小升初数学30个必考知识点大全.docx
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小升初数学30个必考知识点大全
2017小升初数学30个必考知识点大全
这篇小升初数学30个必考知识点大全是特地为大家整理的，希望
对大家有所帮助!
1.和差倍问题
和差问题和倍问题差倍问题
已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍
数
公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系
公式①（和-差）2=较小数
较小数+差=较大数
和-较小数=较大数
②（和+差）2=较大数
较大数-差=较小数
和-较大数=较小数
和（倍数+1）=小数
小数倍数=大数
和-小数=大数
差（倍数-1）=小数
小数倍数=大数
小数+差=大数
关键问题求出同一条件下的
和与差和与倍数差与倍数
2.年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的;
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
3.归一问题的基本特点：
问题中有一个不变的量，一般是那个单
一量，题目一般用照这样的速度等词语来表示。
关键问题：
根据题目中的条件确定并求出单一量;
4.植树问题
基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线
或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上
植树，只有一端植树封闭曲线上植树
基本公式棵数=段数+1
棵距段数=总长棵数=段数-1
棵距段数=总长棵数=段数
棵距段数=总长
关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
5.鸡兔同笼问题
基本概念：
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假
设错的那部分置换出来;
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：
鸡数=（兔脚数总头数-总脚数）（兔脚数-
鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：
兔数=（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数
一鸡脚数）
关键问题：
找出总量的差与单位量的差。
6.盈亏问题
基本概念：
一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：
按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结
果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.
基本思路：
先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造
成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求
出对象的总量.
基本题型：
①一次有余数，另一次不足;
基本公式：
总份数=（余数+不足数）两次每份数的差
②当两次都有余数;
基本公式：
总份数=（较大余数一较小余数）两次每份数的差
③当两次都不足;
基本公式：
总份数=（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差
基本特点：
对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：
确定对象总量和总的组数。
7.牛吃草问题
基本思路：
假设每头牛吃草的速度为1份，根据两次不同的吃
法，求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因，即可确定草
的生长速度和总草量。
基本特点：
原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题：
确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数）（长时间
-短时间）;
总草量=较长时间长时间牛头数-较长时间生长量;
8.周期循环与数表规律
周期现象：
事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出
现。
周期：
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：
确定循环周期。
闰年：
一年有366天;
①年份能被4整除;②如果年份能被100整除，则年份必须能被
400整除;
平年：
一年有365天。
①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除，但不能被400
整除;
9.平均数
基本公式：
①平均数=总数量总份数
总数量=平均数总份数
总份数=总数量平均数
②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：
根据给出的数之间的关系，确定一个基准数;一般
选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准，求所
有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最
后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基
本公式②。
10.抽屉原理
抽屉原则一：
如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一
个抽屉中至少放有2个物体。
例：
把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的
和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：
总有那
么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放
有2个物体。
抽屉原则二：
如果把n个物体放在m个抽屉里，其中nm，那么
必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m]+1个物体：
当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体：
当n能被m整除时。
理解知识点：
[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
关键问题：
构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量，
而后依据抽屉原则进行运算。
11.定义新运算
基本概念：
定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多
种基本（混合）运算。
基本思路：
严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化
为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：
正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：
①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺
序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12.数列求和
等差数列：
在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的
一列数，就叫做等差数列。
基本概念：
首项：
等差数列的第一个数，一般用a1表示;
项数：
等差数列的所有数的个数，一般用n表示;
公差：
数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;
通项：
表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;
数列的和：
这一数列全部数字的和，一般用Sn表示.
基本思路：
等差数列中涉及五个量：
a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉
及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公式中涉及四个
量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：
通项公式：
an=a1+（n-1）d;
通项=首项+（项数一1）公差;
数列和公式：
sn,=（a1+an）n
数列和=（首项+末项）项数
项数公式：
n=（an+a1）
项数=（末项-首项）公差+1;
公差公式：
d=（an-a1））（n-1）;
公差=（末项-首项）（项数-1）;
关键问题：
确定已知量和未知量，确定使用的公式;
13.二进制及其应用
十进制：
用0～9十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字表
示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。
所以
234=200+30+4=2102+310+4。
=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-
610n-7++A3102+A2101+A1100
注意：
N0=1;N1=N（其中N是任意自然数）
二进制：
用0～1两个数字表示，逢2进1;不同数位上的数字表
示不同的含义。
（2）=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7
++A322+A221+A120
注意：
An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为
0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于
这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特
点即可写出。
14.加法乘法原理和几何计数
加法原理：
如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有
m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法，在第n类方法中
有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：
m1+m2.......+mn种不同
的方法。
关键问题：
确定工作的分类方法。
基本特征：
每一种方法都可完成任务。
乘法原理：
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步
有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法不管
前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共
有：
m1m2.......mn种不同的方法。
关键问题：
确定工作的完成步骤。
基本特征：
每一步只能完成任务的一部分。
直线：
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨
迹。
直线特点：
没有端点，没有长度。
线段：
直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段特点：
有两个端点，有长度。
射线：
把直线的一端无限延长。
射线特点：
只有一个端点;没有长度。
①数线段规律：
总数=1+2+3++（点数一1）;
②数角规律=1+2+3++（射线数一1）;
③数长方形规律：
个数=长的线段数宽的线段数：
④数长方形规律：
个数=11+22+33++行数列数
15.质数与合数
质数：
一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做
质数，也叫做素数。
合数：
一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做
合数。
质因数：
如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个
数的质因数。
分解质因数：
把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质
因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯
一的。
分解质因数的标准表示形式：
N=，其中a1、a2、a3an都是合数
N的质因数，且a1p
求约数个数的公式：
P=（r1+1）（r2+1）（r3+1）（rn+1）
互质数：
如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
16.约数与倍数
约数和倍数：
若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫
做a的约数。
公约数：
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大
的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这
几个数的最大公约数乘以m。
例如：
12的约数有1、2、3、4、6、12;
18的约数有：
1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公约数有：
1、2、3、6;
那么12和18最大的公约数是：
6，记作（12，18）=6;
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：
先分解质因数，然后把相同的因数连乘起
来。
2、短除法：
先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：
每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个
余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数;其中最小
的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：
12、24、36、48
18的倍数有：
18、36、54、72
那么12和18的公倍数有：
36、72、108
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36;
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘
积。
求最小公倍数基本方法：
1、短除法求最小公倍数;2、分解质因
数的方法
17.数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：
如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商
c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：
整除符号|，不能整除符号因为符号∵，所以的符
号
二、整除判断方法：
1.能被2、5整除：
末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：
末两位的数字所组成的数能被4、25整
除。
3.能被8、125整除：
末三位的数字所组成的数能被8、125整
除。
4.能被3、9整除：
各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能
被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差
能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差
能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整
除。
三、整除的性质：
1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整
除。
18.余数及其应用
基本概念：
对任意自然数a、b、q、r，如果使得ab=qr，且0
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的
余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余
数的积除以c的余数。
19.余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同
余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同
余，记作ab（modm），读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：
aa（modm）;
②对称性：
若ab（modm），则ba（modm）;
③传递性：
若ab（modm），bc（modm），则ac（modm）;
④和差性：
若ab（modm），cd（modm），则a+cb+d（modm），a-cb-
d（modm）;
⑤相乘性：
若ab（modm），cd（modm），则acbd（modm）;
⑥乘方性：
若ab（modm），则anbn（modm）;
⑦同倍性:
若ab（modm），整数c，则acbc（modm
三、关于乘方的预备知识：
①若A=ab，则MA=Mab=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=McMd
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则Mn（mod
9）或（mod3）;
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示
M的各个偶数数位上数字的和，则MY-X或M11-（X-Y）（mod11）;
五、费尔马小定理：
如果p是质数（素数），a是自然数，且a不
能被p整除，则ap-11（modp）。
20.分数与百分数的应用
基本概念与性质：
分数：
把单位1平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除
外），分数的大小不变。
分数单位：
把单位1平均分成几份，表示这样一份的数。
百分数：
表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：
从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
②对应思维方法：
找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应
关系。
③转化思维方法：
把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。
最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准（在分数中一般
指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。
常见的处理方法是
确定不同的标准为一倍量。
④假设思维方法：
为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假
设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调
整，求出最后结果。
⑤量不变思维方法：
在变化的各个量当中，总有一个量是不变
的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。
有以下三种情
况：
A、分量发生变化，总量不变。
B、总量发生变化，但其中有的分
量不变。
C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法：
用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一
化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法：
总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：
一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
21.分数大小的比较
基本方法：
①通分分子法：
使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和
分母的关系比较。
②通分分母法：
使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和
分子的关系比较。
③基准数法：
确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：
当分子和分母的差一定时，分子或分
母越大的分数值越大。
⑤倍率比较法：
当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，
除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。
（具
体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：
把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行
比较。
⑦倍数比较法：
用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比
较。
⑧大小比较法：
用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比
较。
⑨倒数比较法：
利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：
确定一个基准数，每一个数与基准数比较。
22.分数拆分
一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：
①=+;
②=+（d为自然数）;
23.完全平方数
完全平方数特征：
1.末位数字只能是：
0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2.除以3余0或余1;反之不成立。
3.除以4余0或余1;反之不成立。
4.约数个数为奇数;反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：
X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：
（X+Y）2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：
（X-Y）2=X2-2XY+Y2
24.比和比例
比：
两个数相除又叫两个数的比。
比号前面的数叫比的前项，比
号后面的数叫比的后项。
比值：
比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：
比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），
比值不变。
比例：
表示两个比相等的式子叫做比例。
a:
b=c:
d或
比例的性质：
两个外项积等于两个内项积（交叉相乘），ad=bc。
正比例：
若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不
变时），则A与B成正比。
反比例：
若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不
变时），则A与B成反比。
比例尺：
图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：
把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。
25.综合行程
基本概念：
行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、
时间、路程三者之间的关系.
基本公式：
路程=速度时间;路程时间=速度;路程速度=时间
关键问题：
确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：
速度和相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：
追及时间=路程差速度差（写出其他公式）
流水问题：
顺水行程=（船速+水速）顺水时间
逆水行程=（船速-水速）逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）2
水速=（顺水速度-逆水速度）2
流水问题：
关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：
关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：
画线段图法
基本题型：
已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追
及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。
26.工程问题
基本公式：
①工作总量=工作效率工作时间
②工作效率=工作总量工作时间
③工作时间=工作总量工作效率
基本思路：
①假设工作总量为1（和总工作量无关）;
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用
时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示
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