1、题目天津卷在R上定义的函数fx是偶函数且fx题根研究 抽象函数性质寻根一、抽象函数 考场有约如果把用解析式定义的函数称为“具体函数”,那么,不用解析式而直接用性质定义的函数则可称为“抽象函数”. 抽象函数在近年的考卷中频频出现,如2007年天津卷第7题就是抽象函数的例子.【例1】 在R上定义的函数f (x)是偶函数,且f (x) = f (2 x),若f (x)在区间1,2上是减函数,则f (x)A.在区间2,1上是增函数,在区间3,4上是增函数B.在区间2,1上是增函数,在区间3,4上是减函数C.在区间2,1上是减函数,在区间3,4上是增函数D.在区间2,1上是减函数,在区间3,4上是减函数
2、【分析】 习惯于用具体解析式研究函数性质的人,对用抽象定义的函数往往感到不习惯. 其实直接用抽象函数来解决函数问题,有时比用解析式还方便. 本题就是这样的例子. 【解答】 B 由函数是偶函数知函数的图像关于y轴对称,函数在区间2,1的单调性与在区间1,2的单调性相反,为增函数;由 f (x) = f (2 x)知函数的图像关于直线x =1对称,故函数在区间3,4上的单调性与在区间2,1上的单调性相反,为减函数,所以选B.【点评】 本题以抽象函数为载体考查了函数图像和函数的性质. 抽象函数的解法通常采用“形象法”画图. 按给出的性质画出符合性质的最简略图. 如本题所画的略图如下直线段示图它符合题
3、目给出的3条性质.【互动】 抽象与形象互动. 从函数略图上形象看到,这个函数是个周期函数,用函数的抽象性质证明如下:由f (x) = f (2 x)和f ( x) = f (x)可以推得 f (x) = f (2 + x),由此可知f (x) 是一个周期为2的周期函数的.从形象上还可看到,函数有无穷条对称轴x = m (mZ). 因为x = 0和x = 1是它的对称轴,又函数的周期为2,故x = m都是它的对称轴. 证明从略。【注意】 对称性问题,要弄清:是一个函数本身的对称,还是两个函数的对称. 如由f (a +x) = f ( b x)得函数f (x)的图像关于直线对称,而函数y = f
4、( a + x)与y = f ( b x)的图像关于直线对称.二、抽象函数 函数集合用性质定义的抽象函数,它往往不是一个具体的函数,有时符合性质的函数是一类函数,或者说是一类函数的集合. 如例1,符合给定的3条性质的函数除了简图中线段表示的函数外,还有没有其他的函数也含有这3条性质我们继续研究例1.【例2】 在R上定义的函数f (x)是偶函数,且f (x) = f (2 x),若f (x)在区间1,2上是减函数,则函数f (x)可能是:A. sinx B. sinx C. cosx D. cosx 【解答】 D 这4个函数的周期都是2. 符合“偶函数”条件的只有C和D. 而在区间1,2上递减的
5、只有D. 故答案为D. 图像如下【探究】 例1中的函数f (x),除了上述两图像表示的具体函数以外,还有没有其他的函数呢?显然,这个函数集合中的“元素”多到无穷. 如以下解析式表示的函数都是: f (x) = A cosx + m,其中A为正数,m为任意实数.那么,这里的f (x)到底是个什么函数呢?请不要老是往统一的解析式上寻找. 它是一个函数集合,我们可以用集合的描述法表示如下:A = f (x) | f (x)是R上偶函数,f (x) = f (2 x),f (x)在区间1,2上递减像这样的抽象函数还有:B = f (x) | f ( x )= f (x)是偶函数的集合;C = f (x
6、) | f ( x )= f (x)是奇函数的集合;D = f (x) | f ( x+y) = f ( x) + f (y)是正比例函数的集合;E = f (x) |= 是一次函数的集合,等等.对这些抽象函数(集合),随着其他条件(性质)的添加,则抽象函数逐步提出它们的“子集”或“元素”. 如在D中,限制条件f (1)= 2,则得到此集合中的一个“元素”:f (x) = 2 x.三、抽象函数 用方程定义在7大数学思想中,人们把“函数方程思想”放在首位,函数与方程本来就是一对孪生兄弟. 函数的解析式 y = f (x)可视二元方程F (x,y) = 0;反之,对二元方程F (x,y),也可把y
7、视作x的函数. 因此,函数不仅可用解析式定义,还可用方程或不等式定义.【例3】 已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f (m+n) = f (m)f (n),且当x0时0 f (x)1,()求f (0)的值;求f (1) = a的取值范()求证 当x1 f (x)是R上的减函数()设A=(x,y)| f (x2)f (y2) f (1),B=(x,y)| f (ax y+2) =若AB=,试确定实数a的取值范围.【分析】 这就是用方程和不等式定义的函数,按命题人思想,并不需要先求函数解析式(即使是已经知道这个函数是个指数函数),而是用函数的性质直接解题.【解()】 f (0) =
8、 f (0+0) = f (0)f (0) = f 2 (0)即 f (0) f 2 (0) = f (0)1 f (0)= 0 故 f (0) = 1或f (0) = 0舍去f (0) = 0的证明假设f (0) = 0,则有 f (n n) = f (n)f ( n) = 0f (n),f ( n)中至少有一个为0,设f (n) = 0按n的任意性,则有f (x) = 0,这与x 0时,0 f (x) 0,所以0 f (1) = a 0,0 f (x) 1,用x( 1.设x1 x2,易知f ( x2 x1) f (x2) f (x)是R上的减函数.【解()】 f (x)是R上的减函数,由f
9、 (x2)f (y2) f (1) f (x2+y2) f (1) x2+y2 1 由 f (ax y +2) = 1 ax y +2 = 0 故有 A=(x,y)|x2 + y2 1,B=(x,y)|ax y + 2 = 0依题意,以下混合组无解按几何意义,单位圆x2 + y2 = 1的圆心O(0,0)到直线l:ax y+2 = 0的距离大于半径1. 即 【点评】 本题是用“函数方程”解题的典型例子. 实际上按题设所给的方程(外加不等式)可以确定了这个函数:f (x) = ax,其中,0 a 1. 它是典型的指数函数.四、函数方程 探求函数解析式既然函数方程与函数解析式都能表示函数,那么它们
10、之间就具有等价性. 如从指数函数f (x) = ax(0 a 0时0 f (x) 0时0 f (x)0时0 f (x)1.由此猜想,函数的解析式是f (x) = ax. 0 a 1时,f (x) 0 成立,(1)设x,y(0,+ ),求证;(2)设x1,x2(0,+ ),若f (x1) f (x2),试比较x1与x2的大小;(3)解关于x的不等式【分析】 本题是以对数函数为模型的抽象函数,可以参考对数函数的性质解题.【解(1)】 因为f ( xy) = f (x) + f ( y),所以 ,所以 【解(2)】因为f ( x1) f ( x2),所以f ( x1) f ( x2) 1时,f (x
11、) 0成立,所以当f (x) 1,所以,.【解(3)】令x = y =1代入f ( xy) = f (x) + f (y)得f (1) = f (1) + f (1),f (1) = 0,所以关于x的不等式为,由(2)可知函数f (x)在定义域(0,+ )上是减函数,所以0 x2 (a + 1)x+a+1 1,由x2 (a + 1)x+a 1时,1 x a,此时x2 (a + 1) x+a 0成立;当a 1时,a x 1,此时x2 (a + 1) x+a 0成立;当a = 1,x1,此时x2 (a + 1) x+a 0,恒有f (x + T ) = f (x),则在区间0,2T上,方程f (x
12、) = 0根的个数最小值为A. 3个 B.4个 C.5个 D.6个【分析】 本题的抽象函数是奇函数与周期函数的“交”:解题时要想把抽象性质“用足”,不仅要充分利用各个函数方程()和(),还要充分利用方程()和()的互动.【错解】 A. 因为f (x)是R上的奇函数,先由方程()得 f (0) = 0 x1= 0再由方程()得 f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0 x2 = T,x3 = 2T.即在区间0,2T上,方程f (x) = 0根的个数最小值为3个(0,T,2T).【正解】 C. 由方程()得f (0) = 0 x1= 0再由方程()得 f (2T ) = f (T
13、) = f (0) = 0 x2 = T,x3 = 2T.又因为 令x = 0得 又 联立,得 x4再由()得 【点评】 方程f (x) = 0根x4和x5的求得,是充分地利用了函数方程()和()的互动.错解中漏掉x4和x5的原因是,孤立地考虑了奇函数,把“起始根”只定在x1 = 0上. 正解中,在周期性的互动下,找到了另一个“起始根”x4 .【说明】 定义在R上、周期为T的奇函数f (x),在区间上有3个零点. 如正弦函数f (x) = sinx的周期为2,它在区间,上有3个零点(,0,).八、抽象函数 命题人也出错误 抽象函数,曾出现过高考大错题. 命题人出错,也出现在“奇函数周期函数”的
14、零点问题上.【例9】 f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是A.2 B.3 C.4 D.5【说明】 这是2005年福建卷(理)第12题,命题组提供的答案是D,即答案为5. 答案D从何而来?以下是“D”的一种解法. 【错解】f (x)周期为3,由 f (2)=0,得 f (5) = f (2)=0,得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0,得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0 f (x)为奇函数,得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0,得 f (-0
15、)= - f (0),得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是,求得 f (x)=0的解为:1、2、3、4、5. 共5个解,答案为D.【正解】 除了上述解法得 f (x)=0的5个解外,还有如下的解. 根据方程 f (x)=0的定义, x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解,证明如下:由 f (x)的周期性,知 f (-1.5)= f (1.5) (1)由 f (x)的奇偶性,知 f (-1.5) = - f (1.5) (2)从而有 f (1.5)=0,f (4.5) = f (1.5)=0.所以,1.5和4.5也是方程 f (x)=0的解.于是,方程的
16、解共有7个:即是1、1.5、2、3、4、4.5、5.【结论】 按上面讨论的结果,方程 f (x) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D是错的. 【实例】 f (x)同时满足4个条件:(1)定义在R上;(2)奇函数;(3)周期为3;(4)f (2) =0. 据此,我们找到 f (x)的一个解析函数具体例子: 并在区间(0,6)上找到 f (x)=0的7个解,列表如下:这7个解即是1,1.5,2,3,4,4.5,5. 函数在一个周期0,3上的图像如下. 图像与 x 轴有5个交点,故在0,6有9个交点,从而在(0,6)上有7个交点.【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地,本题较难,首先难倒了命题人自己. 严格地讲,试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数,其最小正周期是它们的“最小公倍数”这本身就没有进行过证明,对某些具体函数可以具体分析,但对抽象函数来讲,却没有理论依据. 而本题,又恰恰是个抽象函数,而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.
copyright@ 2008-2022 冰豆网网站版权所有
经营许可证编号:鄂ICP备2022015515号-1