天津河西区高三一模文数学真题卷.docx
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天津河西区高三一模文数学真题卷
2017年天津市河西区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．已知集合，集合（为自然对数的底数），则（）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：
∵集合，
（为自然对数的底数），
∴，
故选．
2．“成立”是“成立”的（）．
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：
由，得，
由，得，
若“”成立，则有“”，所以“”不一定成立，
反之，若“”成立，即，一定有“”成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选．
3．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：
模拟执行程序框图，可得：
，，，
，，
不满足条件，，，
不满足条件，，，
不满足条件，，，
满足条件，退出循环，输出的值为．
故选．
4．设，，，则（）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：
由题意可知：
，，，
所以，，
所以．
故选．
5．如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：
∵函数的图像关于点中心对称，
∴，
∴由此易得．
故选．
6．已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若其渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率等于（）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：
取双曲线的一条渐近线，即，
由圆化为．圆心，半径，
∵渐近线与圆相切，
∴化为，
∴该双曲线的离心率．
故选．
7．如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是（）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：
如图所示，
平行四边形中，，，，
∴，
，
∴
，
∴．
故选．
8．已知函数，若的图像与轴有个不同的交点，则实数的取值范围是（）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：
由于函数有个零点，则方程有三个根，
故函数与的图像有三个交点，
由于函数，则其图像如图所示，
从图像可知，当直线位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，
因为点能取到，则个选项中区间的右端点能取到，排除；
∴只能从中选，故只要看看选项区间的右端点是选还是选，
设图中切点的坐标为，则斜率，
又满足：
，解得，
∴斜率，
故选．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．设是虚数单位，若复数满足，则__________．
【答案】
【解答】解：
，
∴，
∴，，
则复数的模．
故答案为．
10．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是__________．
【答案】
【解答】解：
由三视图知原几何体是一个棱长为的正方体挖去一四棱锥得到的，
该四棱锥的底为正方体的上底，高为，
如图所示：
∴该几何体的体积为．
故答案为．
11．一个口袋内装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球，从中一次随机取出个球，则至少取到个黑球的概率为__________．
【答案】
【解答】解：
一个口袋内装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球，
从中一次随机取出个球，
基本事件总数，
至少取到个黑球的对立事件是取到的两个球都是白球，
∴至少取到个黑球的概率：
．
故答案为．
12．设函数在内可导，且，则__________．
【答案】
【解答】解：
函数在内可导，且，
令，则，故有，即，
∴，故．
故答案为．
13．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解答】解：
∵，
∴，
∵恒成立，
∴，求得，
故答案为．
14．设为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，点为线段的中点，若，则直线的斜率等于__________．
【答案】
【解答】解：
设直线的方程为，、、．
解方程组，
化简得：
，
∴，
，
∴，，
由，得：
，
∴．
故答案为．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（分）的内角、、的对边分别为、、，．
（）求．
（）若，求．
【答案】（）．
（）．
【解答】解：
（）中，，
由正弦定理得，
由余弦定理得：
，
又，
∴．
（）由，且，
∴，
∴
．
16．（分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过亩，投入资金不超过万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量，成本和售价如下表：
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
吨
万元
万元
韭菜
吨
万元
万元
分别用，表示黄瓜和韭菜的种植面积（单位：
亩）．
（）用，列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
（）问分别种植黄瓜和韭菜各对少亩能够使一年的种植总利润（总利润总销售收入总种植成本）最大？
并求出此最大利润．
【答案】（）平面区域见解析．
（）亩、亩，万元．
【解答】解：
（）设黄瓜和韭菜的种植面积分别为，亩，
则目标函数为．
线性约束条件为即，作出不等式组表示的可行域，如图所示：
（）设总利润为万元，由图像易求得点，，，
平移直线，可知当直线经过点，即，时，取得最大值，且（万元）．
故黄瓜和韭菜的种植面积应该分别是亩、亩时，利润最大．
17．（分）已知，平行四边形中，，，，，、分别为线段、的中点．
（）求证：
平面．
（）求证：
平面平面．
（）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（）见解析．
（）见解析．
（）．
【解答】证明：
（）取的中点，连接，，
∵，
∴，且，
又∵，四边形是平行四边形，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
（）在中，
∵，，
∴，
在梯形中，
∵，，
∴，
又∵，
∴平面，
又∵平面，
∴平面平面．
解：
（）取的中点，连接，，则，
由（）得平面，
∴平面，
∴是在平面上的射影，且，
∴为直线与平面所成的角，
在中，，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
18．（分）已知数列的前项和为，且满足．
（）求数列的通项公式．
（）设，求数列的前项和．
【答案】（）．
（）．
【解答】解：
（）当时，，
即：
，
当时，由得，
显然当时上式也适合，
∴．
（）∵，
∴
．
19．（分）已知椭圆经过点，一个焦点为．
（）求椭圆的方程．
（）若直线与轴交于点，与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．
【答案】（）．
（）．
【解答】解：
（）由题意得，解得，，
∴椭圆的方程是．
（）联立，得，
设，，
则有，，
，
∴线段的中点坐标为，
∴线段的垂直平分线方程为，
取，得，
于是，线段的垂直平分线与轴的交点，
又点，
∴，
又，
于是，，
∵，
∴．
∴的取值范围为．
20．（分）设函数，其中．
（）当时，求曲线在点处的切线方程．
（）当时，求函数的极大值和极小值．
（）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．
【答案】（）．
（），．
（）见解析．
【解答】解：
（）解：
当时，，得，
且，，
所以，曲线在点处的切线方程是，
整理得．
（）解：
．
令，解得或，
由于，以下分两种情况讨论．
（）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且．
（）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且．
（）证明：
由，得，当时，，，
由（）知，在上是减函数，要使，，
只要，
即①，
设，则函数在上的最大值为．
要使①式恒成立，必须，即或．
所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．
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