数值分析试题卷与答案解析.docx

1、数值分析试题卷与答案解析数值分析试题一、 填空题（ 2 02）1.322A1, X23设 x=0.231 是精确值 x*=0.229 的近似值，则 x 有 2位有效数字。2. 若 f(x)=x7 x3 1 ， 则 f20 ,21,2 2,23 ,24,25,26,27= 1，f2 0,2 1,22,23 ,24,25 ,26 ,27,28 =0。3. 设，A _5 _，X_ 3_，AX 15_ _ 。4.非线性方程 f x)=0的迭代函数 xx在有解区间满足x)| 1，计算时不会放大f(xi)的误差。8.要使 20 的近似值的相对误差小于0.1% ，至少要取4位有效数字。9.对任意初始向量(0

2、)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1) =Bx(k)+ (=0,1, )Xg k收敛于方程组的精确解 x*的充分必要条件是 (B)1 。10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5。x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|0 。14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算。二、判断题（ 101）1、 若 A 是 n 阶非奇异矩阵，则线性方程组 AX b 一定可以使用高斯消元法求解。 ( )2、 解 非 线 性 方 程 f(x)=0 的 牛 顿 迭 代 法 在 单 根 x* 附 近

3、是 平 方 收 敛 的 。( )3、 若 A 为 n 阶方阵，且其元素满足不等式naii aij (i 1,2,., n)j 1 j i则解线性方程组 AX b 的高斯塞德尔迭代法一定收敛。 ( )4、 样条插值一种分段插值。 ( )5、 如果插值结点相同， 在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。 ( )6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。 ( )7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组 AX b。 ( )8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计 ,直到最后一步迭代计算的舍入误差。 ( )9、

4、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差舍入误差。 ( )10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 ( )三、计算题（510 ）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。x1 x2 x3 45x1 4x2 3 x3 122x1 x2 x3 11解答：（1，5，2）最大元 5 在第二行，交换第一与第二行：5x1 4x2 3 x3 12x1 x2 x3 42x1 x2 x3 11L21 =1/5=0.2,l 31=2/5=0.4 方程化为：5 x1 4 x2 3x3 120.2x2 0.4 x3 1.62.6x2 0.2 x3 15.8（-0.2,2.6 ）最

5、大元在第三行，交换第二与第三行：5 x1 4 x2 3x3 122.6x2 0.2 x3 15.80.2x2 0.4 x3 1.6L32=-0.2/2.6=-0.076923, 方程化为：5 x1 4 x2 3 x3 122.6x2 0.2x3 15.80.38462x3 0.38466回代得： x1 3.00005x2 5.99999x3 1.000102、用牛顿埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式 P4 (x)，并写出其截断误差的表达式 (设 f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数 )。xi012f(xi)1-13f (xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+

6、1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302 3 5 1 -2 -1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)( )/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法均收敛， 写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的迭代 公式，并简单说明收敛的理由。2x1x2x41x1x35 x46x24x3x48x13 x2x33解答：交换第二和第四个方程，使系数

7、矩阵为严格对角占优：2x1x2x41x13x 2x 33x24 x3x48x1x35 x46雅克比迭代公式：2x1x2x41x13x 2x 33x24 x3x48x1x35 x46计算机数学基础 (2) 数值分析试题一、单项选择题(每小题3 分，共 15分 )1.已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x 0.0a1 a2an10 s(a1 0) 的绝对误差 x*x ()(A) 0.5 10 s 1t(B) 0.5 10 s t(C) 0.5 10s 1 t(D) 0.5 10 s t2.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为()21005210(A)1210，1410012(B)1411100120

8、0125210421114211410(C)141(D)14122001213153.过 (0 ， 1) ，(2 ， 4) ， (3 ， 1) 点的分段线性插值函数P(x)=()310x2310x2(A)x(B)x223x102x33x 2102x3(C)3 x 10 x 2(D)3 x 10 x 2223x102x3x42x 34.等距二点的求导公式是()f ( xk )1yk 1 )f (xk )1yk 1 )( yk( yk(A)h(B)h11f ( xk 1 )yk 1 )f (xk 1 )( yk( yk yk 1 )hhf ( xk )1 ( ykyk 1 )(C)h(D)1f (

9、 xk 1 )yk )( yk 1h5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是yk 11( y p yc )2那么 yp, yc 分别为 ()(A)y pykhf (xk , yk )(B)y pykhf (xk 1 , yk )ycykhf (xk 1 , yk )ycykhf ( xk , y p )(C)y pykf ( xk , yk )y pykhf ( xk , yk )ycyk(D)ycykhf ( xk 1 , y p )f ( xk , y p )二、填空题 (每小题 3分，共 15 分)6.设近似值 x1, x2 满足 (x1)=0.05 ， (x2)=0.00

10、5，那么 ( x1x2 )=7.三次样条函数S(x)满足： S( x) 在区间 a,b内二阶连续可导，S(xk)=yk (已知 ) ， k=0,1,2, ,n，且满足 S(x)在每个子区间 xk,xk+1 上是bnn8.牛顿科茨求积公式f ( x)dxAk f ( xk ) ，则Ak .ak 0k09.解方程 f(x)=0 的简单迭代法的迭代函数( x)满足在有根区间内，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报校正公式是预报值： y k 1 yk hf ( xk , yk ) ，校正值： yk+1 = 三、计算题 (每小题 15 分，共 60

11、 分)11. 用简单迭代法求线性方程组8x1 3x2 2x3 204 x1 11x2 x3 336x1 3x2 12x3 36的 X(3)取初始值 (0,0,0) T，计算过程保留 4 位小数12.已知函数值 f(0)=6 ， f(1)=10 ， f(3)=46 ， f(4)=82 ， f(6)=212 ，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差 (4，1，3)f313. 将积分区间8 等分，用梯形求积公式计算定积分1 x2 dx ，计算过程保留4 位小数114.用牛顿法求115 的近似值，取 x=10 或 11为初始值，计算过程保留4 位小数四、证明题 (本题 10 分 )15.

12、证明求常微分方程初值问题y f ( x, y)y( x0 ) y0在等距节点 a=x0x1 xn=b 处的数值解近似值的梯形公式为hy(xk+1 )yk+1 =yk + (xk, k)+ (k+1,yk+1 )fy f x2其中 h=xk+1 xk (k=0,1,2, n 1)计算机数学基础 (2)数值分析试题答案一、单项选择题 (每小题 3 分，共 15 分 )1.A 2.B 3.A 4.B 5.D二、填空题 (每小题 3 分，共 15 分 )6. 0.05x2 +0.005x17.3 次多项式8. b a9.(x)r110. yk + h f (xk , yk ) f ( xk 1 , y

13、 k 1 ) hf(xk1 , y k 1 ) 2三、计算题 (每小题 15 分，共 60 分)11. 写出迭代格式x1( k 1)00.375x2(k )0.25x3(k )2.5x2( k 1)0.363 6x1( k)00.0909x3(k )3x3( k 1)0.5x1( k )0.25x2(k)03X(0) =(0,0,0) T.x1(1)00.37500.2502.52.5x2(1)0.363 6000.090 9033x3(1)0.500.250033得到 X(1)(2.5 ， 3，3)Tx1( 2)00.37530.2532.52.875x2(2)0.363 62.500.09

14、0 9332.363 7x3(2)0.52.50.253031.000 0得到 X(2)=(2.875 ， 2.363 7 ，1.000 0) Tx1( 3)00.3752.363 70.2512.53.136 4x2(3)0.363 62.8750 0.090 9132.045 6x3(3)0.52.8750.252.363 7030.971 6得到 X(3)=(3.136 4，2.045 6， 0.971 6) T.12. 计算均差列给出xkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/151f(0,1,3,4,

15、6)=15f(4, 1, 3)=613. f(x)=1x,=0.25分点 x0=1.0， x1=1.25，x2=1.5 ， x3 =1.75 ， x4 =2.0 ， x5=2.25 ，2h28x6 =2.50 ， x7=2.75 ， x8 =3.0.函数值： f(1.0)=1.414 2 ， f(1.25)=1.600 8 ， f(1.5)=1.802 8 ， f(1.75)=2.015 6 ，f(2.0)=2.236 1 ，f(2.25)=2.462 2 ， f(2.50)=2.692 6 ， f(2.75)=2.926 2 ， f(3.0)=3.162 3 3hf (x)dx f ( x0

16、 )122( f ( x1 )f (x8 )f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 ) f ( x5 ) f ( x6 ) f ( x7 ) (9 分)=0.25 1.414 2+3.162 3+2 (1.600 8+1.802 8+2.015 62+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)=0.125 (4.576 5+2 15.736 3)=4.506 114. 设 x 为所求，即求 x2 115=0 的正根 f(x)=x2 115 因为 f (x)=2 x， f ( x)=2 ，f(10) f (10)=(100 115) 20取 x0=11 有迭代公式

17、xk+1 =xkf ( xk )xk2115xk115f (xk )= xk2xk2( k=0,1,2, )2xk11115x1=2 10.727 321110.727 3115x2=2210.727310.723 8115x3=2210.7238 10.723 8 10.723 8x* 10.723 8四、证明题 (本题 10 分 )15. 在子区间 xk+1 ,xk 上，对微分方程两边关于 x 积分，得x k 1y(xk+1 ) y( xk )= f ( x, y( x)dxx k用求积梯形公式，有hy(xk+1 ) y( xk )= f ( xk , y( xk ) f (xk 1 ,

18、y( xk 1 )将 y(xk), y(xk+1 )用 yk,yk +1 替代，得到y(xk+1 ) yk+1 =yk + h f(xk,yk)+ f( xk+1,yk+1 )( k=0,1,2, ,n1)2数值分析期末试题一、填空题（ 21020 分）152（1)设 A210，则 A_13 _。382（ 2) 对于方程组2x15 x2102.5。10 x14 x23， Jacobi 迭代法的迭代矩阵是 BJ02.5（ 3) 3 x *的相对误差约是 x* 的相对误差的1 倍。3（ 4 ）求方程 xf ( x) 根的牛顿迭代公式是xn1xnxnf ( xn ) 。1f ( xn )（ 5 ）设 f ( x)x 3x 1 ，则差商 f 0,1,2,31。（ 6 ）设 nn 矩阵 G 的特征值是1 ,2 , n ，则矩阵