梅涅劳斯定理汇总.docx

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梅涅劳斯定理汇总

梅涅劳斯定理（Menelaus'theorem）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

它指出：

如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1。

或：

设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是（AZ/ZB）*（BX/XC）*（CY/YA）=1。

使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。

梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。

1.过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF

所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1

2.连结BF。

（AD：

DB）·（BE：

EC）·（CF:

FA）

=（S△ADF：

S△BDF）·（S△BEF：

S△CEF）·（S△BCF：

S△BAF）

=（S△ADF：

S△BDF）·（S△BDF：

S△CDF）·（S△CDF：

S△ADF）

=1

塞瓦定理

在△ABC内任取一点O，

直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则（BD/DC）*（CE/EA）*（AF/FB）=1

证法简介

（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）证明：

∵△ADC被直线BOE所截，

∴（DB/BC）*（CE/EA）*（AO/OD）=1①

∵△ABD被直线COF所截，

∴（BC/CD）*（AF/FB）*（DO/OA）=1②

②*①:

即得：

（DB/BC）*（CE/EA）*（AO/OD）*（BC/CD）*（AF/FB）*（DO/OA）=1

∴（DB/CD）*（CE/EA）*（AF/FB）=1

（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=（S△ABD-S△BOD）/（S△ACD-S△COD）=S△AOB/S△AOC③

同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，

根据塞瓦定理逆定理，因为（AD:

DB）*（BE:

EC）*（CF:

FA）=[（CD*cotA）/[（CD*cotB）]*[（AE*cotB）/（AE*cotC）]*[（BF*cotC）/[（BF*cotA）]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。

可用塞瓦定理证明的其他定理;

三角形三条中线交于一点（重心）:

如图5D,E分别为BC,AC中点所以BD=DCAE=EC所以BD/DC=1CE/EA=1

且因为AF=BF所以AF/FB必等于1，所以三角形三条中线交于一点，即为重心用塞瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点

此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：

在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。

于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。

（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）

定理的内容托勒密（Ptolemy）定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：

圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

西姆松定理说明　　有三角形ABC，平面上有一点P。

P在三角形三边上的投影（即由P到边上的垂足）共线（此线称为西姆松线,Simsonline）当且仅当P在三角形的外接圆上。

称三角形的垂心为H。

西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。

两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。

若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

　1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。

　　2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。

设⊿ABC在∠A内的旁切圆☉I1（r1）与AB的延长线切于点P1。

内切圆半径为r。

　　1、三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

　　2、旁心到三角形三边的距离相等。

　　3、三角形有三个旁切圆，三个旁心。

旁心一定在三角形外。

　　4、∠BI1C=90°-∠A/2.

　　5、AP1=r1·cot（A/2）=（a+b+c）/2.

　　6、∠AI1B=∠C/2.

　　7、S⊿ABC=r1（b+c-a）/2.

　　8、r1=rp（p-a）.

　　9、r1=（p-b）（p-c）/r.

　　10、1/r1+1/r2+1/r3=1/r.

　　11、r1=r/（tanB/2）（tanC/2）.

　　12、直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。

在一个三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。

即在ABC内求一点P，使PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”。

（1）若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角。

所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

（2）若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则取到最小值时E为费马点。

（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

　　莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：

三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。

他证明了在任意三角形中，以上四点共线。

欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

反三角函数是一种数学术语。

反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。

它是反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsinx；相应地，反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2<π反="反">余切函数y=arccotx的主值限在0<π>

反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。

其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了【arc+函数名】的形式表示反三角函数，而不是f-1（x）。

⑴正弦函数y=sinx在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。

arcsinx表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。

【图中红线】

⑵余弦函数y=cosx在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。

arccosx表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。

【图中蓝线】

⑶正切函数y=tanx在（-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。

arctanx表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。

【图中绿线】

注释：

【图的画法根据反函数的性质即：

反函数图像关于y=x对称】

反三角函数主要是三个：

y=arcsin（x），定义域[-1，1]，值域[-π/2，π/2]图象用深红色线条；

y=arccos（x），定义域[-1，1]，值域[0，π]，图象用深蓝色线条；

y=arctan（x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2），图象用浅绿色线条；

y=arccot（x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π），暂无图象；

sin（arcsinx）=x，定义域[-1，1]，值域[-1，1]arcsin（-x）=-arcsinx

证明方法如下：

设arcsin（x）=y，则sin（y）=x，将这两个式子代入上式即可得

其他几个用类似方法可得

cos（arccosx）=x，arccos（-x）=π-arccosx

tan（arctanx）=x，arctan（-x）=-arctanx

反三角函数其他公式：

cos（arcsinx）=（1-x^2）^0.5

arcsin（-x）=-arcsinx

arccos（-x）=π-arccosx

arctan（-x）=-arctanx

arccot（-x）=π-arccotx

arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin（arcsinx）=cos（arccosx）=tan（arctanx）=cot（arccotx）=x

arcsinx=x+x^3/（2*3）+（1*3）x^5/（2*4*5）+1*3*5（x^7）/（2*4*6*7）……+（2k+1）!

!

*x^（2k-1）/（2k!

!

*（2k+1））+……（|x|<1）!

！

表示双阶乘

arccosx=π-（x+x^3/（2*3）+（1*3）x^5/（2*4*5）+1*3*5（x^7）/（2*4*6*7）……）（|x|<1）

arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……

举例

当x∈[-π/2，π/2]有arcsin（sinx）=x

x∈[0，π]，arccos（cosx）=x

x∈（-π/2，π/2），arctan（tanx）=x

x∈（0，π），arccot（cotx）=x

x>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似

若（arctanx+arctany）∈（-π/2，π/2），则arctanx+arctany=arctan（（x+y）/（1-xy））

例如，arcsinχ表示角α，满足α∈[-π/2，π/2]且sinα=χ;arccos（-4/5）表示角β，满足β∈[0，π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ，满足φ∈（-π/2，π/2）且tanφ=2

假设平面上有一点P，有一圆O，其半径为R，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂；

　　可见圆外的点对圆的幂为正，圆内为负，圆上为0；

凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。

数论中的重要概念。

给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能被m整除，即m|（a-b），那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b（modm）。

对模m同余是整数的一个等价关系

复变函数

e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

[2]

欧拉公式e^ix=cosx+isinx的证明：

因为e^x=1+x/1！

+x^2/2！

+x^3/3!

+x^4/4!

+……

cosx=1-x^2/2!

+x^4/4!

-x^6/6!

……

sinx=x-x^3/3!

+x^5/5!

-x^7/7!

……

在e^x的展开式中把x换成±ix.

（±i）^2=-1,（±i）^3=∓i,（±i）^4=1……

e^±ix=1±ix/1!

-x^2/2!

∓ix^3/3!

+x^4/4!

……

=（1-x^2/2!

+……）±i（x-x^3/3!

……）

所以e^±ix=cosx±isinx

将公式里的x换成-x，得到：

e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：

sinx=（e^ix-e^-ix）/（2i），cosx=（e^ix+e^-ix）/2.这两个也叫做欧拉公式。

将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：

恒等式e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：

两个超越数：

自然对数的底e，圆周率π，两个单位：

虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。

数学家们评价它是“上帝创造的公式”

那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。

那么这里的π就是x，那么

e^iπ=cosπ+isinπ

=-1

那么e^iπ+1=0

这个公式实际上是前面公式的一个应用。

分式

　　分式里的欧拉公式：

　　a＾r/（a-b）（a-c）+b＾r/（b-c）（b-a）+c＾r/（c-a）（c-b）

　　当r=0,1时式子的值为0

　　当r=2时值为1

　　当r=3时值为a+b+c

三角公式

　　三角形中的欧拉公式：

　　设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

　　d＾2=R＾2-2Rr

拓扑学说

　　拓扑学里的欧拉公式：

拓扑学　　V+F-E=X（P），V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X（P）是多面体P的欧拉示性数。

　　如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X（P）=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X（P）=2-2h。

[3]

　　X（P）叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

初等数论

　　初等数论里的欧拉公式：

　　欧拉φ函数：

φ（n）是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。

n是一个正整数。

　　欧拉证明了下面这个式子：

　　如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj（j=1,2,……,m）都是素数，而且两两不等。

则有

　　φ（n）=n（1-1/p1）（1-1/p2）……（1-1/pm）

　　利用容斥原理可以证明它。

物理学

欧拉公式应用众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。

现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里：

F=fe^ka

其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。

　　此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。