福建省永春一中培元季延石光中学四校届高三上学期第二次联考数学文试题word版含答案.docx
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福建省永春一中培元季延石光中学四校届高三上学期第二次联考数学文试题word版含答案
永春一中培元中学
季延中学石光中学
2018届高三年毕业班第二次联合考试（文科数学）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题目要求.
1、已知集合，，则
A．B．C．D．
2、已知复数在复平面内对应点的分别为，则的共轭复数为
A．B．C．D．
3、执行如右图所示框图，若输出结果为31，则M处的条件为
A.B.C．D.
4、在等比数列中，，公比为，且，若
，则
A．B．C．D．
（第3题图）
5、已知抛物线的顶点在坐标原点上，焦点在轴上，上
的点到的距离为，则的方程为
A.B.C.D.
6、从中随机取出两个不同的数，则和为奇数的概率为
A．B．C．D．
7、右图是某几何体的三视图其中正（主）视图是腰长为的
等腰三角形，侧（左）视图是直径为的半圆，则该几何
体的体积为
（第7题图）
A．B．C．D．
8、已知函数的图象如右下图所示，则的解析式可以是
A．B．C．D．
9、下列关于函数的说法中，错误的是
A．的最小正周期为
B．的图象关于点对称
（第8题图）
C．的图象关于直线对称
D．的图象向右平移个单位后得到一个偶函数的图象
10、我们可以利用计算机随机模拟方法计算与所围成的区域的面积.先利用计算
机产生两个在区间内的均匀随机数，然后进行平移与伸缩变换
，已知试验进行了次，前次中落在所求面积区域内的样本点数为
，最后两次试验的随机数为及，则本次随机模拟得出
的面积的近似值为
A．B．C．D．
11、在三棱锥中，侧棱两两垂直，的面积分别为，则三棱锥的外接球的体积为
A．B．C．D．
12、定义在上的函数满足，且时，；时，
.令，则函数的零点个数为
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分.
13、已知向量，，且与共线，则的值为.
14、若实数满足的最大值和最小值分别和，则.
15、已知双曲线的左、右焦点分别为、，为的右支上一
点，直线与圆相切，且，则的离心率为.
16、已知数列满足，若对于任意的，不
等式恒成立，则实数k的取值范围为.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、（本小题满分12分）
已知的内角所对的边分别为，，
.
（Ⅰ）求角的大小及的值；
（Ⅱ）若，求的面积.
18、（本小题满分12分）
某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况
进行调查，在高三全体名学生中随机抽取了
名学生的体检表，并得到如图所示的频率分
布直方图．
年段名次
是否近视
前名
后名
近视
（表1）
不近视
（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，计
算高三全体学生视力在以下的人数，并估计
这名学生视力的中位数（精确到）；
（Ⅱ）学习小组发现，学习成绩突出的学生，
近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成
绩是否有关系，对高三全体成绩名次在前
名和后名的学生进行了调查，部分数据如
表1，根据表1及临界表2中的数据，能否在
犯错误的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（表2：
临界值表）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
（参考公式：
，其中）
19、（本小题满分12分）
如图，在多面体中，四边形均为
直角梯形，，四边形为平行四
边形，平面平面．
（Ⅰ）求证：
平面平面；
（Ⅱ）若是边长为的等边三角形，且异面直线
与所成的角为，求点到平面的距离．
20、（本小题满分12分）
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过点的直线与相交于不同的两点，满足？
若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
21、（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）设是函数的极值点，求证：
；
（Ⅱ）设是函数的极值点，且恒成立，求实数的取值范围．（其中正
常数满足）
选考题：
请在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分．
22、[选修4―4：
坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知三点，，．
（Ⅰ）求经过的圆的极坐标方程；
（Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为
（为参数），若圆与圆相外切，求实数的值．
23、[选修4―5：
不等式选讲]（本小题满分10分）
设函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ），，求实数的取值范围.
2018届高三年毕业班四校联合第二次考试（文科数学）参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
A
C
B
D
C
A
B
D
A
B
二、填空题：
13、；14、；15、；16、.
17、解：
（Ⅰ）由及正弦定理，得1分
由余弦定理得………………3分
又，则…………………………5分
由得
由，得
则…………………7分
（Ⅱ）由正弦定理得，又且
则…………………………8分
从而，又
所以……………………10分
故……………12分
18、（Ⅰ）由图表可知，第一组有人，第二组有人，第三
组有人，则后四组的人数为人……1分
因为后四组的频数成等差数列，所以后四组的频数依次为…2分
故样本中，高视力在以下的人数为人
由样本估计总体，估计高三全体学生视力在以下的人数为人4分
因为前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为，所以中位数在内…5分
法一：
估计这名学生视力的中位数为………7分
（法二：
设这名学生视力的中位数为，
则有，解得
估计这名学生视力的中位数为………………7分）
年段名次
是否近视
前名
后名
合计
近视
不近视
合计
（Ⅱ）由已知，的列联表如右表：
…………8分
则
……………………11分
故在犯错误的概率不超过的前提下没有把握认为视力与学习成绩有关系…12分
19、（Ⅰ）∵，∴，
又且交于点，∴平面……1分
又平面，∴……………………2分
又∵∥，∥，∴………………3分
又平面平面且交于，
∴平面………………………5分
又，∴平面平面……………6分
（Ⅱ）∵∥
∴为异面直线与所成的角，则………7分
中，，∴………8分
∵是边长为的等边三角形，
∴中，，∴，………9分
∵∥，，
∴∥平面
∴点到平面的距离即为点到平面的距离………10分
由（Ⅰ）可知平面，则为三棱锥的高
设点到平面的距离为
由，得
∴………………………12分
20、（Ⅰ）设椭圆的方程为
由得，则………………1分
所以的方程为且经过点
则，解得……………………3分
故椭圆的方程为……………………4分
（Ⅱ）假设存在符合题意的直线，
由题意直线存在斜率，设直线的方程为，
由，消去得6分
由得，解得7分
设，，则，…8分
由得……9分
则
即
所以
整理得，解得……………………11分
又，所以
故存在直线满足条件，其方程为，即……12分
21、（Ⅰ）证明：
因为是函数的极值点，所以，解得
经检验，符合题意
则，…………2分
当时，，，所以；
当时，，，所以
所以在上单调递减，在上单调递增………4分
所以，从而，即，所以6分
（Ⅱ），设，则
所以即在上单调递增……………7分
由于是函数的极值点，所以是在上的唯一零点
所以，则，即………8分
当时，；当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
从而函数在处取得最小值………………9分
所以
因为恒成立，所以
所以，即，也即…10分
令，则有
因为函数在单调递减，在上单调递增，
且当时，；当时，，所以
从而，，于是
所以，故的取值范围为…………12分
22、（Ⅰ）点，，对应的直角坐标分别为点，，
………………………………1分
则过的圆的直角坐标方程为………3分
又，代入整理得过的圆的极坐标方程为
……………………5分
（Ⅱ）的参数方程（为参数）对应的普通方程为，
………………………………7分
其圆心，半径
由（Ⅰ）可知圆的圆心，半径
由圆与圆相外切，得，则……9分
解得…………………………10分
23、（Ⅰ）不等式，即，即…2分
整理得，解得或………………3分
所以不等式的解集为或………………4分
（Ⅱ）………………6分
故的最大值为………………8分
因为，，即，
所以，即，
解得，所以实数的取值范围为………10分
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