立体几何中的向量方法一证明平行与垂直.docx

立体几何中的向量方法一证明平行与垂直.docx

《立体几何中的向量方法一证明平行与垂直.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何中的向量方法一证明平行与垂直.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

立体几何中的向量方法一证明平行与垂直

立体几何中的向量方法

（一）——证明平行与垂直

1．直线的方向向量与平面的法向量的确定

（1）直线的方向向量：

在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．

（2）平面的法向量可利用方程组求出：

设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为

2．用向量证明空间中的平行关系

（1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2（或l1与l2重合）⇔v1∥v2.

（2）设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.

（3）设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.

（4）设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.

3．用向量证明空间中的垂直关系

（1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.

（2）设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.

（3）设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）直线的方向向量是唯一确定的．（　　）

（2）平面的单位法向量是唯一确定的．（　　）

（3）若两平面的法向量平行，则两平面平行．（　　）

（4）若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．（　　）

（5）若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．（　　）

（6）若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．（　　）

1．下列各组向量中不平行的是（　　）

A．a＝（1,2，－2），b＝（－2，－4,4）

B．c＝（1,0,0），d＝（－3,0,0）

C．e＝（2,3,0），f＝（0,0,0）

D．g＝（－2,3,5），h＝（16,24,40）

2．已知平面α内有一点M（1，－1,2），平面α的一个法向量为n＝（6，－3,6），则下列点P中，在平面α内的是（　　）

A．P（2,3,3）B．P（－2,0,1）

C．P（－4,4,0）D．P（3，－3,4）

3．已知

＝（1,5，－2），

＝（3,1，z），若

⊥

，

＝（x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为______________．

4．若A（0,2，

），B（1，－1，

），C（－2,1，

）是平面α内的三点，设平面α的法向量n＝（x，y，z），则x∶y∶z＝________.

题型一　证明平行问题

例1　（2013·浙江改编）如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2

，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.

证明：

PQ∥平面BCD.

如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ（0<λ<2）．

（1）当λ＝1时，证明：

直线BC1∥平面EFPQ；

（2）是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？

若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

题型二　证明垂直问题

例2　如图所示，正三棱柱（底面为正三角形的直三棱柱）ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：

AB1⊥平面A1BD.

　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．

（1）求证：

CM∥平面PAD；

（2）求证：

平面PAB⊥平面PAD.

题型三　解决探索性问题

例3　如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.

（1）求证：

BD⊥AA1；

（2）求二面角D－A1A－C的余弦值；

（3）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．

　如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的

倍，P为侧棱SD上的点．

（1）求证：

AC⊥SD.

（2）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．

利用向量法解决立体几何问题

典例：

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

（1）证明：

PB∥平面AEC；

（2）设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝

，求三棱锥E－ACD的体积．

A组　专项基础训练

1．若直线l的方向向量为a＝（1,0,2），平面α的法向量为n＝（－2,0，－4），则（　　）

A．l∥αB．l⊥α

C．l⊂αD．l与α相交

2．若

＝λ

＋μ

，则直线AB与平面CDE的位置关系是（　　）

A．相交B．平行

C．在平面内D．平行或在平面内

3．已知A（4,1,3），B（2，－5,1），C（3,7，－5），则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是（　　）

A．（2,4，－1）B．（2,3,1）

C．（－3,1,5）D．（5,13，－3）

4．已知a＝（2，－1,3），b＝（－1,4，－2），c＝（7,5，λ），若a，b，c三向量共面，则实数λ等于（　　）

A.

B.

C.

D.

5．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝

，AD＝2

，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM所成的角为（　　）

A．60°B．45°

C．90°D．以上都不正确

6．已知平面α内的三点A（0,0,1），B（0,1,0），C（1,0,0），平面β的一个法向量n＝（－1，－1，－1），则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．

7．设点C（2a＋1，a＋1,2）在点P（2,0,0）、A（1，－3,2）、B（8，－1，4）确定的平面上，则a＝________.

8．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝

，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．

9．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝

PD.证明：

平面PQC⊥平面DCQ.

10．如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.

（1）求证：

EF∥平面PAB；

（2）求证：

平面PAD⊥平面PDC.

B组　专项能力提升

11．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝

，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（　　）

A．（1,1,1）

B．（

，

，1）

C．（

，

，1）

D．（

，

，1）

12．设u＝（－2,2，t），v＝（6，－4,4）分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则t等于（　　）

A．3B．4C．5D．6

13．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足

＝λ

的实数λ有________个．

14．如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：

（1）DE∥平面ABC；

（2）B1F⊥平面AEF.

15．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．

（1）求证：

EF⊥CD；

（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．