高考数学二轮复习专题六函数与导数不等式第1讲函数图象与性质.docx

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高考数学二轮复习专题六函数与导数不等式第1讲函数图象与性质

第1讲　函数图象与性质

高考定位　1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.

真题感悟

1.（2018·全国Ⅱ卷）函数f（x）＝的图象大致为（　　）

解析　f（x）＝为奇函数，排除A；当x>0时，f

（1）＝e－>2，排除C，D，只有B项满足.

答案　B

2.（2018·全国Ⅱ卷）已知f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x）＝f（1＋x）.若f

（1）＝2，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝（　　）

A.－50B.0C.2D.50

解析　法一　∵f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，且f（1－x）＝f（1＋x），∴f（4＋x）＝f（x），∴f（x）是周期函数，且一个周期为4，又f（0）＝0，知f

（2）＝f（0），f（4）＝f（0）＝0，由f

（1）＝2，知f（－1）＝－2，则f（3）＝f（－1）＝－2，从而f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＝0，故f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＋…＋f（50）＝12×0＋f（49）＋f（50）＝f

（1）＋f

（2）＝2，故选C.

法二　由题意可设

f（x）＝2sin，作出f（x）的部分图象如图所示.由图可知，f（x）的一个周期为4，所以f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12[f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）]＋f（49）＋f（50）＝12×0＋f

（1）＋f

（2）＝2.

答案　C

3.（2017·全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝lnx＋ln（2－x），则（　　）

A.f（x）在（0，2）上单调递增

B.f（x）在（0，2）上单调递减

C.y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称

D.y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称

解析　由题意知，f（x）＝lnx＋ln（2－x）的定义域为（0，2），f（x）＝ln[x（2－x）]＝

ln[－（x－1）2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，所以排除A，B；又f（2－x）＝ln（2－x）＋lnx＝f（x），所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误.

答案　C

4.（2018·江苏卷）函数f（x）满足f（x＋4）＝f（x）（x∈R），且在区间（－2，2]上，f（x）＝则f[f（15）]的值为________.

解析　因为函数f（x）满足f（x＋4）＝f（x）（x∈R），所以函数f（x）的最小正周期为4.又因为在区间（－2，2]上，f（x）＝

所以f[f（15）]＝f[f（－1）]＝f＝cos＝.

答案　

考点整合

1.函数的图象

（1）对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：

一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.

（2）在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.

（3）函数图象的对称性

①若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（a－x），即f（x）＝f（2a－x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称；

②若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝－f（a－x），即f（x）＝－f（2a－x），则y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称.

2.函数的性质

（1）单调性：

单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.

（2）奇偶性：

①若f（x）是偶函数，则f（x）＝f（－x）.

②若f（x）是奇函数，0在其定义域内，则f（0）＝0.

③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.

（3）周期性：

①若y＝f（x）对x∈R，f（x＋a）＝f（x－a）或f（x＋2a）＝f（x）（a>0）恒成立，则y＝f（x）是周期为2a的周期函数.

②若y＝f（x）是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f（x）是周期为2|a|的周期函数.

③若y＝f（x）是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f（x）是周期为4|a|的周期函数.

④若f（x＋a）＝－f（x），则y＝f（x）是周期为2|a|的周期函数.

易错提醒　错用集合运算符号致误：

函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.

热点一　函数及其表示

【例1】

（1）函数y＝的定义域为（　　）

A.（－∞，1]

B.[－1，1]

C.∪

D.∪

（2）（2018·全国Ⅰ卷）设函数f（x）＝则满足f（x＋1）

A.（－∞，－1]B.（0，＋∞）

C.（－1，0）D.（－∞，0）

解析　

（1）函数有意义，则

即

所以函数的定义域为.

（2）当x≤0时，函数f（x）＝2－x是减函数，则f（x）≥f（0）＝1.作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f（x＋1）＜f（2x），则需或所以x<0.

答案　

（1）C　

（2）D

探究提高　1.

（1）给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式（组）求解即可.

（2）抽象函数：

根据f（g（x））中g（x）的范围与f（x）中x的范围相同求解.

2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f（g（x））的函数求值时，应遵循先内后外的原则.

【训练1】

（1）设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（1－x）的定义域为B，则A∩B＝（　　）

A.（1，2）B.（1，2]C.（－2，1）D.[－2，1）

（2）（2018·郑州质检）函数f（x）＝且f（a）＝－2.则f（14－a）＝________.

解析　

（1）由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2]，

由1－x＞0得x＜1，∴B＝（－∞，1）.∴A∩B＝[－2，1）.

（2）当x<0时，f（x）＝2x＋1>0，由f（a）＝－2，知－log2（a＋1）＋2＝－2，∴a＝15.故f（14－a）＝f（－1）＝2－1＋1＝1.

答案　

（1）D　

（2）1

热点二　函数的图象及应用

【例2】

（1）（2018·浙江卷）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（　　）

（2）（2018·合肥调研）已知函数f（x）＝若f（x1）＝f（x2）＝f（x3）（x1，x2，x3互不相等），且x1＋x2＋x3的取值范围为（1，8），则实数m的值为________.

解析　

（1）设f（x）＝2|x|sin2x，其定义域关于坐标原点对称，又f（－x）＝2|－x|·sin（－2x）＝－f（x），所以y＝f（x）是奇函数，故排除选项A，B；令f（x）＝0，则sin2x＝0，所以x＝（k∈Z），故排除选项C.故选D.

（2）作出f（x）的图象，如图所示，可令x1

答案　

（1）D　

（2）1

探究提高　1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.

2.

（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.

（2）图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.

【训练2】

（1）（2017·全国Ⅲ卷）函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（　　）

（2）（2018·贵阳质检）已知f（x）＝2x－1，g（x）＝1－x2，规定：

当|f（x）|≥g（x）时，h（x）＝|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）＝－g（x），则h（x）（　　）

A.有最小值－1，最大值1

B.有最大值1，无最小值

C.有最小值－1，无最大值

D.有最大值－1，无最小值

解析　

（1）法一　易知g（x）＝x＋为奇函数，其图象关于原点对称.所以y＝1＋x＋的图象只需把g（x）的图象向上平移一个单位长度，选项D满足.

法二　当x＝1时，f

（1）＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A，C.又当x→＋∞时，y→＋∞，B项不满足，D满足.

（2）画出y＝|f（x）|＝|2x－1|与y＝g（x）＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f（x）|≥g（x），故h（x）＝|f（x）|；在A，B之间，|f（x）|

综上可知，y＝h（x）的图象是图中的实线部分，因此h（x）有最小值－1，无最大值.

答案　

（1）D　

（2）C

热点三　函数的性质与应用

考法1　函数的奇偶性、周期性

【例3－1】

（1）（2018·全国Ⅲ卷）已知函数f（x）＝ln（－x）＋1，f（a）＝4，则

f（－a）＝________.

（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋4）＝f（x－2）.若当x∈[－3，0]时，f（x）＝6－x，则f（919）＝________.

解析　

（1）设g（x）＝f（x）－1＝ln（－x），则g（x）为奇函数.由f（a）＝4，知g（a）＝f（a）－1＝3.∴g（－a）＝－3，则f（－a）＝1＋g（－a）＝－2.

（2）∵f（x＋4）＝f（x－2），∴f（x＋6）＝f（x），则T＝6是f（x）的周期.∴f（919）＝f（153×6＋1）＝f

（1），

又f（x）在R上是偶函数，

∴f

（1）＝f（－1）＝6－（－1）＝6，即f（919）＝6.

答案　

（1）－2　

（2）6

考法2　函数的单调性与最值

【例3－2】

（1）（2018·湖北名校联考）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增.若实数a满足f（32a－1）≥f（－），则a的最大值是（　　）

A.1B.C.D.

（2）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）.若a＝g（－log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A.a

C.b

解析　

（1）f（x）在R上是偶函数，且在（－∞，0）上是增函数，∴f（x）在（0，＋∞）上是减函数，由f（32a－1）≥f（－）＝f（），∴32a－1≤，则2a－1≤，∴a≤.故a的最大值是.

（2）法一　易知g（x）＝xf（x）在R上为偶函数，

∵奇函数f（x）在R上是增函数，且f（0）＝0.

∴g（x）在（0，＋∞）上是增函数.

又3>log25.1>2>20.8，且a＝g（－log25.1）＝g（log25.1），

∴g（3）>g（log25.1）>g（20.8），则c>a>b.

法二　（特殊化）取f（x）＝x，则g（x）＝x2为偶函数且在（0，＋∞）上单调递增，又3>log25.1>20.8，

从而可得c>a>b.

答案　

（1）D　

（2）C

探究提高　1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.

2.函数单调性应用：

可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.

【训练3】

（1）（2018·潍坊模拟）若函数f（x）＝为奇函数，则

f（g（－3））＝（　　）

A.－3B.－2C.－1D.0

（2）已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，且f

（2）＝0.若f（x－1）>0，则x的取值范围是________.

解析　

（1）由题意得g（－3）＝f（－3）＝－f（3）＝2－log33＝1.因此f[g（－3）]＝f

（1）＝log31－2＝－2.

（2）由题意知f（x－1）>f

（2）.

又因为f（x）是偶函数且在[0，＋∞）上单调递减，

所以f（|x－1|）>f

（2），即|x－1|<2，解得－1

答案　

（1）B　

（2）（－1，3）

1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f（x）＝的定义域时，只考虑x>0，忽视lnx≠0的限制.

2.如果一个奇函数f（x）在原点处有意义，即f（0）有意义，那么一定有f（0）＝0；若f（x）为偶函数，则f（|x|）＝f（x）.

3.三种作函数图象的基本思想方法

（1）通过函数图象变换利用已知函数图象作图；

（2）对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线；

（3）通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状.

4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程（不等式）才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解.

一、选择题

1.设f（x）＝若f（a）＝f（a＋1），则f＝（　　）

A.2B.4C.6D.8

解析　由已知得a>0，∴a＋1>1，

∵f（a）＝f（a＋1），∴＝2（a＋1－1），

解得a＝，∴f＝f（4）＝2（4－1）＝6.

答案　C

2.（2018·西安质检）函数f（x）＝的图象是（　　）

解析　f（x）＝为奇函数，排除选项A，B，由f（x）＝0，知x＝0或x＝±1，选项D满足.

答案　D

3.（2018·全国Ⅲ卷）下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（　　）

A.y＝ln（1－x）B.y＝ln（2－x）

C.y＝ln（1＋x）D.y＝ln（2＋x）

解析　法一　设所求函数图象上任一点的坐标为（x，y），则其关于直线x＝1的对称点的坐标为（2－x，y），由对称性知点（2－x，y）在函数f（x）＝lnx的图象上，所以y＝ln（2－x）.

法二　由题意知，对称轴上的点（1，0）既在函数y＝lnx的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.

答案　B

4.已知定义在R上的函数f（x）＝2|x－m|－1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　）

A.a＜b＜cB.a＜c＜b

C.c＜a＜bD.c＜b＜a

解析　由f（x）＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，

所以f（x）＝2|x|－1.

所以a＝f（log0.53）＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，

b＝f（log25）＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，

c＝f（0）＝2|0|－1＝0，所以c

答案　C

5.（2018·石家庄质检）已知函数f（x）＝则f[f（x）]<2的解集为（　　）

A.（1－ln2，＋∞）B.（－∞，1－ln2）

C.（1－ln2，1）D.（1，1＋ln2）

解析　因为当x≥1时，f（x）＝x3＋x≥2，当x<1时，f（x）＝2ex－1<2，∴f（f（x））<2等价于f（x）<1，即2ex－1<1.因此x<1－ln2.

答案　B

6.已知定义在D＝[－4，4]上的函数f（x）＝对任意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1－x2|的最大值与最小值之和为（　　）

A.7B.8C.9D.10

解析　

作出函数f（x）的图象如图所示，由任意x∈D，f（x1）≤f（x）≤f（x2）知，f（x1），f（x2）分别为f（x）的最小值和最大值，由图可知|x1－x2|max＝8，

|x1－x2|min＝1，所以|x1－x2|的最大值与最小值之和为9.

答案　C

二、填空题

7.（2018·成都诊断）函数f（x）＝＋的定义域为________.

解析　由题意得：

解得x>－1.

答案　{x|x>－1}

8.已知函数f（x）是奇函数，当x>0时，f（x）＝ax（a>0且a≠1），且f（log4）＝－3，则a的值为________.

解析　∵奇函数f（x）满足f（log4）＝－3，而log4＝－2<0，∴f（－2）＝－3，即f

（2）＝3，

又∵当x>0时，f（x）＝ax（a>0且a≠1），又2>0，

∴f

（2）＝a2＝3，解之得a＝.

答案　

9.如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是________.

解析　

在同一坐标系中画出函数f（x）与y＝log2（x＋1）的图象，如图所示.

根据图象，当x∈（－1，1]时，y＝f（x）的图象在y＝log2（x＋1）图象的上方.

所以不等式的解集为（－1，1].

答案　（－1，1]

三、解答题

10.（2018·深圳中学调研）已知函数f（x）＝a－.

（1）求f（0）；

（2）探究f（x）的单调性，并证明你的结论；

（3）若f（x）为奇函数，求满足f（ax）

（2）的x的范围.

解　

（1）f（0）＝a－＝a－1.

（2）∵f（x）的定义域为R，

∴任取x1，x2∈R且x1

则f（x1）－f（x2）＝a－－a＋

＝，

∵y＝2x在R上单调递增且x1

∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0.

∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

∴f（x）在R上单调递增.

（3）∵f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），

即a－＝－a＋，

解得a＝1（或用f（0）＝0去解）.

∴f（ax）

（2）即为f（x）

（2），

又∵f（x）在R上单调递增，∴x<2.

11.已知函数f（x）＝x2－2lnx，h（x）＝x2－x＋a.

（1）求函数f（x）的极值；

（2）设函数k（x）＝f（x）－h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.

解　

（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），令f′（x）＝2x－＝0，得x＝1.

当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＞0，

所以函数f（x）在x＝1处取得极小值为1，无极大值.

（2）k（x）＝f（x）－h（x）＝x－2lnx－a（x＞0），

所以k′（x）＝1－，

令k′（x）＞0，得x＞2，所以k（x）在[1，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增，

所以当x＝2时，函数k（x）取得最小值k

（2）＝2－2ln2－a.

因为函数k（x）＝f（x）－h（x）在区间[1，3]上恰有两个不同零点，

即有k（x）在[1，2）和（2，3]内各有一个零点，

所以即有

解得2－2ln2

所以实数a的取值范围为（2－2ln2，3－2ln3].

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。