0．9544.
[探究共研型]
正态分布的实际应用
探究1 若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N（4,0.25），那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？
【提示】 零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.
探究2 某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N（4,0.25），若零件的外直径在（3.5,4.5]内的为一等品．试问1000件这种的零件中约有多少件一等品？
【提示】 P（3.5<ε≤4.5）＝P（μ－σ<ε<μ＋σ）＝0.6827，所以1000件产品中大约有1000×0.6827≈683（件）一等品．
探究3 某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N（4，0.25）．质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？
【提示】 由于圆柱形零件的外直径ε～N（4,0.25），
由正态分布的特征可知，正态分布N（4,0.25）在区间（4－3×0.5,4＋3×0.5），
即（2.5,5.5）之外取值的概率只有0.003，而5.7∈（2.5,5.5）．
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．
设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N（110,202），且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格（即90分以上）的人数和130分以上的人数．
【精彩点拨】 将P（X≥90）转化为P（X－μ≥－σ），然后利用对称性及概率和为1，得到2P（X－μ≤－σ）＋0.6827＝1，进而求出P（X≥90）的值，同理可解得P（X≥130）的值．
【自主解答】 μ＝110，σ＝20，P（X≥90）＝P（X－110≥－20）＝P（X－μ≥－σ），
∵P（X－μ≤－σ）＋P（－σ≤X－μ≤σ）＋P（X－μ≥σ）
＝2P（X－μ≤－σ）＋0.6827＝1，
∴P（X－μ≤－σ）≈0.1587，
∴P（X≥90）＝1－P（X－μ≤－σ）＝1－0.1587≈0.8414.
∴54×0.8414≈45（人），即及格人数约为45人．
∵P（X≥130）＝P（X－110≥20）＝P（X－μ≥σ），
∴P（X－μ≤－σ）＋P（－σ≤X－μ≤σ）＋P（X－μ≥σ）
＝0.6827＋2P（X－μ≥σ）＝1，
∴P（X－μ≥σ）≈0.1587，即P（X≥130）＝0.1587.
∴54×0.1587≈9（人），即130分以上的人数约为9人．
1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．
2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
[再练一题]
3．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X（单位：
分）近似服从正态分布X～N（50,102），求他在（30,60]分内赶到火车站的概率．
【解】 ∵X～N（50,102），∴μ＝50，σ＝10.
∴P（30＝
P（μ－2σP（μ－σ＝
×0.9545＋
×0.6827＝0.8186.
即他在（30,60]分内赶到火车站的概率是0.8186.
1．正态分布密度函数为φμ，σ（x）＝
e
，x∈（－∞，＋∞），则总体的平均数和标准差分别是（ ）
A．0和8 B．0和4
C．0和2 D．0和
【解析】 由条件可知μ＝0，σ＝2.
【答案】 C
2．设随机变量X～N（3,1），若P（X>4）＝p，则P（2A.
＋p B．1－p
C．1－2pD.
－p
【解析】 由X～N（3,1）得μ＝3，所以P（3－p，即P（2【答案】 C
3．若随机变量X～N（μ，σ2），则P（X≤μ）＝________.
【解析】 由于随机变量X～N（μ，σ2），其正态密度曲线关于直线X＝μ对称，故P（X≤μ）＝
.
【答案】
4．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X<4）＝0.84，则P（X≤0）＝________.
【导学号：
29472076】
【解析】 由X～N（2，σ2），可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P（X≤0）＝P（X≥4）＝1－P（X<4）＝1－0.84＝0.16.
【答案】 0.16
5．随机变量ξ服从正态分布N（0,1），如果P（ξ≤1）＝0.8413，求P（－1<ξ≤0）．
【解】 如图所示，因为P（ξ≤1）＝0.8413，所以P（ξ>1）＝1－0.8413＝0.1587，所以P（ξ≤－1）＝0.1587，所以P（－1<ξ≤0）＝0.5－0.1587＝0.3413.
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