数列通项数列前n项和的求法例题+练习.docx
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数列通项数列前n项和的求法例题+练习
通项公式和前n项和
、新课讲授:
求数列前N项和的方法
1.公式法
（1）等差数列前n项和:
式在很多时候可以简化运算。
（2）等比数列前n项和:
q=1时，Snna〔
引1q
q1，Sn，特别要注意对公比的讨论。
1q
（3）其他公式较常见公式:
仁Sn
S（n1）
2
Sn
n
k2
k1
1
-n（n1）（2n1）
6
3、Sn
n
k3
k1
12
［尹n1）］
［例1］
已知log3x
log23
—，求
x2x3
的前n项和.
［例2］设S=1+2+3+…+n,n€N,求f（n）
Sn
（n
32）Sn1
的最大值.
2•错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前
n项和公式时所用的方法，
这种方法主要用于求数列
{an•
bn}
的前n项和，其中｛an｝、｛bn｝分别是等差数列和等比数列.
［例3］求和：
Sn13x5x2
7x3（2n1）xn1•…
①
［例4］求数列2,42,63,,2n,
2222
前n项的和.
练习:
答案：
2
当x=1时，S=1+5+9++（4n-3）=2n-n
当x工1时，Sn=士［晋"）+1-（4n-3）xn］
3.倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它
与原数列相加，就可以得到n个（a1an）.
22222
［例5］求sin1sin2sin3sin88sin89的值
4.分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可
111
［例6］求数列的前n项和：
11,_7,，-3n2，…
'a'a2''an
1111
练习：
求数列1~-2，3，?
?
?
，（nn），?
?
?
的前n项和。
2482
5.
裂项法求和
-^（tan89tan0）=cot1=
sin1sin1sin1
原等式成立
1丄丄丄
练习：
求3153563之和。
6.合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求s.
[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+•…+cos178°+cos179°的值.
［例14］在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.
7.利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
［例15］求1111111111之和.
n个1
练习：
求5,55,555,…，的前n项和。
以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能
进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只
要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。
求数列通项公式的八种方法
、公式法（定义法）
根据等差数列、等比数列的定义求通项
、累加、累乘法
1、累加法适用于：
an1anf（n）
a2aif
（1）
若anianf（n）（n2），则
a3a2f⑵
III111
an1anf（n）
n
两边分别相加得an1a1f（n）
k1
例1已知数列｛a*｝满足an1an2n1，a1
1，求数列｛an｝的通项公式。
解：
由an1an2n1得an1an
2n1则
an（anan1）（an1an2）（a3a2）（a2a1）a1
[2（n1）1][2（n2）1]（221）（211）1
2[（n1）（n2）21]（n1）1
2（^n（n1）1
2
（n1）（n1）1
2
n
所以数列｛an｝的通项公式为ann2。
例2已知数列｛an｝满足an1an23n1，印
3，求数列｛an｝的通项公式。
解法一：
由an1an23n1得an1an23n1则
（ana
n1）
（an1
an
2）
（a3
a?
）
（a2a1）a1
（23n
11）
（2
3n2
1）
（2
32
1）（2311）3
2（3n1
3n2
III
32
31）（n
1）
3
3（1
3n1）
1）
3
2
（n
1
3
3n3
n1
3
a
n
所以an3nn1.
解法二：
an
3an
23n
1两边除以3n
an1
得盯
a
3n
则色1
3n
an2
n
33
an
3
an
an1）
1
an
因此
则an
（3
2（n
（I
（an1
an1
丄）
才1）
1
an2）尹丿
（an2
（尹
an3）
3
1_
3n1
丄）
1
2
3n
III（3
32）
III
a_
3n
2（n
3
1）
2、累乘法
3n1）
2n
3
32）3
1
23n，
n3n
3n
适用于:
an
f（n）an
若乳f（n）,则鱼
ana1
两边分别相乘得，旦口
a1
例3已知数列｛an｝满足an1
f
（1）,-f
（2）,||||
a2
n
a1f（k）
k1
2（n1）5nan，印
an1
an
f（n）
3，求数列｛an｝的通项公式。
解：
因为an12（n1）5nan，a1
3，所以an
0,则也
an
2（n1）5n，故
aian1HIa3a2
ana1
an1an2a?
[2（n11）5n1][2（n21）5n2]2n1[n（n1）32]5（n
n（n1）
32n15^n!
1）（n2）
II
[2（21）52][2（11）51]3
213
所以数列｛an｝的通项公式为an
n（n1）
15
2n!
.
三、待定系数法适用于an1qan
f（n）
分析：
通过凑配可转化为an11f（n）2[an/（n）]；
解题基本步骤：
1、确定f（n）
2、设等比数列an1f（n），公比为2
3、列出关系式an11f（n）2[an1f（n）]
4、比较系数求1，2
5、解得数列an1f（n）的通项公式
6、解得数列an的通项公式
例4已知数列｛an｝中，a11,an2a.11（n2），求数列a.的通项公式。
解法一：
;an2an11（n2）,
an12（an11）
又;a112,an1是首项为2,公比为2的等比数列
an12n，即an2n1解法二：
;an2an11（n2）,
an1
2an1
两式相减得an1an2Gani）（n2），故数列a.ia.是首项为2,公比为2的等比
数列，再用累加法的
例5已知数列｛务｝满足a.i2an43,印1，求数列an的通项公式。
解法一：
设an113n2（an3n1），比较系数得14,22，
则数列an43n1是首项为a143115，公比为2的等比数列,
n1n1n1n1
所以an4352，即an4352
解法二：
两边同时除以3n1得：
%2牛号，下面解法略
3n133n32
注意：
例6
已知数列
｛an｝满足an1
2an
解：
设an1
x（n1）
2y（n
1）z
2（an
比较系数得
x3,y
10,z
18，
所以an1
3（n1）2
10（n
1）18
2（an
由a131
2101
181
3132
0，
2
3n4n5，a11，求数列｛an｝的通项公式。
2、
xnynz）
3n210n18）
2
得an3n210n180
则需3（n1）210（n1）18
、an3n210n18
a131210118131
32为首项，以2为公比的等比数列，因此
n42
23n10n18。
2n1
an3n10n18322，则an
注意：
形如an2
pan1qan时将an作为f（n）求解
分析：
原递推式可化为
an2an1（p）（an1an）的形式，比较系数可求得
，数列
an1an为等比数列。
解：
设an2an1（5）（anian）
n1n1n1
an12an43，所以an4352
四、迭代法
3（n2）2n332（n1）n2（n2）（n°
[an3]
33（n2）（n1）n2（n3）（n2）（n°
an3
Hl
3n123（n2）（n1）n21^1（n3）（n2）（n°a1
n（n1）
3n1n!
22
a1
n（n1）
3n1n!
2~2~又a15，所以数列｛an｝的通项公式为an5
注：
本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
五、变性转化法
1、对数变换法适用于指数关系的递推公式
例9已知数列｛an｝满足an123na：
，@7，求数列｛an｝的通项公式。
n5
解：
因为an123an，a17，所以an0,an10。
设Iganix（n1）y5（lga.xny）（同类型四）比较系数得，x—y——
4'164
由lg&四i也/|g7iS3iJS3o,得|ganiS^n妙丛0,
416441644164
所以数列｛Igan也3n—皆｝是以lg7———为首项，以5为公比的等比数列，
4
164
4164
则lgan
lg3
lg3n
lg2（lg7
lg3
lg3
lg2）5n1，因此
4
16
4
4
16
4
lgan
（lg7
lg3
lg3lg2）5n1
lg3
nlg3lg2
4
164
4
6
4
11
1
n1
1
[lg（7
343花
24）]5n1lg（3
p
2刁）
11
1n
n1
1
1
lg（7343162刁产lg（343162刁）
5n4n15n11
lg（75n13162^）
5n4n15n11
n1
则an7531624。
2、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
1，求数列｛an｝的通项公式。
2a
例10已知数列｛an｝满足an1n,4
an2
解：
求倒数得
an1
1丄
2an
an1
an
2'
an1
111
—为等差数列，首项—1，公差为一，
ana12
1（n1），an
3、换元法适用于含根式的递推关系
例11已知数列｛an｝满足an1
丄（14an..124an），61，求数列｛an｝的通项公式。
解：
令bn124an，则an丄（bf1）
24命
1）
-6[1
24
16
即4b；1
（bn
3）2
因为bn
1
吗
则2bn1
bn
3，即
可化为bn
13
所以｛bn
3｝是以b
0,
1
3）,
n
4£（b：
1）bn]
bn
bn3
13
2bn2，
3,.r~24a3•厂24一132为首项,
丄为公比的等比数列，因此
2
n1
11_
（2）n2，则bn（-）n23，即...1
24an
3，得
an2
（1）n
（1）n1。
3423
加以证明。
解：
由an1an—°-及a18，得
2
（2n1）1
（2n1）2
（2n1）（2n3）9
8（11）
882
24
2
1
（2
1
2
1）（21
3）2
99
25
25
a3
a2
8（21）
24
8
3
48
（2
2
2
1）（22
3）2
25
25
49
49
a4
a3
8（31）
48
8
4
80
（2
3
1）2（23
3）2
49
49
81
81
由此可猜测an
F面用数学归纳法证明这个结论。
（1）当n1时，q
2
（21J1
（211）2
8，所以等式成立。
9
（2）假设当nk时等式成立，即ak
（2k1）21
（2k1）2
，则当n
k1时,
aa8（k1）
ak1ak22
（2k1）（2k3）
[（2k1）21]（2k3）28（k1）
（2k1）2（2k3）2
（2k1）2（2k3）2（2k1）2（2k1）2（2k3）2
（2k3）21
（2k3）2
2
[2（k1）1]1
[2（k1）1]2
由此可知，当nk1时等式也成立。
根据
（1）,
（2）可知，等式对任何nN*都成立。
七、阶差法
1、递推公式中既有Sn，又有an
方法求解。
且a2,a4,a9成等
1
例13已知数列｛an｝的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn（3n1）（%2）
6
比数列，求数列｛an｝的通项公式。
解：
•••对任意
n
N有Sn
（an
6
1）（an
2）
⑴
•••当n=1时，
1/a1
6
1）（a1
2）,
解得a1
1或ai2
当n》2时，
Sn1
~（an1
1）（an1
2）
⑵
6
T｛an｝各项均为正数，•••anan13
当a11时，an3n2，
此时a4
a?
a9成立
当a1
2时，an3n1，
2、
此时a4玄2玄9不成立，故
ai
2舍去
所以an3n2
2、对无穷递推数列
例14已知数列｛an｝满足
ai
1，anai2a2
3a3
III
（n
1）ani（n2），求｛an｝的通项公式。
解：
因为an
ai2a?
3a3
|||（n1）ani（n
2）
所以an1a12a2
3a3HI
（ni）ani
nan
用②式—①式得an1annan.
则an1
（ni）an（n2）
故加
an
ni（n2）
所以an
虫也生a2
an1an211a2
[n（n1）
III4
3]a2
n!
严.
由an
ai2a23a3川（n
i）ani（n
2），取n
2得a2
ai2a2，则a2ai，又知ai1，
则a2
1，代入③得an
n!
。
2
所以,
｛an｝的通项公式为
八、不动点法
不动点的定义：
函数
f（x）的定义域为
D，若存在
f（x）Xo
D，使f（Xo）Xo成立，则称Xo为
f（X）的不动点或称（Xo,f（Xo））为函数f（X）的不动点。
分析：
由f（X）X求出不动点Xo，在递推公式两边同时减去
Xo，在变形求解。
类型一：
形如an1qand
例15已知数列｛an｝中，a
1,an2an11（n2），求数列a.的通项公式。
解：
递推关系是对应得递归函数为
f（x）2x1，由f（x）x得，不动点为-1
…an112（a.
1），
类型二：
形如an
aanb
cand
分析：
递归函数为
f（x）空
（1）若有两个相异的不动点
p,q
时，将递归关系式两边分别减去不动点
p,q，再将两式相除得
pc•c（aqpq）kn1（6Ppq）
，••an.1
aqc⑻p）k（aq）
若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得
1
an1p
k，其中k
anp
2c
ad
21a24
例16已知数列｛an｝满足an1
2-^——,a14，求数列｛an｝的通项公式。
4an1
21x2421x24
解：
令x，得4x220x240,则X12,X23是函数f（x）的两个不动
4x14x1
点。
因为
2他24o
an12
an13
4an
121an
24
2（4an
1）
13an
9an
26
27
13an
9an
2
3
a
。
所以数列-
an
2
3
是以
21an
4an
24321an
1
24
3（4an
1）
a124
2
13
2为首项，以13
为公比的等比数列，
故弘
2
2（珂
1
则an1
3。
a-i34
3
9
an
3
9
2（打
9
11
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