当a=1,x≠1,此时x2–(a+1)x+a<0成立.
【说明】在正比例函数f(x)中,有方程
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)(Ⅰ)
设其反函数为f–1(x),则y1=f(x1),y2=f(x2),x1=f–1(y1),x2=f–1(y2)
对式(Ⅰ)两边取反函数,则有
f–1[f(x1+x2)]=f–1[f(x1)+f(x2)]
x1+x2=f–1(y1+y2)
f–1(y1+y2)=f–1(y1)+f–1(y2)(Ⅱ)
式(Ⅱ)表明,f–1(x)也是正比例函数.
六、抽象函数的常见题型
函数的解析式与函数的方程式在解题上比优劣,前者最大的优势是求自变量对应的函数值,而在研究函数的性质方面,有时还不如方程式简便.
函数的性质有单调性、奇偶性、对称性、周期性等.
有关抽象函数的“方程题型”,往往是函数的“性质题型”.
抽象函数因其没有解析式,其性质以方程(或不等式)给出而成为解题依据.
在解选择题或填空题时,可以赋值为特殊函数,借助常见函数来求解
【题6】设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
A.f(x)f(–x)是奇函数B.f(x)|f(–x)|是奇函数
C.f(x)–f(–x)是偶函数D.f(x)+f(–x)是偶函数
【解析】A中,F(x)=f(x)f(–x),则F(–x)=f(–x)f(x)=F(x),
即函数F(x)=f(x)f(–x)为偶函数。
B中,F(x)=f(x)|f(–x)|,F(–x)=f(–x)|f(x)|
此时F(x)与F(–x)的关系不能确定,即函数F(x)=f(x)|f(–x)|的奇偶性不确定,
C中,F(x)=f(x)–f(–x),F(–x)=f(–x)–f(x),
即函数F(x)=f(x)–f(–x)为奇函数,
D中,F(x)=f(x)+f(–x),F(–x)=f(–x)+f(x)=F(x),
即函数F(x)=f(x)+f(–x)为偶函数,故选D.
【点评】上述解法为直接法,直接利用奇偶函数的性质进行判断.如用淘汰法,在任意函数中取f(x)=1和f(x)=x,则迅速排除A、B、C三支,答案为D.
【题7】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=–f(x),则f(6)的值为
A.–1B.0C.1D.2
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(x+4)=–f(x+2)=f(x)
故函数f(x)的周期为4,所以f(6)=f
(2)=–f(0)=0,故选B.
【说明】下面图像分别表示的函数f1(x)、f2(x)是题设条件所给的函数集合中简单的两个具体函数.
f1(x)
f2(x)
如果在题设中再增添条件,则抽象函数“走向具体”.若增加的条件为:
f(x)在区间[1,2]上递增,则得f(x)的一个函数子集,函数f1(x)为其中1“元”,正弦函数f(x)=sin
也是其中1“元”.
若增加的条件为:
f(x)在区间[1,2]递减,则得f(x)的另一个函数子集,函数f2(x)为其中1“元”,正弦函数f(x)=–sin
也是其中1“元”.
【归纳】总结抽象函数的方程模型
(1)对称函数的模型为f(x+a)=f(b–x),其对称轴为x=
(2)周期函数的模型为f(x+a)=f(x+b),其周期为T=|a–b|
七、抽象函数的常见错误
如果抽象函数是一个函数集合,那么解抽象函数时常犯的错误有:
(1)把元素或子集的个性当成了集合的共性;
(2)反过来,对集合隐藏的共性不能按需要在解题中进行充分挖掘.特别是当抽象函数的性质用函数方程组表示时,容易忽略“组中”各方程中变量的任意性而产生的“互动”.
【例8】奇函数f(x)定义在R上,且对常数T>0,恒有f(x+T)=f(x),则在区间[0,2T]上,方程f(x)=0根的个数最小值为
A.3个B.4个C.5个D.6个
【分析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的“交”:
解题时要想把抽象性质“用足”,不仅要充分利用各个函数方程((Ⅰ)和(Ⅱ)),还要充分利用方程(Ⅰ)和(Ⅱ)的互动.
【错解】A..因为f(x)是R上的奇函数,先由方程(Ⅰ)得
f(0)=0
x1=0
再由方程(Ⅱ)得
f(2T)=f(T)=f(0)=0
x2=T,x3=2T.
即在区间[0,2T]上,方程f(x)=0根的个数最小值为3个(0,T,2T).
【正解】C.由方程(Ⅰ)得f(0)=0
x1=0
再由方程(Ⅱ)得
f(2T)=f(T)=f(0)=0
x2=T,x3=2T.
又因为
令x=0得
①
又
②
联立①,②得
x4
再由(Ⅱ)得
【点评】方程f(x)=0根x4和x5的求得,是充分地利用了函数方程(Ⅰ)和(Ⅱ)的互动.
错解中漏掉x4和x5的原因是,孤立地考虑了奇函数,把“起始根”只定在x1=0上.正解中,在周期性的互动下,找到了另一个“起始根”x4.
【说明】定义在R上、周期为T的奇函数f(x),在区间
上有3个零点
.如正弦函数f(x)=sinx的周期为2π,它在区间[–π,π]上有3个零点
(–π,0,π).
八、抽象函数命题人也出错误
抽象函数,曾出现过高考大错题.命题人出错,也出现在“奇函数——周期函数”的零点问题上.
【例9】f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f
(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是
A.2B.3C.4D.5
【说明】这是2005年福建卷(理)第12题,命题组提供的答案是D,即答案为5.
答案D从何而来?
以下是“D”的一种解法.
【错解】f(x)周期为3,由f
(2)=0,得f(5)=f
(2)=0,得
f(-1)=f(2-3)=f
(2)=0,得f(-4)=f(2-6)=f
(2)=0
f(x)为奇函数,得f
(1)=-f(-1)=0f(4)=-f(-4)=0,得
f(-0)=-f(0),得f(0)=0f(3)=f(3+0)=f(0)=0
于是,求得f(x)=0的解为:
1、2、3、4、5.共5个解,答案为D.
【正解】除了上述解法得f(x)=0的5个解外,还有如下的解.
根据方程f(x)=0的定义,x=1.5和x=4.5也是方程的解,证明如下:
由f(x)的周期性,知f(-1.5)=f(1.5)
(1)
由f(x)的奇偶性,知f(-1.5)=-f(1.5)
(2)
从而有f(1.5)=0,f(4.5)=f(1.5)=0.
所以,1.5和4.5也是方程f(x)=0的解.于是,方程的解共有7个:
即是1、1.5、2、3、4、4.5、5.
【结论】按上面讨论的结果,方程f(x)=0的解至少有7个.而原题的四个选项支中均没有这个答案.命题人给定的答案D是错的.
【实例】f(x)同时满足4个条件:
(1)定义在R上;
(2)奇函数;(3)周期为3;(4)f
(2)=0.据此,我们找到f(x)的一个解析函数具体例子:
并在区间(0,6)上找到f(x)=0的7个解,列表如下:
这7个解即是1,1.5,2,3,4,4.5,5.
函数
在一个周期[0,3]上的图像如下.图像与x轴有5个交点,故在[0,6]有9个交点,从而在(0,6)上有7个交点.
【反思】命题人的错误自然出在疏忽二字上.实在地,本题较难,首先难倒了命题人自己.
严格地讲,试题“超纲”.对两个周期函数的和函数,其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明,对某些具体函数可以具体分析,但对抽象函数来讲,却没有理论依据.而本题,又恰恰是个抽象函数,而且是个综合问题.命题出错似乎是必然的.