人A版数学选修23讲义第2章 24 正态分布.docx

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人A版数学选修23讲义第2章24正态分布

2.4　正态分布

1．利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义．（重点）

2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．（重点）

3．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率．（难点）

[基础·初探]

教材整理1　正态曲线及正态分布

阅读教材P70～P72，完成下列问题．

1．正态曲线

若φμ，σ（x）＝

e－

，x∈（－∞，＋∞），其中实数μ和σ（σ>0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

2．正态分布

如果对于任何实数a，b（a

φμ，σ（x），则称随机变量X服从正态分布．

正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N（μ，σ2）．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N（μ，σ2）．

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．（　　）

（2）服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．（　　）

（3）正态曲线是一条钟形曲线．（　　）

（4）离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．（　　）

【解析】　

（1）×　因为正态分布变量函数表达式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．

（2）√　因为离散型随机变量最多取可列出的不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．

（3）√　由正态分布曲线的形状可知该说法正确．

（4）×　因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线（函数）描述．

【答案】　

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）×

教材整理2　正态曲线的特点及3σ原则

阅读教材P72～P74，完成下列问题．

1．正态曲线的特点

（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

（3）曲线在x＝μ处达到峰值

；

（4）曲线与x轴之间的面积为1；

（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

2．3σ原则

（1）若X～N（μ，σ2），则对于任何实数a>0，P（μ－a

φμ，σ（x）dx.

（2）正态分布在三个特殊区间内取值的概率：

P（μ－σ

P（μ－2σ

P（μ－3σ

（3）通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取（μ－3σ，μ＋3σ）之间的值，并简称之为3σ原则．

1．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），则P（X<2）等于（　　）

A.

　　　　　　　　　　B.

C.

D.

【解析】　由题意知X的均值为2，因此P（X<2）＝

.

【答案】　D

2．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，

得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是________．（填序号）

①曲线b仍然是正态曲线；

②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；

③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2；

④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.

【解析】　正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误．

【答案】　③

3．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ>0）．若X在（0,1）内取值的概率为0.4，则X在（0,2）内取值的概率为________．

【解析】　∵X服从正态分布（1，σ2），

∴X在（0,1）与（1,2）内取值的概率相同，均为0.4.

∴X在（0,2）内取值的概率为0.4＋0.4＝0.8.

【答案】　0.8

4．正态分布的概率密度函数P（x）＝

e

在（3,7]内取值的概率为________.

【导学号：

29472075】

【解析】　由题意可知X～N（5,4），且μ＝5，σ＝2，

所以P（3

【答案】　0.6827

[小组合作型]

正态分布的概念及正态曲线的性质

　如图241所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．

图241

【精彩点拨】　给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．

【自主解答】　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是

，所以μ＝20.

由

＝

，得σ＝

.

于是概率密度函数的解析式是

f（x）＝

·e

，x∈（－∞，＋∞），

总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝（

）2＝2.

利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：

（1）正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.

（2）正态曲线在x＝μ处达到峰值

，由此性质结合图象可求σ.

[再练一题]

1.设两个正态分布N（μ1，σ

）（σ1>0）和N（μ2，σ

）（σ2>0）的密度函数图象如图242所示，则有（　　）

A．μ1<μ2，σ1<σ2

B．μ1<μ2，σ1>σ2

C．μ1>μ2，σ1<σ2

D．μ1>μ2，σ1>σ2

图242

【解析】　根据正态分布的性质：

对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.

【答案】　A

服从正态分布变量的概率问题

（1）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ<4）＝0.8，则P（0<ξ<2）＝（　　）

A．0.6　　　　　　　　　　B．0.4

C．0.3D．0.2

（2）在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1,4），求正态总体X在（－1,1）内取值的概率．

【精彩点拨】　

（1）根据正态曲线的性质对称性进行求解；

（2）题可先求出X在（－1,3）内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在（－1,1）内取值的概率就等于在（－1,3）内取值的概率的一半．

【自主解答】　

（1）∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），

∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P（ξ<4）＝0.8，

∴P（ξ≥4）＝P（ξ<0）＝0.2，

∴P（0<ξ<4）＝0.6，∴P（0<ξ<2）＝0.3.故选C.

【答案】　C

（2）由题意得μ＝1，σ＝2，

所以P（－1＜X≤3）＝P（1－2＜X≤1＋2）＝0.6827.

又因为正态曲线关于x＝1对称，

所以P（－1＜X＜1）＝P（1＜X＜3）＝

P（－1＜X＜3）≈0.3414.

利用正态分布求概率的两个方法

1．对称法：

由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：

（1）P（X

（2）P（X<μ－a）＝P（X>μ＋a）．

2．“3σ”法：

利用X落在区间（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827,0.9545，

0．9973求解．

[再练一题]

2．设随机变量X～N（2,9），若P（X>c＋1）＝P（X

（1）求c的值；

（2）求P（－4

【解】　

（1）由X～N（2,9）可知，密度函数关于直线x＝2对称（如图所示），

又P（X>c＋1）＝P（X

所以c＝2.

（2）P（－4

0．9544.

[探究共研型]

正态分布的实际应用

探究1　若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N（4,0.25），那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？

【提示】　零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.

探究2　某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N（4,0.25），若零件的外直径在（3.5,4.5]内的为一等品．试问1000件这种的零件中约有多少件一等品？

【提示】　P（3.5<ε≤4.5）＝P（μ－σ<ε<μ＋σ）＝0.6827，所以1000件产品中大约有1000×0.6827≈683（件）一等品．

探究3　某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N（4，0.25）．质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？

【提示】　由于圆柱形零件的外直径ε～N（4,0.25），

由正态分布的特征可知，正态分布N（4,0.25）在区间（4－3×0.5,4＋3×0.5），

即（2.5,5.5）之外取值的概率只有0.003，而5.7∈（2.5,5.5）．

这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．

　设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N（110,202），且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格（即90分以上）的人数和130分以上的人数．

【精彩点拨】　将P（X≥90）转化为P（X－μ≥－σ），然后利用对称性及概率和为1，得到2P（X－μ≤－σ）＋0.6827＝1，进而求出P（X≥90）的值，同理可解得P（X≥130）的值．

【自主解答】　μ＝110，σ＝20，P（X≥90）＝P（X－110≥－20）＝P（X－μ≥－σ），

∵P（X－μ≤－σ）＋P（－σ≤X－μ≤σ）＋P（X－μ≥σ）

＝2P（X－μ≤－σ）＋0.6827＝1，

∴P（X－μ≤－σ）≈0.1587，

∴P（X≥90）＝1－P（X－μ≤－σ）＝1－0.1587≈0.8414.

∴54×0.8414≈45（人），即及格人数约为45人．

∵P（X≥130）＝P（X－110≥20）＝P（X－μ≥σ），

∴P（X－μ≤－σ）＋P（－σ≤X－μ≤σ）＋P（X－μ≥σ）

＝0.6827＋2P（X－μ≥σ）＝1，

∴P（X－μ≥σ）≈0.1587，即P（X≥130）＝0.1587.

∴54×0.1587≈9（人），即130分以上的人数约为9人．

1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．

2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．

[再练一题]

3．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X（单位：

分）近似服从正态分布X～N（50,102），求他在（30,60]分内赶到火车站的概率．

【解】　∵X～N（50,102），∴μ＝50，σ＝10.

∴P（30

＝

P（μ－2σ

P（μ－σ

＝

×0.9545＋

×0.6827＝0.8186.

即他在（30,60]分内赶到火车站的概率是0.8186.

1．正态分布密度函数为φμ，σ（x）＝

e

，x∈（－∞，＋∞），则总体的平均数和标准差分别是（　　）

A．0和8　B．0和4　　

C．0和2　D．0和

【解析】　由条件可知μ＝0，σ＝2.

【答案】　C

2．设随机变量X～N（3,1），若P（X>4）＝p，则P（2

A.

＋p　　　　　　B．1－p

C．1－2pD.

－p

【解析】　由X～N（3,1）得μ＝3，所以P（3

－p，即P（2

【答案】　C

3．若随机变量X～N（μ，σ2），则P（X≤μ）＝________.

【解析】　由于随机变量X～N（μ，σ2），其正态密度曲线关于直线X＝μ对称，故P（X≤μ）＝

.

【答案】　

4．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X<4）＝0.84，则P（X≤0）＝________.

【导学号：

29472076】

【解析】　由X～N（2，σ2），可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P（X≤0）＝P（X≥4）＝1－P（X<4）＝1－0.84＝0.16.

【答案】　0.16

5．随机变量ξ服从正态分布N（0,1），如果P（ξ≤1）＝0.8413，求P（－1<ξ≤0）．

【解】　如图所示，因为P（ξ≤1）＝0.8413，所以P（ξ>1）＝1－0.8413＝0.1587，所以P（ξ≤－1）＝0.1587，所以P（－1<ξ≤0）＝0.5－0.1587＝0.3413.