综上可得正确
例3.如图，匀强磁场的磁感应强度为B，方向竖直向下。
在磁场中有一个边长为L的正方形刚性金属框。
ab边质量为m，其他三边的质量不计。
金属框的总电阻为R，cd边上装有固定的水平轴。
现在将金属框从水平位置由静止释放。
不计一切摩擦。
金属框经t时间恰好通过竖直位置a′b′cd。
若在此t时间内，金属框中产生的焦耳热为Q，求ab边通过最低位置时受到的安培力。
【分析】本题线框释放后重力做功，同时ab边切割磁感线运动而产生感应电动势，因而线框中有感应电流。
整个过程遵守能的转化与守恒定律。
【解答】由能量守恒，在t时间内ab杆重力势能的减少最后转化为它的动能和框中产生的焦耳热，即
又考虑到
由①、②、③
例4.固定在匀强磁场中的正方形导线框abcd各边长为L，其中ab是一段电阻为R的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可以忽略的铜线，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，现有一段与ab完全相同的电阻丝PQ架在导线框上（如图l所示），以恒定的速度v从ad滑向bc，当PQ滑过L/3的距离时，通过aP段电阻丝的电流强度是多大？
方向？
【分析】PQ在磁场中切割磁感线运动产生感应电动势，由于是回路，故电路中有感应电流，可将电阻丝PQ视为有内阻的电源，电阻丝
【解答】电源电动势为ε=BvL，外电阻为
例5.如图，在水平放置的无限长U形金属框架中，串一电容量为C的电容器，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B。
电容器开始时带电量为Q（正负情况如图所示），现将一根长为l，质量为m的金属棒ab搁置在框架上，金属棒ab与框架接触良好且无摩擦，求合上k以后，ab棒的最终速度及电容器最终还剩的电量．
【分析】k合上后，电容器将放电，金属棒ab将在安培力作用下加速向右运动，随着电容器电量减少及ab中的感应电动势增大，回路电流将减小，所以ab棒作加速度不断变小的加速运动，最终趋于匀速运运。
【解答】此时由于回路中无电流，必然有
【说明】很多人在解本题时往往认为电容器的带电将全部放完而导致错误，而事实上由于导体棒在切割磁感线过程将产生感应电动势，电容器的带电将无法完全放掉。
例6.如图1所示，U形导体框架宽L=1m，与水平面成α=30°角倾斜放置在匀强磁场中，磁感应强度B=0.2T，垂直框面向上．在框架上垂直框边放有一根质量m=0.2kg、有效电阻R=0.1Ω的导体棒ab，从静止起沿框架无摩擦下滑，设框架电阻不计，框边有足够长，取g=10m/s2，求
（1）ab棒下滑的最大速度vm；
（2）在最大速度时，ab棒上释放的电功率。
【分析】ab棒在重力分力mgsinα作用下沿框面加速下滑，切割磁感线产生感应电动势，并形成感应电流，其方向从b流向a．从而使ab棒受到磁场力FB作用，其方向沿框面向上，形成对下滑运动的阻碍作用．可表示为
可见，ab棒下滑时做变加速运动，随着下滑速度v的增大，加速度逐渐减小，当ab棒下滑的速度增至某一值时，mgsinα=FB，a=0，以后即保持该速度匀速下滑，所以ab棒匀速下滑的速度就是最大速度vm。
此时重力的功率完全转化为电功率。
【解答】
（1）根据上面的分析，由匀速运动的力平衡条件
【说明】本题指出的在恒力作用下使导线做切割磁感线运动时动态特性和能的转化过程．它具有十分普遍的意义．如框面水平放置受恒定外力移动导线（图2），框面竖直放置导线下滑（图3），框面倾斜放置、磁场竖直向上时（图4），这几种情况下导线的动态特性和能的转化情况与上例相仿（假定导线的有效长度均为l、电阻R恒定不变）：
在图2中，导线做匀速移动时满足条件
例七.如图1，平行光滑导轨MNPQ相距L，电阻可忽略，其水平部分置于磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场中，导线a和b质量均为m，a、b相距足够远，b放在水平导轨上，a从斜轨上高h处自由滑下，求回路中产生的最大焦耳热。
【分析】导线a从斜轨上加速下滑，进入水平部分后，由于切割磁感线，回路中将产生感应电流，由左手定则得出a将作减速运动，b作加速运动，随着时间推移，a与b的速度也将减小，最终都将趋于匀速，而且此时回路中感应电流也应为零（否则a与b受力不平衡）a与b的速度关系应满足
对a、b导线在水平导轨上运动过程，由于a、b各自受到的安培力大小相等，方向相反，所以a与b系统动量守恒，即
mva=（m+m）v′③
练习
1、如图17所示，半径为r的圆形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。
现有一带电离子（不计重力）从A以速度v沿圆形区域的直径射入磁场，已知离子从C点射出磁场的方向间的夹角为60º
（1）该离子带何种电荷；
（2）求该离子的电荷量与质量之比q/m
、解析：
（1）根据磁场方向和离子的受力方向，由左手定则可知：
离子带负电。
（2）如图，离子在磁场中运动轨迹为一段圆弧，圆心为O´，所对应圆心角为60º。
①，
②，联立①、②解得：
③
2、静止在太空的飞行器上有一种装置，它利用电场加速带电粒子，形成向外发射的粒子流，从而对飞行器产生反冲力，使其获得加速度。
已知飞行器的质量为M，发射的是2价氧离子，发射功率为P，加速电压为U，每个氧离子的质量为m，单位电荷的电量为e，不计发射氧离子后飞行器质量的变化。
求：
（1）射出的氧离子速度；
（2）每秒钟射出的氧离子数；
（3）射出离子后飞行器开始运动的加速度。
解析：
（1）据动能定理知：
由2eU=mv2/2，得：
（2）由P=2NeU，得N=P/2eU；（3）由动量定理知：
得
3.如图，一直导体棒质量为m、长为l、电阻为r，其两端放在位于水平面内间距也为l的光滑平行导轨上，并与之密接：
棒左侧两导轨之间连接一可控制的负载电阻（图中未画出）；导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨所在平面。
开始时，给导体棒一个平行于导轨的初速度v0在棒的运动速度由v0减小至v1的过程中，通过控制负载电阻的阻值使棒中的电流强度I保持恒定。
导体棒一直在磁场中运动。
若不计导轨电阻，求此过程中导体棒上感应电动势的平均值和负载电阻上消耗的平均功率。
解析：
（19分）
导体棒所受的安培力为
F＝IlB ①
该力大小不变，棒做匀减速运动，因此在棒的速度v0从减小v1的过程中，平均速度为
②
当棒的速度为v时，感应电动势的大小为
E＝lvB③
棒中的平均感应电动势为
④
由②④式得
l（v0＋v1）B⑤
导体棒中消耗的热功率为
P1＝I2r⑥
负载电阻上消耗的平均功率为
－P1 ⑦
由⑤⑥⑦式得
l（v0＋v1）BI－I2r⑧
评分参考：
①式3分（未写出①式，但能正确论述导体棒做匀减速运动的也给这3分），②③式各3分，④⑤式各2分，⑥⑦⑧式各2分。
4..（16分）均匀导线制成的单位正方形闭合线框abcd，每边长为L，总电阻为R，总质量为m。
将其置于磁感强度为B的水平匀强磁场上方h处，如图所示。
线框由静止自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd边始终与水平的磁场边界平行。
当cd边刚进入磁场时，
（1）求线框中产生的感应电动势大小;
（2）求cd两点间的电势差大小;
（3）若此时线框加速度恰好为零，求线框下落的高度h所应满足的条件。
解析：
22.（16分）
（1）cd边刚进入磁场时，线框速度v=
（2）
此时线框中电流I=
cd两点间的电势差U=I（
）=
（3）安培力F=BIL=
根据牛顿第二定律mg-F=ma,由a=0
解得下落高度满足h=
5.如图11－4所示，竖直平面内有足够长的金属导轨，轨距0.2m，金属导体ab可在导轨上无摩擦地上下滑动，ab的电阻为0.4Ω，导轨电阻不计，导轨ab的质量为0.2g，垂直纸面向里的匀强磁场的磁应强度为0.2T，且磁场区域足够大，当ab导体自由下落0.4s时，突然接通电键K，则：
（1）试说出K接通后，ab导体的运动情况。
（2）ab导体匀速下落的速度是多少？
（g取10m/s2）
解答
（1）闭合K之前导体自由下落的末速度为v0=gt=4（m/s）
K闭合瞬间，导体产生感应电动势，回路中产生感应电流。
ab立即受到一个竖直向上的安培力。
此刻导体棒所受到合力的方向竖直向上，与初速度方向相反，加速
所以，ab做竖直向下的加速度逐渐减小的变减速运动。
当速度减小至F安=mg时，ab做竖直向下的匀速运动。
6.如图11－7所示装置，导体棒AB，CD在相等的外力作用下，沿着光滑的轨道各朝相反方向以0.lm/s的速度匀速运动。
匀强磁场垂直纸面向里，磁感强度B=4T，导体棒有效长度都是L=0.5m，电阻R=0.5Ω，导轨上接有一只R′=1Ω的电阻和平行板电容器，它的两板间距相距1cm，试求：
（l）电容器及板间的电场强度的大小和方向；
（2）外力F的大小。
解答
导体AB、CD在外力的作用下做切割磁感线运动，使回路中产生感应电流。
电容器两端电压等于R′两端电压UC=
=I
=0.2×1=0.2（V）
回路电流流向D→C→R′→A→B→D。
所以，电容器b极电势高于a极电势，故电场强度方向b→a。
7.共有100匝的矩形线圈，在磁感强度为0.1T的匀强磁场中以角速度ω=10rad/s绕线圈的中心轴旋转。
已知线圈的长边a=20cm，短边b=10cm，线圈总电阻为2Ω。
求
（1）线圈平面转到什么位置时，线圈受到的电磁力矩最大？
最大力矩有多大？
（2）线圈平面转到与磁场方向夹角60°时，线圈受到的电磁力矩。
（l）当线圈平面与磁场方向平行时电磁力矩最大。
如图ll－12所示。
磁场对线圈一条边的作用力
F=BIb=0.01N
线圈受到的电磁力矩
磁场对线圈一边的作用力
F′=BI′b=0.005N
此时的力矩
8.如图11-16所示，直角三角形导线框ABC，处于磁感强度为B的匀强磁场中，线框在纸面上绕B点以匀角速度ω作顺时针方向转动，∠B=60°，∠C=90°，AB=l，求A，C两端的电势差UAC。
【正确解答】
该题等效电路ABC，如图11－5所示，根据法拉第电磁感应定律，穿过回路ABC的磁通量没有发生变化，所以整个回路的
ε总=0①
设AB，BC，AC导体产生的电动势分别为ε1、ε2、ε3，电路等效于图11-5，故有
ε总=ε1+ε2+ε3②
【小结】
9.在如图11－24所示的水平导轨上（摩擦、电阻忽略不计），有竖直向下的匀强磁场，磁感强度B，导轨左端的间距为L1=4L0，右端间距为L2=L0。
今在导轨上放置AC，DE两根导体棒，质量分别为m1=2m0，m2=m0，电阻R1=4R0，R2=R0。
若AC棒以初速度V0向右运动，求AC棒运动的过程中产生的总焦耳热QAC，以及通过它们的总电量q。
解答； 由于棒L1向右运动，回路中产生电流，Ll受安培力的作用后减速，L2受安培力加速使回路中的电流逐渐减小。
只需v1，v2满足一定关系，
两棒做匀速运动。
两棒匀速运动时，I=0，即回路的总电动势为零。
所以有
BLlv1=BL2v2
再对DE棒应用动量定理BL2I·△t=m2v2
10.如图11－25所示光滑平行金属轨道abcd，轨道的水平部分bcd处于竖直向上的匀强磁场中，bc部分平行导轨宽度是cd部分的2倍，轨道足够长。
将质量相同的金属棒P和Q分别置于轨道的ab段和cd段。
P棒位于距水平轨道高为h的地方，放开P棒，使其自由下滑，求P棒和Q棒的最终速度。
解答：
设P棒从进入水平轨道开始到速度稳定所用的时间为△t，P，Q
对PQ分别应用动量定理得
11.MN为中间接有电阻R=5Ω的U型足够长金属框架，框架宽度d=0.2m,竖直放置在如图所示的水平匀强磁场中，磁感应强度B=5T，电阻为r=1Ω的导体棒AB可沿MN无摩擦滑动且接触良好。
现无初速释放导体棒AB，发现AB下滑h=6m时恰达稳定下滑状态。
已知导体棒AB的质量m=0.1kg,其它电阻不计。
求：
（1）AB棒稳定下滑的速度；
（2）此过程中电阻R上消耗的电能；
（3）从开始下滑到稳定状态，流经R的电量。
（1）由平衡知识有：
mg=F①根据安培力公式有：
F=BId②
根据法拉第电磁感应定律有：
E=BdV③解得：
V=6m/s④
（2）从开始下滑到稳定的过程中，由能量关系有：
⑤
电阻R消耗的电能
⑥解得：
⑦
（3）根据电流强度定义式有：
⑧
根据全电路欧姆定律有：
I=E/（R+r）⑨
根据法拉第电磁感应定律有：
E=△Φ/△t⑩
解得：
q=1C
12.如图所示，在与水平方向成θ=30°角的平面内放置两条平行、光滑且足够长的金属轨道，其电阻可忽略不计。
空间存在着匀强磁场，磁感应强度B=0.20T，方向垂直轨道平面向上。
导体棒ab、cd垂直于轨道放置，且与金属轨道接触良好构成闭合回路，每根导体棒的质量m=2.0×10-2kg、电阻r=5.0×10-2Ω，金属轨道宽度l=0.50m。
现对导体棒ab施加平行于轨道向上的拉力，使之沿轨道匀速向上运动。
在导体棒ab运动过程中，导体棒cd始终能静止在轨道上。
g取10m/s2，求：
（1）导体棒cd受到的安培力大小；
（2）导体棒ab运动的速度大小；
（3）拉力对导体棒ab做功的功率。
（1）（3分）导体棒cd静止时受力平衡，设所受安培力为F安，则
F安=mgsinθ2分
解得F安=0.10N1分
（2）（8分）设导体棒ab的速度为v时，产生的感应电动势为E，通过导体棒cd的感应电流为I，则
E=Blv2分
I=
2分
F安=BIl2分
联立上述三式解得v=
1分
代入数据得v=1.0m/s1分
（3）（7分）设对导体棒ab的拉力为F，导体棒ab受力平衡，则
F=F安+mgsinθ3分
解得F=0.20N1分
拉力的功率P=Fv2分
解得P=0.20W1分
13.（18分）如图所示，光滑的U型金属导轨PQMN水平地固定在竖直向上的匀强磁场中．磁感应强度为B，导轨的宽度为L，其长度足够长，QM之间接有一个阻值为R的电阻，其余部分电阻不计。
一质量为m，电阻也为R的金属棒ab，恰能放在导轨之上并与导轨接触良好。
当给棒施加一个水平向右的冲量，棒就沿轨道以初速度v0开始向右滑行。
求：
（1）开始运动时，棒中的瞬间电流i和棒两端的瞬间电压u分别为多大？
（2）当棒的速度由v0减小到v0/10的过程中，棒中产生的焦耳热Q是多少？
棒向右滑行的位移x有多大？
（1）（共９分）开始运动时，棒中的感应电动势：
e=Lv0B……………………………………………………….…………..（３分）
棒中的瞬时电流:
i=e/2R=Lv0B/2R………………………………………….……（３分）
棒两端的瞬时电压:
u=
e=
Lv0B………………………………….……………（３分）
（2）（共９分）由能量转化与守恒定律知，全电路在此过程中产生的焦耳热：
Q总=
mv02-
m（
v0）2=
mv02…………….…………..（２分）
∴棒中产生的焦耳热为：
Q=
Q总=
mv02………………………….………..（２分）
令：
Δt表示棒在减速滑行时某个无限短的时间间隔，则在这一瞬时,结合安培力
和瞬时加速度的极限思想，应用牛二律有：
iLB=mΔv/Δt……………………………………………………...………（１分）
结合电磁感应定律和瞬时速度的极限思想，应用全电路欧姆定律有：
i·2R=LBv=LBΔx/Δt…………………………………………....……..（１分）
所以：
mLBΔv=LB2RΔx,即：
Δx∝Δv
所以对于全过程，上述正比例关系仍成立
所以对于全过程（Δv=
v0），得：
Δx=x=
………………………………………………………..……….（３分）
［注释：
①以上是借用了比值极限的求解思路，还可以借用下面的“微分”思路求解；
②其它求解思路（例如：
平均等），此处从略。
］
[令Δt表示棒在减速滑行的某个无限短的时间间隔，则Δt内，
应用动量定理有：
iLBΔt=mΔv…………………………………（１分）
应用全电路欧姆定律有：
i=BLv2R………………………….……………..（１分）
又因为：
vΔt=Δx………………………………………………………………（１分）
所以：
Δx=mΔv………………………………………….………..（１分）
即：
Δx∝Δv
所以对于全过程，上述正比例关系仍成立
所以对于全过程（Δv=
v0），得：
Δx=x=
………………………………….………（１分）]
14.如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距L=1m，导轨平面与水平面成θ=37º角，下端连接阻值为R的电阻。
匀强磁场方向与导轨平面垂直。
质量为m=0.2kg，电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为
=0.25。
（设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小）求:
⑴ 金属棒沿导轨由静止开始下滑时加速度a的大小；
⑵ 当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8W，求此时金属棒速度v的大小；
⑶ 在上问中，若R=2Ω，金属棒中的电流方向由a到b，求磁感应强度B的大小和方向。
（g=10m/s2，sin37º=0.6，cos37º=0.8）
分析和解：
（1）根据牛顿第二定律mgsinθ－f=ma……………………①（1分）
f=μN……………………②（1分）
N=mgcosθ…………………………③（1分）
联立①②③得a=g（sinθ-μcosθ）………………………④（1分）
代入已知条件得a=10×（0.6-0.25×0.8）
a=4m/s2…………………………………………（1分）
设金属棒运动达到稳定时，速度为v,所受安培力为F,棒在沿导轨方向受力平衡
mg（sinθ-μcosθ）-F=0………………………………………⑤（1分）
此时金属棒克服安培力做功的功率P等于电路中电阻R消耗的电功率
P=Fv……………………………………………………⑥（1分）
由⑤⑥两式解得
…………………………⑦（1分）
将已知数据代入上式得
v=10m/s…………………………………………………（1分）
（用其它方法算出正确答案同样给分）
（3）设电路中电流为I，两导轨间金属棒的长为L，磁场的磁感应强度为B
E=BLv……………………………………………⑧（1分）
……………………………………………⑨（1分）
P＝I2R……………………………………………⑩（1分）
由⑧⑨⑩式解得
…………………………………（1分）
磁场方向垂直导轨平面向上………………………………………（1分）
15.如图15所示，边长L=0.20m的正方形导线框ABCD由粗细均匀的同种材料制成，正方形导线框每边的电阻R0=1.0Ω，金属棒MN与正方形导线框的对角线长度恰好相等，金属棒MN的电阻r=0.20Ω。
导线框放置在匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.50T，方向垂直导线框所在平面向里。
金属棒MN与导线框接触良好，且与导线框对角线BD垂直放置在导线框上，金属棒的中点始终在BD连线上。
若金属棒以v=4.0m/s的速度向右匀速运动，当金属棒运动至AC的位置时，求（计算结果保留两位有效数字）：
（1）金属棒产生的电动势大小；
（2）金属棒MN上通过的电流大小和方向；
（3）导线框消耗的电功率。
（1）金属棒产生的电动势大小为
E=B
Lv=0.4
V=0.56V…………2分
（2）金属棒运动到AC位置时，导线框左、右两侧电阻并联，其并联电阻大小为
R并=1.0,根据闭合电路欧姆定律
I=
=0.47A…………2分
根据右手定则，电流方向从N到M…………1分
（3）导线框消耗的功率为：
P框=I2R并=0.22W…………2分
16.如图所示，在磁感应强度为B的水平方向的匀强磁场中竖直放置两平行导轨，磁场方向与导轨所在平面垂直。
导轨上端跨接一阻值为R的电阻（导轨电阻不计）。
两金属棒a和b的电阻均为R，质量分别为ma=2×10－2Kg和mb=1×10－2Kg，它们与导轨相连，并可沿导轨无摩擦滑动。
闭合开关S，先固定b，用一恒力F向上拉a，稳定后a以v1=10m/s的速度匀速运动，此时再释放b，b恰好能保持静止，设导轨足够长，取g=10m/s2。
（1）求拉力F的大小；
（2）若将金属棒a固定，让金属棒b自由下滑（开关仍闭合），求b滑行的最大速度v2；
（3）若断开开关，将金属棒a和
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