直线和圆锥曲线常见题型优秀.docx
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直线和圆锥曲线常见题型优秀
直线和圆锥曲线经常考查的一些题型
直线和圆锥曲线经常考查的一些题型
直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：
无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．
直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关
系。
解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：
（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，
（2）联立直线和曲线的方程组；
（3）讨论类一元二次方程
（4）一元二次方程的判别式
（5）韦达定理，同类坐标变换
（6）同点纵横坐标变换
（7）x,y，k（斜率）的取值范围
（8）目标：
弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等
运用的知识：
1、中点坐标公式：
x
x1
x2
y
y1y2
，
B（x2
y2）的中
2
2
，其中x,y是点A（x1,y1）
点坐标。
2、弦长公式：
若点
，
y2）在直线y
kx
b（k
0）上，
A（x1,y1）B（x2
则y1
kx1
b，y2
kx2
b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
AB
（x1
x2）2
（y1
y2）2
（x1
x2）2
（kx1kx2）2
（1
k2）（x1
x2）2
（1
k2）[（x1
x2）2
4x1x2]
或者AB
（x1
x2）2
（y1
y2）2
（1x1
1x2）2
（y1
y2）2
（1
12）（y1y2）2
k
k
k
（1
12）[（y1
y2）2
4y1y2]。
k
3、两条直线l1:
y
k1x
b1,l2:
yk2xb2垂直：
则k1k2
1
两条直线垂直，则直线所在的向量v1v20
4、韦达定理：
若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个不同的根x1,x2，则
直线和圆锥曲线经常考查的一些题型
x1x2
b,x1x2
c。
a
a
常见的一些题型：
题型一：
数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题
、已知直线l:
y
kx1与椭圆
C:
x2
y2
始终有交点，求
m的取值范围
1
4
1
m
思路点拨：
直线方程的特点是过定点（
0，1），椭圆的特点是过定点（
-2，0）和（2，0），
和动点（0，
m）,且m
4。
解：
根据直线
l:
y
kx
1的方程可知，直线恒过定点（
x2
y2
0，1），椭圆C:
1过动
4
m
点（0，m）,且m
4，如果直线l:
y
kx
1和椭圆C:
x2
y2
1始终有交点，
则
4
m
m1，且m4，即1m且m4。
规律提示：
通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：
l:
y
kx
1
过定点（0，1）
l:
y
k（x
1）
过定点（1，0）
l:
y
2
k（x
1）
过定点（1，2）
证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。
练习：
1、过点P（3,2）
和抛物线yx2
3x2
只有一个公共点的直线有（
）条。
A．4B．3
C．2
D．1
分析：
作出抛物线y
x2
3x2，判断点
P（3,2）
相对抛物线的位置。
解：
抛物线yx23x2如图，点P（3，2）在抛物线的内部，
根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点
P（3,2）和抛物线yx23x2只有一个公共点的直线有一条。
故选择D
规律提示：
含焦点的区域为圆锥曲线的内部。
（这里可以用公司的设备画图）
一、过一定点P和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：
直线和圆锥曲线经常考查的一些题型
（1）若定点P在抛物线外，则过点
P和抛物线只有一个公共点的直线有
3条：
两条切线，
一条和对称轴平行或重合的直线；
（2）若定点P在抛物线上，则过点
P和抛物线只有一个公共点的直线有
2条：
一条切线，
一条和对称轴平行或重合的直线；
（3）若定点P在抛物线内，则过点
P和抛物线只有一个公共点的直线有
1条：
和抛物线的
对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。
二、过定点P和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：
（1）若定点P在双曲线内，则过点
P和双曲线只有一个公共点的直线有
2条：
和双曲线的
渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；
（2）若定点P在双曲线上，则过点
P和双曲线只有一个公共点的直线有
3条：
一条切线，2
条和渐近线平行的直线；
（3）若定点P在双曲线外且不在渐近线上，则过点
P和双曲线只有一个公共点的直线有4
条：
2条切线和2条和渐近线平行的直线；
（4）若定点P在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点
P和双曲线
只有一个公共点的直线有
2条：
一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；
（5）若定点P在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P和双曲线只有一个公共点的直线不存在。
题型二：
弦的垂直平分线问题
弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：
垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。
例题
2、过点
T（-1,0）
作直线
l与曲线
N：
y2
x交于
A、B两点，在
x轴上是否存在一点
E（
x0,0）
，使得
ABE是等边三角形，若存在，求出
x0；若不存在，请说明理由。
分析：
过点T（-1,0）的直线和曲线N：
y2x相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于
0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定
理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标，最后由正
三角形的性质：
中线长是边长的3倍。
运用弦长公式求弦长。
2
解：
依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线l:
y
k（x1），k0
，A（x1,y1），B（x2,y2）。
y
k（x
1）
由
2
x
消y整理，得
y
k2x2
（2k21）xk2
0
①
由直线和抛物线交于两点，得
直线和圆锥曲线经常考查的一些题型
（2k21）24k44k210
即0
k2
1
②
4
由韦达定理，得：
x1
x2
2k2
1,x1x21。
k2
则线段AB的中点为（
2k2
1
1
2k
2,
）。
2k
线段的垂直平分线方程为：
y
1
1（x
1
2k2）
2k
k
2k2
令y=0,得x0
1
1
，则E（
1
1,0）
2k2
2
2k2
2
ABE为正三角形，
E（
1
1,0）到直线AB的距离d为
3AB。
2k2
2
2
AB
（x1
x2）2
（y1
y2）2
1
4k2
1
k2
k2
d
1
k2
2k
3
1
4k2
1
k
2
1k2
2k2
2k
解得k
39
13
满足②式
此时x
5
。
0
3
思维规律：
直线过定点设直线的斜率
k，利用韦达定理法，将弦的中点用
k表示出来，再利
用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：
高是边长的
3倍，将k确定，进而求出
x0的坐标。
2
例题3、已知椭圆x2
y2
1的左焦点为F，O为坐标原点。
2
直线和圆锥曲线经常考查的一些题型
（Ⅰ）求过点O、F，并且与x2相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x
轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。
分析：
第一问求圆的方程，运用几何法：
圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离
等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段AB的垂直平分线的方程，就可以得到点G的坐标。
解：
（I）
∵a2=2，b2=1，∴c=1，F（-1
，0），l:
x=-2.
∵圆过点
O、F,∴圆心
M在直线
x=-
1上
2
设
M（-
1,t），则圆半径：
r=|（-
1）-（-2）|=
3
2
2
2
由|OM|=r，得（
1
）2
t23
，解得t=±
2，
2
2
∴所求圆的方程为（x+
1）2+（y±
2）2=9.
24
（II）由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,
设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
2
代入x+y2=1，整理得
2
（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0
∵直线AB过椭圆的左焦点F，
∴方程一定有两个不等实根,
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），
直线和圆锥曲线经常考查的一些题型
4k
2
则x1+x1=-
2
2k
1
x0
1（x1x2）
2k2
2
2k2
1
y0
k（x01）
k
2k2
1
∴
AB
垂直平分线
的方程为
NG
y
y0
1（x
x0）
k
令y=0，得
xCx0
ky0
2k2
k2
2k2
1
2k2
1
k2
1
1
2k2
1
2
4k2
2
∵k0,
1
0.
xc
2
1,0）。
∴点G横坐标的取值范围为（
2
k，利用韦达定理，将弦的中点用
k表示出来，韦达定
技巧提示：
直线过定点设直线的斜率
理就是同类坐标变换的技巧，
是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技
巧。
再利用垂直关系将弦
AB的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于
k的
函数）。
直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。
练习1：
已知椭圆C:
x
2
y
a
2
b
2
1（ab0）过点（1,3），且离心率e
1
2
。
2
2
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l:
ykxm（k0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直
平分线过定点G（1,0），求k的取值范围。
8
分析：
第一问中已知椭圆的离心率，可以得到a,b的关系式，再根据“过点（1,3）”得到
2
直线和圆锥曲线经常考查的一些题型
a,b的第2个关系式，解方程组，就可以解出a,b的值，确定椭圆方程。
第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出k,m的不等
式，再根据韦达定理，得出弦MN的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，
由中点坐标和定点G（
1,0），得垂直平分线的斜率，
有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为
8
-1，可得k,m的等式，用
k表示m再代入不等式，就可以求出
k的取值范围。
解：
（Ⅰ）
离心率
e
1
，
b2
1
1
3
，即
2
2
（1）；
2
a2
4
4
4b3a
又椭圆过点
3
1
9
2
2
（1,
），则
1
a4
，
b3
，椭圆方程为
a2
4b2
，
（1）式代入上式，解得
2
x2
y2
1。
4
3
（Ⅱ）设M（x1,y1）,N（x2,y2），弦MN的中点A（x0,y0）
y
kx
m
得：
（3
4k2）x2
8mkx
4m2
12
0，
由
4y
3x2
2
12
直线l:
y
kx
m（k
0）
与椭圆交于不同的两点，
64m2k2
4（3
4k2）（4m2
12）
0，即m2
4k2
3
（1）
由韦达定理得：
x1
x2
8mk
2,x1x2
4m2
122，
3
4k
3
4k
则x0
4mk
y0
kx0
m
4mk2
m
3
3m
，
3
4k2
3
4k2
4k2
3m
24m
直线AG的斜率为：
KAG
3
4k2
，
4mk
1
32mk
3
4k2
3
4k2
8
由直线AG和直线MN垂直可得：
24m
k
1，即m
3
4k2
，代入
（1）
32mk
3
4k
2
8k
式，可得（34k2
）2
4k2
3，即k2
1
，则k
5或k
5
。
8k
20
10
10
老师支招：
如果只说一条直线和椭圆相交，
没有说直线过点或没给出直线的斜率，
就直接设
直线的方程为：
y
kx
m，再和曲线联立，转化成一元二次方程，
就能找到解决问题的门
直线和圆锥曲线经常考查的一些题型
路。
本题解决过程中运用了两大解题技巧：
与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，
与点的纵、
横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。
解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、
灵活的
运用这两大解题技巧。
练习2、设F1、F2分别是椭圆x2
y2
1的左右焦点．是否存在过点
A（5,0）的直线l与椭
5
4
圆交于不同的两点
C、D，使得F2C
F2D？
若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明
理由．
分析：
由F2C
F2D得，点C、D关于过F2
的直线对称，由直线l过的定点A（5,0）
不在
x2y2
54
1的内部，可以设直线l的方程为：
yk（x5），联立方程组，得一元二次方
程，根据判别式，得出斜率
k的取值范围，
由韦达定理得弦
CD的中点M的坐标，由点M
和点F1的坐标，得斜率为
1
，解出k值，看是否在判别式的取值范围内。
k
A的直线的斜率存在，且不等于。
设直线
l的方
解：
假设存在直线满足题意，由题意知，过
程为：
y
k（x
5）,（k
0），C（x1,y1）、D（x2,y2），CD的中点M（x0,y0）。
由
yk（x5）
得：
2
2
2
2
，
4x2
5y2
（4
5k
）x
50kx
125k
20
0
20
又直线
l
与椭圆交于不同的两点
、，则
22
2
2
，即
CD
升级会员 