高考数学同步专题突破及解析 10.docx

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高考数学同步专题突破及解析10

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用

学习目标

　1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.

知识点一　等比数列前n项和公式的函数特征

当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A（qn－1）．即Sn是n的指数型函数．

当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．

知识点二　等比数列前n项和的性质

等比数列{an}前n项和的三个常用性质

（1）若数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍构成等比数列．

（2）若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm（n，m∈N＋）．

（3）若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：

①在其前2n项中，＝q；

②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝（q≠－1）．

1．等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.（　√　）

2．若{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2.（　√　）

3．若{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q.（　√　）

4．等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn.则{Sn}也是递增数列．（　×　）

题型一　等比数列前n项和公式的函数特征应用

例1　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2（n∈N＋）．求{an}的通项公式．

解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n－2）－（3n-1－2）＝2·3n-1.当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式．

∴an＝

反思感悟　

（1）已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.

（2）若数列{an}的前n项和Sn＝A（qn－1），其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．

跟踪训练1　若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n-1＋t，则t＝________.

答案　－

解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A（qn－1），

又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.

题型二　等比数列前n项和的性质

命题角度1　连续n项之和问题

例2　已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：

S＋S＝Sn（S2n＋S3n）．

证明　方法一　设此等比数列的公比为q，首项为a1，

当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，

∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，

Sn（S2n＋S3n）＝na1（2na1＋3na1）＝5n2a，

∴S＋S＝Sn（S2n＋S3n）．

当q≠1时，Sn＝（1－qn），

S2n＝（1－q2n），S3n＝（1－q3n），

∴S＋S＝2·[（1－qn）2＋（1－q2n）2]

＝2·（1－qn）2·（2＋2qn＋q2n）．

又Sn（S2n＋S3n）＝2（1－qn）（2－q2n－q3n）＝2·（1－qn）2·（2＋2qn＋q2n），

∴S＋S＝Sn（S2n＋S3n）．

方法二　根据等比数列的性质有

S2n＝Sn＋qnSn＝Sn（1＋qn），S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，

∴S＋S＝S＋[Sn（1＋qn）]2＝S（2＋2qn＋q2n），

Sn（S2n＋S3n）＝S（2＋2qn＋q2n）．

∴S＋S＝Sn（S2n＋S3n）．

反思感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法

（1）运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．

（2）灵活运用等比数列前n项和的有关性质．

跟踪训练2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.

解　因为S2n≠2Sn，所以q≠1，

由已知得

②÷①得1＋qn＝，即qn＝.③

将③代入①得＝64，

所以S3n＝＝64×＝63.

命题角度2　不连续n项之和问题

例3　一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．

解　设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶，

∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝＝.

又a1·a1q·a1q2＝64，∴a·q3＝64，得a1＝12.

故所求通项公式为an＝12×n-1，n∈N＋.

反思感悟　注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快．

跟踪训练3　设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则

＝________.

答案　126

解析　∵

，

∴{

}是首项为b2，公比为2的等比数列．

∴

＝＝126.

等比数列前n项和的分类表示

典例　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝3an，n∈N＋.求{an}的前n项和Sn.

解　由an≠0，所以＝3，于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列．

因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n-1.

于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝（a1＋a3＋…＋a2n－1）＋（a2＋a4＋…＋a2n）＝（1＋3＋…＋3n-1）＋2（1＋3＋…＋3n-1）＝3（1＋3＋…＋3n-1）＝，

从而S2n－1＝S2n－a2n＝－2×3n－1＝（5×3n－2－1）．

综上所述，Sn＝

[素养评析]　数学中有不少概念表达式相当抽象．只有在明晰运算对象的基础上，才能挖掘出两式的内在联系，理解运算法则．本例中，涉及到很多对n的赋值，只有理解了an，a2n，S2n与S2n－1之间的联系，才能顺利挖掘出{a2n}是首项为2，公比为3的等比数列，S2n－1＝S2n－a2n等关系.

1．已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于（　　）

A．31B．33

C．35D．37

答案　B

解析　设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5（a1＋a2＋a3＋a4＋a5）＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.

2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为（　　）

A.B．－

C.D．－

答案　C

解析　方法一　∵Sn＝x·3n-1－＝·3n－，

由Sn＝A（qn－1），得＝，∴x＝，故选C.

方法二　当n＝1时，a1＝S1＝x－；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n-2，

∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n-2，

即2x·3-1＝x－，解得x＝.

3．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn＝3n＋d，则向量a＝（c，d）的模为（　　）

A．1B.

C.D．无法确定

答案　A

解析　由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，所以向量a＝（c，d）的模为1.

4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99等于（　　）

A．24B．12C．18D．22

答案　B

解析　设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.

5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于（　　）

A．8B．6C．4D．2

答案　C

解析　S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．

即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列．

∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.

1．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lgan}构成等差数列．

2．等比数列前n项和中用到的数学思想

（1）分类讨论思想：

①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：

当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,0

（2）函数思想：

等比数列的通项an＝a1qn-1＝·qn（q>0且q≠1）常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝（qn－1）（q≠1）．设A＝，则Sn＝A（qn－1）与指数函数相联系．

（3）整体思想：

应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解；把奇数项、偶数项、连续若干项之和等整体处理．

一、选择题

1．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于（　　）

A．2B.C．4D.

答案　C

解析　∵a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，

∴a4－a3＝3（S3－S2）＝3a3，即a4＝4a3，

∴q＝＝4.

2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于（　　）

A．1B．0C．1或0D．－1

答案　A

解析　∵Sn－Sn－1＝an（n≥2且n∈N＋），又{Sn}是等差数列，

∴an为定值，即数列{an}为常数列，

∴q＝＝1（n≥2且n∈N＋）．

3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于（　　）

A.B．－C.D.

答案　A

解析　因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8（S9－S6）＝1，即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝.

4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为（　　）

A.B．2C.D．17

答案　C

解析　＝q3＝，∴q＝.

∴＝＝1＋＝1＋q4＝.

5．正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于（　　）

A．90B．70C．40D．30

答案　C

解析　由S30＝13S10，知q≠1，由得

由等比数列的前n项和的性质得S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，则（S20－S10）2＝S10（S30－S20），即（S20－10）2＝10（130－S20），解得S20＝40或S20＝－30（舍去），故选C.

6．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N＋，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为（　　）

A．－2B．2C．－3D．3

答案　B

解析　设公比为q，若q＝1，则＝2，

与题中条件矛盾，故q≠1.

∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.

∴＝＝qm＝8＝，

∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.

7．已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项之和为85，所有偶数项之和为170，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为（　　）

A．580B．585C．590D．595

答案　B

解析　设等比数列{an}的公比为q，则由题意有得

∴S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3（1＋q3＋q6＋q9）＝a1q2·＝585.

8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则等于（　　）

A．2B.C.D．3

答案　B

解析　由题意知q≠1，否则＝＝2≠3.

∴＝＝1＋q3＝3，

∴q3＝2.

∴＝＝＝＝.

二、填空题

9．若等比数列{an}的前5项和S5＝10，前10项和S10＝50，则它的前15项和S15＝________.

答案　210

解析　由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，

S15－S10成等比数列，故（S10－S5）2＝S5（S15－S10），

即（50－10）2＝10（S15－50），解得S15＝210.

10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，若对任意n∈N＋，有an＋1＝Sn，则Sn＝________.

答案　n-1

解析　由an＋1＝Sn，得Sn＋1－Sn＝Sn，即Sn＋1＝Sn，则数列{Sn}是以S1＝1为首项，公比q为的等比数列，所以Sn＝S1·qn-1＝n-1.

11．已知首项为1的等比数列{an}是摆动数列，Sn是{an}的前n项和，且＝5，则数列的前5项和为________．

答案　

解析　＝＝1＋q2＝5，q＝±2.

∵{an}是摆动数列，∴q＝－2.

∴的首项为1，公比为－，

前5项和为＝＝.

三、解答题

12．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求和：

b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.

解　

（1）设等差数列{an}公差为d，因为a2＋a4＝2a3＝10，所以a3＝5＝1＋2d，所以d＝2，所以an＝2n－1（n∈N＋）．

（2）设{bn}的公比为q，b2·b4＝a5⇒q·q3＝9，所以q2＝3，

所以{b2n－1}是以b1＝1为首项，q′＝q2＝3为公比的等比数列，所以b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝＝.

13．已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.

解　

（1）设数列{an}的公比为q，

由题意知2（a3＋2）＝a2＋a4，

∴q3－2q2＋q－2＝0，

即（q－2）（q2＋1）＝0.

∴q＝2，即an＝2·2n-1＝2n，n∈N＋.

（2）由题意得，bn＝n·2n，

∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①

2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋（n－1）·2n＋n·2n+1，②

①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n+1

＝－2－（n－1）·2n+1.

∴Sn＝2＋（n－1）·2n+1，n∈N＋.

14．等比数列{an}中，a1－a3＝3，前n项和为Sn，S1，S3，S2成等差数列，则Sn的最大值为________．

答案　4

解析　设公比为q，

由

解得

当n为奇数时，

Sn＝≤＝4，

当n为偶数时，Sn＝<.

综上，Sn的最大值为4.

15．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.

（1）证明：

{Sn－n＋2}为等比数列；

（2）设数列{Sn}的前n项和为Tn，求Tn.

（1）证明　当n＝1时，S1－2S1＝1－4，故S1＝3，

得S1－1＋2＝4.

n≥2时原式转化为Sn＝2（Sn－Sn－1）＋n－4，

即Sn＝2Sn－1－n＋4，

所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－（n－1）＋2]，

所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．

（2）解　由

（1）知，Sn－n＋2＝2n+1，所以Sn＝2n+1＋n－2，

于是Tn＝（22＋23＋…＋2n+1）＋（1＋2＋…＋n）－2n

＝＋－2n＝.