直线和圆锥曲线常见题型优秀.docx

1、直线和圆锥曲线常见题型优秀直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点 对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切直线和椭圆、 双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题， 可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立

2、直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换（7）x,y ， k( 斜率 ) 的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识：1、中点坐标公式：xx1x2,yy1 y2，B( x2, y2 ) 的中22，其中 x, y 是点 A(x1, y1 )点坐标。2、弦长公式：若点，, y2 ) 在直线 ykxb( k0) 上，A(x1, y1 ) B( x2则 y1kx1b， y2kx2b ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB(x1x2 )2( y1y2 )2( x1x2 )2(k

3、x1 kx2 )2(1k 2 )( x1x2 )2(1k 2 )( x1x2 ) 24x1x2 或者 AB( x1x2 )2( y1y2 )2( 1 x11 x2 ) 2( y1y2 ) 2(112 )( y1 y2 )2kkk(112 )( y1y2 )24 y1 y2 。k3、两条直线 l1 : yk1xb1 , l 2 : y k2 x b2 垂直：则 k1k21两条直线垂直，则直线所在的向量 v1 v2 04、韦达定理：若一元二次方程 ax2 bx c 0( a 0) 有两个不同的根 x1, x2 ，则直线和圆锥曲线经常考查的一些题型x1 x2b , x1 x2c 。aa常见的一些题型

4、：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题、已知直线 l : ykx 1与椭圆C :x2y2始终有交点，求m 的取值范围141m思路点拨：直线方程的特点是过定点（0， 1），椭圆的特点是过定点（-2 ，0）和（ 2，0），和动点（0，m ), 且 m4 。解：根据直线l : ykx1的方程可知，直线恒过定点（x2y20， 1），椭圆 C :1 过动4m点（0， m ), 且 m4 ， 如果直 线 l : ykx1 和椭 圆 C : x2y21 始终 有交点，则4mm 1，且 m 4 ，即 1 m且m 4 。规律提示： 通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：l : ykx1过定点（ 0

5、，1）l : yk( x1)过定点（ 1， 0）l : y2k( x1)过定点（ 1， 2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。练习： 1、过点 P(3,2)和抛物线 y x23x 2只有一个公共点的直线有（）条。A4B3C 2D 1分析：作出抛物线 yx23x 2 ，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。解：抛物线 y x 2 3x 2 如图，点 P（ 3，2）在抛物线的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点， 可知过点P(3,2) 和抛物线 y x 2 3x 2 只有一个公共点的直线有一条。故选择 D规律提示：含焦点的

6、区域为圆锥曲线的内部。 （这里可以用公司的设备画图）一、过一定点 P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：直线和圆锥曲线经常考查的一些题型（1）若定点 P 在抛物线外，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有3 条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点 P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2 条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点 P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1 条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。二、过定点 P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点 P 在双曲线内，则过

7、点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2 条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点 P 在双曲线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有3 条：一条切线， 2条和渐近线平行的直线；（3）若定点 P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有4条： 2 条切线和 2 条和渐近线平行的直线；（4）若定点 P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2 条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（ 5）若定点 P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点 P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在。题型

8、二：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维， 首先弄清楚哪个是弦， 哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为 -1 ）和平分（中点坐标公式） 。例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：y2x 交于A、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(x0 ,0)，使得ABE 是等边三角形，若存在，求出x0 ；若不存在，请说明理由。分析：过点 T(-1,0) 的直线和曲线 N ： y2 x 相交 A、B 两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程

9、，得出 E 点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的 3 倍。运用弦长公式求弦长。2解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。设直线 l : yk (x 1) ， k 0， A(x1, y1 ) ， B( x2, y2 ) 。yk( x1)由2x消 y 整理，得yk 2 x2(2 k 2 1) x k 20由直线和抛物线交于两点，得直线和圆锥曲线经常考查的一些题型(2k2 1)2 4k 4 4k 2 1 0即 0k214由韦达定理，得：x1x22k 21 , x1 x2 1 。k 2则线段 AB的中点为 (2k 2112k2 ,) 。2k线段的垂直平分线方程为：y11 ( x12k 2

10、)2kk2k 2令 y=0, 得 x011，则 E(11 ,0)2k222k22ABE 为正三角形，E (11 ,0) 到直线 AB的距离 d 为3AB。2k 222AB( x1x2 )2( y1y2 )214k21k 2k 2d1k 22 k314k 21k21 k 22k 22 k解得 k3913满足式此时 x5。03思维规律： 直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的3 倍，将 k 确定，进而求出x0 的坐标。2例题 3、已知椭圆 x2y 21 的左焦点为 F， O为

11、坐标原点。2直线和圆锥曲线经常考查的一些题型（）求过点 O、F，并且与 x 2 相切的圆的方程；（）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x轴交于点 G，求点 G横坐标的取值范围。分析： 第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和 x 轴相交，则弦的斜率存在，且不等于 0，设出弦 AB所在的直线的方程， 运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦 AB的方程求出中点的总坐标，再有弦 AB的斜率，得到线段 AB的垂直平分线的方程，就可以得到点 G的坐标。解： (I)a2

12、=2， b2=1， c=1， F(-1， 0) ， l:x=-2.圆过点O、 F, 圆心M在直线x=-1 上2设M(-1 ,t ) ，则圆半径：r=|(-1 )-(-2)|=3222由|OM|=r ，得 (1) 2t 23，解得 t= 2 ，22所求圆的方程为 (x+1 ) 2+(y 2)2=9.2 4(II) 由题意可知，直线 AB的斜率存在，且不等于 0,设直线 AB的方程为 y=k(x+1)(k 0) ，2代入 x +y2=1，整理得2(1+2k 2)x 2+4k2x+2k2-2=0直线 AB过椭圆的左焦点 F，方程一定有两个不等实根 ,设 A(x 1， y1) ， B(x2， y2)

13、， AB中点 N(x 0，y0) ，直线和圆锥曲线经常考查的一些题型4k2则 x1+x1=-2,2k1x01 (x1 x2 )2k 2,22k 21y0k (x0 1)k2k 21AB垂直平分线的方程为NGyy01 ( xx0 )k令 y=0，得xC x0ky02k 2k 22k 212k 21k2112k 2124k 22 k 0,10.xc21 ,0）。点 G横坐标的取值范围为（2k，利用韦达定理，将弦的中点用k 表示出来，韦达定技巧提示 ：直线过定点设直线的斜率理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。再利用垂直关系将弦AB 的垂直平分线方程写出

14、来，就求出了横截距的坐标（关于k 的函数）。直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。练习 1：已知椭圆 C : x2ya2b21(a b 0) 过点 (1, 3 ) ，且离心率 e12。22（）求椭圆方程；（）若直线 l : y kx m(k 0) 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ，且线段 MN 的垂直平分线过定点 G ( 1 ,0) ，求 k 的取值范围。8分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到 a, b的关系式，再根据“ 过点 (1, 3 ) ”得到2直线和圆锥曲线经常考查的一些题型a, b 的第 2 个关系式，解方程组，就可以解出 a, b的值，确定椭圆方程。第二问，设出

15、交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出 k, m 的不等式，再根据韦达定理， 得出弦 MN的中点的横坐标， 利用弦的直线方程， 得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点 G(1 ,0) ，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为8-1 ，可得 k, m 的等式，用k 表示 m再代入不等式，就可以求出k 的取值范围。解：（）离心率e1，b2113，即22 （1）；2a2444b 3a又椭圆过点31922(1,) ，则1a 4，b 3，椭圆方程为a24b2，（1）式代入上式，解得2x2y21。43（）设 M ( x1 , y1), N ( x2 , y2 ) ，弦 MN的

16、中点 A (x0 , y0 )ykxm得： (34k 2 ) x28mkx4m2120 ，由4 y3x2212直线 l : ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点，64m2k 24(34k 2 )(4m212)0 ，即 m24k23 （ 1）由韦达定理得：x1x28mk2 , x1 x24m2122 ，34k34k则 x04mk, y0kx0m4mk 2m33m，34k234k24k 23m24m直线 AG的斜率为： K AG34k 2，4mk132mk34k 234k 28由直线 AG和直线 MN垂直可得：24mk1 ，即 m34k 2，代入（ 1）32mk34k28k式，可得 ( 3 4k

17、2) 24k 23 ，即 k 21，则 k5 或 k5。8k201010老师支招 ：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：ykxm ，再和曲线联立， 转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门直线和圆锥曲线经常考查的一些题型路。本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。练习 2、设 F 1 、 F 2 分别是椭圆 x2y21 的左右焦点是否存在过点A ( 5 , 0) 的直线 l 与椭54圆交于不同的两点C、D，使得

18、 F 2CF 2 D ？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由分析：由 F2CF 2D 得，点 C、D关于过 F 2的直线对称， 由直线 l 过的定点 A(5,0)不在x2 y25 41 的内部，可以设直线 l 的方程为：y k( x 5) ，联立方程组，得一元二次方程，根据判别式，得出斜率k 的取值范围，由韦达定理得弦CD的中点 M的坐标，由点 M和点 F1 的坐标，得斜率为1，解出 k 值，看是否在判别式的取值范围内。kA 的直线的斜率存在，且不等于。设直线l 的方解：假设存在直线满足题意，由题意知，过程为： yk( x5),( k0) ， C( x1 , y1 ) 、 D(x2 , y2 ) ，CD的中点 M(x0 , y0 ) 。由y k( x 5)得：2222，4 x25 y2(45k)x50k x125k20020又直线l与椭圆交于不同的两点、 ，则2 222，即C D