第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用.docx

第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用.docx

《第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第2课时椭圆的标准方程及性质的应用

第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用

学习目标：

1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．（重点）2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．（难点）

[自主预习·探新知]

1．点与椭圆的位置关系

点P（x0，y0）与椭圆＋＝1（a>b>0）的位置关系：

点P在椭圆上⇔＋＝1；

点P在椭圆内部⇔＋<1；

点P在椭圆外部⇔＋>1.

2．直线与椭圆的位置关系

直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1（a>b>0）的位置关系：

联立消去y得一个关于x的一元二次方程．

位置关系

解的个数

Δ的取值

相交

两解

Δ>0

相切

一解

Δ＝0

相离

无解

Δ<0

思考：

（1）过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？

（2）直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1有怎样的位置关系？

[提示]　

（1）根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．

（2）直线y＝kx＋1恒过定点（0,1），点（0,1）在椭圆＋＝1的内部，因此直线与椭圆相交．

[基础自测]

1．思考辨析

（1）若点P（x0，y0）在椭圆＋＝1的内部，则有＋<1.（　　）

（2）直线y＝x与椭圆＋＝1（a>b>0）不一定相交．（　　）

（3）过点（3,0）的直线有且仅有一条与椭圆＋＝1相切．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×　（3）√

2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是（　　）

A．相离　　　　　　B．相切

C．相交D．无法确定

C　[联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，

Δ＝22＋12＝16＞0，

∴直线与椭圆相交．]

3．若点A（a,1）在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________.

【导学号：

46342078】

（－，）　[∵点A在椭圆内部，

∴＋＜1，∴a2＜2，∴－＜a＜.]

[合作探究·攻重难]

直线与椭圆的位置关系

　对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．

[思路探究]　―→―→―→

[解]　联立方程组

将①代入②得：

＋（x＋m）2＝1，

整理得：

5x2＋8mx＋4m2－4＝0.③

Δ＝（8m）2－4×5（4m2－4）＝16（5－m2）．

当Δ＞0，即－＜m＜时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；

当Δ＝0，即m＝±时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；

当Δ＜0，即m＜－或m＞时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离．

[规律方法]　代数法判断直线与椭圆的位置关系

判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则

Δ>0⇔直线与椭圆相交；

Δ＝0⇔直线与椭圆相切；

Δ<0⇔直线与椭圆相离．

提醒：

注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．

[跟踪训练]

1．

（1）若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是（　　）

A．B．－　　C．±　　D．±

C　[由得（3k2＋2）x2＋12kx＋6＝0

由题意知Δ＝144k2－24（3k2＋2）＝0

解得k＝±.]

（2）直线y＝kx－k＋1（k∈R）与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是________．

　[直线y＝k（x－1）＋1恒过定点P（1,1），直线与椭圆总有公共点等价于点P（1,1）在椭圆内或在椭圆上．所以＋≤1，即m≥，又0

故m∈.]

弦长及中点弦问题

　过椭圆＋＝1内一点M（2,1）引一条弦，使弦被M点平分．

（1）求此弦所在的直线方程．

（2）求此弦长.

【导学号：

46342079】

[思路探究]　

（1）法一：

联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．

法二：

点差法

（2）设弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），利用弦长公式求解．

[解]　

（1）法一：

设所求直线方程为y－1＝k（x－2）．代入椭圆方程并整理，得

（4k2＋1）x2－8（2k2－k）x＋4（2k－1）2－16＝0.

又设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1，x2是方程的两个根，

于是x1＋x2＝.

又M为AB的中点，∴＝＝2，

解之得k＝－.

故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

法二：

设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．

又M（2,1）为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.

又A，B两点在椭圆上，

则x＋4y＝16，x＋4y＝16.

两式相减得（x－x）＋4（y－y）＝0.

于是（x1＋x2）（x1－x2）＋4（y1＋y2）（y1－y2）＝0.

∴＝－＝－，

即kAB＝－.

又直线AB过点M（2,1），

故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

（2）设弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）

由得x2－4x＝0，

∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，

∴|AB|＝·＝·＝2.

[规律方法]　1.直线与椭圆相交弦长的求法

（1）直接利用两点间距离公式：

当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．

（2）弦长公式：

当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．

设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则有|AB|＝

＝

＝·

＝

＝·（k为直线斜率）．

提醒：

如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．

2．解决椭圆中点弦问题的两种方法

（1）根与系数的关系法：

联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；

（2）点差法：

利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：

已知A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆＋＝1（a>b>0）上的两个不同的点，M（x0，y0）是线段AB的中点，则

由①－②，得（x－x）＋（y－y）＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.

[跟踪训练]

2．

（1）已知点P（4,2）是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则直线l的方程为________．

x＋2y－8＝0　[由题意可设直线l的方程为y－2＝k（x－4），

而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.

将直线方程代入椭圆方程有

（4k2＋1）x2－8k（4k－2）x＋4（4k－2）2－36＝0.设直线l与椭圆的交点为（x1，y1），（x2，y2），

所以x1＋x2＝＝8，所以k＝－.所以直线l的方程为y－2＝－（x－4），即x＋2y－8＝0.]

（2）已知点P（4,2）是直线l：

x＋2y－8＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点，则该椭圆的离心率为________．

　[设椭圆方程为＋＝1（a>b>0），

直线x＋2y－8＝0与椭圆交于A，B两点，且A（x1，y1），B（x2，y2），则

①－②得＋＝0，

即＝－.

因为kAB＝－，AB中点为（x0，y0），x0＝4，y0＝2，

所以－＝－2，即a2＝4b2.

所以该椭圆的离心率为e＝＝.]

（3）已知动点P与平面上两定点A（－，0），B（，0）连线的斜率的积为定值－.

①试求动点P的轨迹方程C；

②设直线l：

y＝kx＋1与曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程．

[解]　①设动点P的坐标是（x，y），由题意得，kPA·kPB＝－.

∴·＝－，

化简整理得＋y2＝1.

故P点的轨迹方程C是＋y2＝1（x≠±）．

②设直线l与曲线C的交点M（x1，y1），N（x2，y2），

由得（1＋2k2）x2＋4kx＝0.

∴x1＋x2＝，x1·x2＝0.

|MN|＝·＝，

整理得k4＋k2－2＝0，

解得k2＝1或k2＝－2（舍）．

∴k＝±1，经检验符合题意．

∴直线l的方程是y＝±x＋1，即x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

与椭圆有关的综合问题

[探究问题]

1．直线y＝kx＋1表示过点（0,1）且斜率存在的直线，即不包含直线x＝0，那么直线x＝ky＋1表示什么样的直线？

提示：

直线x＝ky＋1，表示过点（1,0）且斜率不为0的直线，即不包含直线y＝0.

2．如果以线段AB为直径的圆过点O，那么可以得到哪些等价的条件？

提示：

（1）设AB的中点为P，则|OP|＝|AB|，

（2）·＝0.

　如图227，已知椭圆E：

＋＝1（a>b>0）过点（0，），且离心率e＝.

图227

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线l：

x＝my－1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．

[思路探究]　

（1）由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a2＝b2＋c2即可求出a，b，c的值，从而可得椭圆E的方程．

（2）法一：

判断点与圆的位置关系，只需把点G与圆心的距离d与圆的半径r进行比较，若d>r，则点G在圆外；若d＝r，则点G在圆上；若d

法二：

只需判断·的符号，若·＝0，则点G在圆上；若·>0，则点G在圆外；若·<0，则点G在圆内．

[解]　

（1）由已知得，

解得

所以椭圆E的方程为＋＝1.

（2）法一：

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

AB的中点为H（x0，y0）．

由得（m2＋2）y2－2my－3＝0，

所以y1＋y2＝，y1y2＝－，

从而y0＝.

所以|GH|2＝＋y＝＋y＝（m2＋1）y＋my0＋.

＝＝＝＝（1＋m2）（y－y1y2），

故|GH|2－＝my0＋（1＋m2）y1y2＋＝－＋＝>0，

所以|GH|>.

故点G在以线段AB为直径的圆外．

法二：

设点A（x1，y1），B（x2，y2），则＝，＝.

由得（m2＋2）y2－2my－3＝0，

所以y1＋y2＝，y1y2＝－，

从而·＝＋y1y2＝＋y1y2＝（m2＋1）y1y2＋m（y1＋y2）＋＝＋＋＝>0，

所以cos〈，〉>0.又，不共线，所以∠AGB为锐角．故点G在以线段AB为直径的圆外．

[规律方法]　解决与椭圆有关的综合问题的思路

直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．

[跟踪训练]

3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1（－，0）和F2（，0），且椭圆过点.

（1）求椭圆方程；

（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由.

【导学号：

46342080】

[解]　

（1）由题意设椭圆方程＋＝1（a>b>0），

由c＝，a2＝b2＋c2，

代入方程＋＝1，

又∵椭圆过点，

得＋＝1，

解得b2＝1，∴a2＝4.

椭圆的方程为＋y2＝1.

（2）设直线MN的方程为x＝ky－，

联立直线MN和曲线C的方程可得

得（k2＋4）y2－ky－＝0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），A（－2,0），

y1y2＝－，y1＋y2＝，

则·＝（x1＋2，y1）·（x2＋2，y2）

＝（k2＋1）y1y2＋k（y1＋y2）＋＝0，

即可得∠MAN＝.

[当堂达标·固双基]

1．已知点（2,3）在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是（　　）

【导学号：

46342081】

A．点（－2,3）在椭圆外

B．点（3,2）在椭圆上

C．点（－2，－3）在椭圆内

D．点（2，－3）在椭圆上

D　[由椭圆的对称性知，点（2，－3）在椭圆上，故选D.]

2．已知直线l：

x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是（　　）

A．相交　　　B．相切

C．相离D．相切或相交

C　[由得5x2－24x＋32＝0，

Δ＝（－24）2－4×5×32＝－64<0，

因此直线与椭圆相离．]

3．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．

　[由

消去y并化简得x2＋2x－6＝0.

设直线与椭圆的交点为M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.

∴弦长|MN|＝|x1－x2|

＝＝＝.]

4．已知P（1,1）为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．

x＋2y－3＝0　[易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦的端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），

则＋＝1①，＋＝1②，

①－②得＋＝0，

∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，

∴＋y1－y2＝0，

∴k＝＝－.

∴此弦所在的直线方程为y－1＝－（x－1），

即x＋2y－3＝0.]

5．焦点分别为（0,5）和（0，－5）的椭圆截直线y＝3x－2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程.

【导学号：

46342082】

[解]　设＋＝1（a>b>0）．

依题意，有a2－b2＝（5）2＝50.①

由

消去y并整理，得

（a2＋9b2）x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0.

因为＝，

所以＝.

所以a2＝3b2.②

由①②，得a2＝75，b2＝25.

经检验，此时Δ>0.

所以椭圆方程为＋＝1.