk
yk1）
（C）
h
（D）
1
f（xk1）
yk）
（yk1
h
5.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是
yk1
1
（ypyc）
2
那么yp,yc分别为（
）．
（A）
yp
yk
hf（xk,yk）
（B）
yp
yk
hf（xk1,yk）
yc
yk
hf（xk1,yk）
yc
yk
hf（xk,yp）
（C）
yp
yk
f（xk,yk）
yp
yk
hf（xk,yk）
yc
yk
（D）
yc
yk
hf（xk1,yp）
f（xk,yp）
二、填空题（每小题3
分，共15分）
6.
设近似值x1,x2满足（x1）=0.05，（x2）=0.005
，那么（x1x2）=
．
7.
三次样条函数
S（x）满足：
S（x）在区间[a,b]内二阶连续可导，
S（xk）=yk（已知），k=0,1,2,⋯,n，
且满足S（x）在每个子区间[xk,xk+1]上是
．
b
n
n
8.
牛顿－科茨求积公式
f（x）dx
Akf（xk），则
Ak＝
.
a
k0
k
0
9.
解方程f（x）=0的简单迭代法的迭代函数
（x）满足在有根区间内
，则在有根区间内
任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．
10.解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是
预报值：
yk1ykhf（xk,yk），校正值：
yk+1=．
三、计算题（每小题15分，共60分）
11.用简单迭代法求线性方程组
8x13x22x320
4x111x2x333
6x13x212x336
的X（3）．取初始值（0,0,0）T，计算过程保留4位小数．
12.
已知函数值f（0）=6，f
（1）=10，f（3）=46，f（4）=82，f（6）=212，求函数的四阶均差
f（0,1,3,4,6）
和二阶均差（4，1，3）．
f
3
13.将积分区间
8等分，用梯形求积公式计算定积分
1x2dx，计算过程保留
4位小数．
1
14.
用牛顿法求
115的近似值，取x=10或11
为初始值，计算过程保留
4位小数．
四、证明题（本题10分）
15.证明求常微分方程初值问题
yf（x,y）
y（x0）y0
在等距节点a=x0h
y
（
x
k+1）
y
k+1=
y
k+
[（
x
k,k）+（
k+1,
y
k+1）]
f
yfx
2
其中h=xk+1－xk（k=0,1,2,⋯n－1）
《计算机数学基础
（2）》数值分析试题答案
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1.A2.B3.A4.B5.D
二、填空题（每小题3分，共15分）
6.0.05
x2+0.005
x1
7.
3次多项式
8.b－a
9.
（x）
r<1
10.yk+h[f（xk,yk）f（xk1,yk1）]hf（xk＋1,yk1）．
2
三、计算题（每小题15分，共60分）
11.写出迭代格式
x1（k1）
0
0.375x2（k）
0.25x3（k）
2.5
x2（k1）
0.
3636x1（k）
0
0.090
9x3（k）
3
x3（k1）
0.
5x1（k）
0.25x2（k）
0
3
X（0）=（0,0,0）T.
x1
（1）
0
0.375
0
0.25
0
2.5
2.5
x2
（1）
0.3636
0
0
0.0909
0
3
3
x3
（1）
0.5
0
0.25
0
0
3
3
得到X
（1）
＝（2.5，3，3）T
x1
（2）
0
0.375
3
0.25
3
2.5
2.875
x2
（2）
0.3636
2.5
0
0.0909
3
3
2.3637
x3
（2）
0.5
2.5
0.25
3
0
3
1.0000
得到X
（2）
=（2.875，2.3637，1.0000）T
x1（3）
0
0.375
2.3637
0.25
1
2.5
3.1364
x2（3）
0.3636
2.875
00.0909
1
3
2.0456
x3（3）
0.5
2.875
0.25
2.3637
0
3
0.9716
得到X（3）
=（3.1364
，2.0456
，0.9716）T.
12.计算均差列给出．
xk
f（xk）
一阶均差
二阶均差
三阶均差
四阶均差
0
6
1
10
4
3
46
18
14/3
4
82
36
6
1/3
6
212
65
29/3
11/15
1/15
1
f（0,1,3,4,6）=
15
f（4,1,3）=6
13.f（x）=
1
x
=
0.25
．分点x0=1.0
，x1=1.25
，x2=1.5，x3=1.75，x4=2.0，x5=2.25，
2
h
2
8
x6=2.50，x7=2.75，x8=3.0.
函数值：
f（1.0）=1.4142，f（1.25）=1.6008，f（1.5）=1.8028，f（1.75）=2.0156，f（2.0）=2.2361，
f（2.25）=2.4622，f（2.50）=2.6926，f（2.75）=2.9262，f（3.0）=3.1623．
3
h
f（x）dx
[f（x0）
1
2
2（f（x1）
f（x8）
f（x2）f（x3）f（x4）f（x5）f（x6）f（x7））]（9分）
=
0.25×[1.4142+3.1623+2×（1.6008+1.8028+2.0156
2
+2.2361+2.4622+2.6926+2.9262）]
=0.125×（4.5765+2×15.7363）=4.5061
14.设x为所求，即求x2－115=0的正根．f（x）=x2－115．
因为f（x）=2x，f（x）=2，f（10）f（10）=（100－115）×2<0，f（11）f（11）=（121－115）×2>0
取x0=11．
有迭代公式
xk+1=xk－
f（xk）
xk2
115
xk
115
f（xk）
=xk
2xk
2
（k=0,1,2,⋯）
2xk
11
115
x1=
2
＝10.7273
2
11
10.
7273
115
x2=
2
2
10.727
3
10.
7238
115
x3=
2
2
10.723
8
＝10.7238
＝10.7238
x*10.7238
四、证明题（本题10分）
15.在子区间[xk+1,xk]上，对微分方程两边关于x积分，得
xk1
y（xk+1）－y（xk）=f（x,y（x））dx
xk
用求积梯形公式，有
h
y（xk+1）－y（xk）=[f（xk,y（xk））f（xk1,y（xk1））]
将y（xk）,y（xk+1）用yk,yk+1替代，得到
y（xk+1）yk+1=yk+h[f（xk,yk）+f（xk+1,yk+1）]（k=0,1,2,⋯,n－1）
2
数值分析期末试题
一、填空题（2
10
20分）
1
5
2
（1）设A
2
1
0
，则A
______13_______。
3
8
2
（2）对于方程组
2x1
5x2
1
0
2.5
。
10x1
4x2
3
，Jacobi迭代法的迭代矩阵是BJ
0
2.5
（3）3x*
的相对误差约是x*的相对误差的
1倍。
3
（4）求方程x
f（x）根的牛顿迭代公式是
xn
1
xn
xn
f（xn）。
1
f'（xn）
（5）设f（x）
x3
x1，则差商f[0,1,2,3]
1
。
（6）设n
n矩阵G的特征值是
1,
2,
n，则矩阵
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