7A文圆锥曲线综合题高考常见题型与分析学生.docx

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7A文圆锥曲线综合题高考常见题型与分析学生

圆锥曲线综合题高考常见题型与分析（学生）

圆锥曲线综合题高考常见题型与分析

本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题,从近几年的高考试题来看,除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外,在选择题或填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高,但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.

（1）关于圆锥曲线的方程求解,一般是由定义法求曲线的方程或由已知条件直接求曲线方程,有时也会以求轨迹的形式出现,难度中等.

（2）除了方程的求解,还有如下考查内容,圆锥曲线的弦长问题、最值问题、定点定值问题、探索性问题等,考查的知识点较多,能力要求高,尤其在考查学生的运算求解变形能力上,此类问题体现的淋漓尽致,是高考试题中区分度较高的题目.

（3）预测2015年的高考,对本节知识的考查仍以解答题为主,选择的载体一般是椭圆,主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题,有时会与向量的共线、模和内积等联系起来;对于方程的求解,不要忽视轨迹的求解形式,后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查,探索类和存在性问题考查的概率也很高.

一、直线和圆锥曲线经典结论

椭圆

1.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

2.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

GGyyG2y2

3.若P0（G0,y0）在椭圆2+2=1上，则过P0的椭圆的切线方程是02+02=1.abab

G2y2

4.若P0（G0,y0）在椭圆2+2=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则ab

GGyy切点弦P1P2的直线方程是0

2+02=1.ab

G2y2

5.椭圆2+2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点ab

F1PF2g，则椭圆的焦点角形的面积为SDF1PF2=b2tang.2

G2y2

6.椭圆2+2=1（a＞b＞0）的焦半径公式：

|MF1|=a+eG0,|MF2|=a-eG0（F1（-c,0）,F2（c,0）M（G0,y0））.

G2y2

7.AB是椭圆2+2=1的不平行于对称轴的弦，M（G0,y0）为AB的中点，则ab

kOM?

kABbG0b2。

-2，即KAB?

2aay02

G2y2

8.若P0（G0,y0）在椭圆2+2=1内，则被Po所平分的中点弦的方程是ab

22G0Gy0yG0y0.+=+a2b2a2b2

G2y2

9.若P0（G0,y0）在椭圆2+2=1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是ab

G2y2G0Gy0y+=2+2.a2b2ab

化一中高三L1圆锥曲线综合题高考常见题型与分析）

双曲线

1.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

2.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：

P在右支；外切：

P在左支）

G2y2

3.若P0（G0,y0）在双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方ab

GGyy程是0

2-02=1.ab

G2y2

4.若P0（G0,y0）在双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条ab

GGyy切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是0

2-02=1.ab

22Gy5.双曲线2-2=1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上ab

任意一点?

F1PF2g，则双曲线的焦点角形的面积为SDF1PF2g.=b2gsin2cos

G2y2

6.双曲线2-2=1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：

（F1（-c,0）,F2（c,0）ab

当M（G0,y0）在右支上时，|MF1|=eG0+a,|MF2|=eG0-a.当M（G0,y0）在左支上时，|MF1|=-eG0+a,|MF2|=-eG0-a

G2y2

7.AB是双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M（G0,y0）为ab

AB的中点，则KOM?

KABb2G0b2G0?

2，即KAB?

2。

ay0ay0

G2y2

8.若P0（G0,y0）在双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦ab

22GGyyGy的方程是0

2-02=02-02.abab

G2y2

9.若P0（G0,y0）在双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹ab

G2y2G0Gy0y方程是2-2=2-2.abab

抛物线y2=2pG

1.以焦点弦AB为直径的圆与准线l相切；

2.G1?

G2=;4

3.y?

y=-p2;12

4.?

A'FB'90?

;

5.AB=G1+G2+p=2（G3+p2p;）=2sin2a

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6.112+=;AFBFP

7.A、O、B￠三点共线；

8.B、O、A￠三点共线；

9.SDAOB=；2sina

2SDPAOB=（）3（定值）10.；AB2

11.

12.

13.

14.

15.AF=PP；BF=；1-cosa1+cosaAB32P；P；y3y2pG2-2KAB=tana=2;A'B'=4AFBF;

16.过抛物线y2=2pG上一点M（G0,y0）的切线方程为y0y?

G0?

注意：

过抛物线y2=2pG上一点M（G0,y0）的切线的方程为：

y0y=-p（G+G0）

过抛物线G2=2py上一点M（G0,y0）的切线的方程为：

G0G=p（y+y0）

过抛物线G2=-2py上一点M（G0,y0）的切线的方程为：

G0G=-p（y+y0）

17.过抛物线焦点弦的两端点的抛物线的切线的交点在准线上；过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点

题型1：

求轨迹方程

解题策略：

（1）熟练各种圆锥曲线的有关定义、标准方程、性质；

（2）认真审题；

（3）列式求解；

（4）查漏补缺下结论。

特别注意：

若所求的方程后面要用到，必须验算！

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G2y2

例1.（20GG广东）已知椭圆

1（a?

0）的一个焦点为，离心

率为。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（G0,y0）为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

解:

（1）c=

c==\a=3,b2=a2-c2=9-5=4,aG2y2

\椭圆C的标准方程为:

+=1.

（2）若一切线垂直G轴,则另一切线垂直于y轴,则这样的点P共4个,

它们的坐标分别为（-3,北2）,（3,2）.

若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为y-y0=k（G-G0）,G2y2即y=k（G-G0）+y0,将之代入椭圆方程+=1中并整理得:

942

（9k2+4）G2+18k（y0-kG0）G+9轾（y-kG）-4=0,依题意,D=0,00犏臌

22即:

（18k）2（y0-kG0）2-36轾（y-kG）-4（9k+4）=0,00犏臌

即4（y0-kG0）2-4（9k2+4）=0,

\（G02-9）k2-2G0y0k+y02-4=0

y02-4

两切线相互垂直?

\k1k2=-1,即:

2=-1,

G0-9

\G02+y02=13,显然（-3,北2）,（3,2）这四点也满足以上方程,\点P的轨迹方程为G2+y2=13.

变式练习：

1.（20GG辽宁）圆G2?

y2?

4的切线与G轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该

G2y2

三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1:

1过点P

（1）求C1的方程；

（2）椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B

两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程

化一中高三L1圆锥曲线综合题高考常见题型与分析）

y2G2

2.[20GG·陕西]如图，曲线C由上半椭圆C1：

2＋2＝1（a>b>0，y≥0）和部分抛物线ab

C2：

y＝－G2＋1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1

（1）求a，b的值；

（2）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线

l的方程．

题型2：

与圆锥曲线相关的最值问题

解题策略：

（1）常用方法有配方法、判别式法、导数法、函数单调性等;

（2）参数方程法（三角代换法）,把问题转化为三角函数问题，利用三角函数的有界性;

（3）不等式法,通过基本不等式求最值;

（4）数形结合法.

解决最值问题一定要分清哪些量为变量,哪些量为常量;解决此类问题要综合应用多种知识,注意问题切入点的突破.

22Gy例2.[20GG·四川]已知椭圆C：

2＋2＝1（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长ab轴的一个端点构成正三角形．

（1）求椭圆C的标准方程．

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线G＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.

①证明：

OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；

|TF|②当T的坐标．|PQ|

a＋b＝2b，解：

（1）由已知可得?

解得a2＝6，b2＝2，?

2c＝a－b＝4，

Gy2

所以椭圆C的标准方程是＋＝1.62

（2）①证法一：

由

（1）可得，F的坐标是（－2，0），设T点的坐标为（－3，m），

m－0则直线TF的斜率kTF＝＝－m.－3－（－2）

化一中高三L1圆锥曲线综合题高考常见题型与分析）

1当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝直线PQ的方程是G＝my－2.m

当m＝0时，直线PQ的方程是G＝－2，也符合G＝my－2的形式．设P（G1，y1），Q（G2，y2），将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得G＝my－2，?

22?

Gy得（m2＋3）y2－4my－2＝0，?

62＝1.

其判别式Δ＝16m2＋8（m2＋3）>0.所以

－24my1＋y2，y1y2＝m＋3m＋3

－12G1＋G2＝m（y1＋y2）－4＝m＋3

2mm?

－6设M为PQ的中点，则M点的坐标为?

，.所以直线OM的斜率kOM＝－，3?

m＋3m＋3?

m又直线OT的斜率kOT＝－M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.3

证法二：

设T点的坐标为（－3，m），P（G1，y1），Q（G2，y2），PQ中点M（G0，y0），则

2222G12y12G2y2y12?

y2G12?

G2?

=1?

626226

若m=0，则PQ中点为F，满足OT平分线段PQ；

Gy?

yG?

Gm,kPQ?

12?

03G1?

G23（y1?

y2）3y0

Gmy由PQ?

FT，得?

（?

0）?

kOT?

kOM?

O,M,T花线3y03G0若m?

0，则kFT?

m,kOT?

综上：

OT平分线段PQ。

②方一：

由①可得，|TF|m＋1，

|PQ|＝（G1－G2）＋（y1－y2）（m＋1）[（y1＋y2）－4y1y2]＝24（m2＋1）?

4m?

2－2?

（m＋1）?

－?

＝m＋3m＋3?

m＋3?

1（m＋3）24m＋1|TF|所以|PQ|

≥12m＋1＋4?

m＋1?

24?

34＋4）＝.243

4|TF|当且仅当m2＋1，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．|PQ|m＋1

|TF|故当T点的坐标是（－3，1）或（－3，－1）．|PQ|

方二：

由

（1），得G?

3是椭圆的左准线，离心e?

得

化一中高三L1圆锥曲线综合题高考常见题型与分析）c?

，由①及椭圆第二定义，a

m2?

1）TF?

，PQ?

PF?

FQ?

G1?

G2?

6）?

2m?

2G2y2

3.[20GG·浙江卷]如图，设椭圆C：

＋＝1（a>b>0），动直线l与椭圆C只有一个公共ab点P，且点P在第一象限．

（1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；

（2）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：

点P到直线l1的距离的最大值为a－b.

4.[20GG·山东卷]已知抛物线C：

y2＝2pG（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交G轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．

（1）求C的方程．

（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.

①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．

②△ABE的面积是否存在最小值？

若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

余略。

变式练习：

化一中高三L1圆锥曲线综合题高考常见题型与分析）

题型3：

与圆锥曲线相关的存在性问题

求解策略：

（1）思路:

先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在;若结论不正确则不存在.

（2）策略:

①当条件和结论不唯一时要分类讨论;

②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;

③当条件和结论都不知,按常规法解题很难时,可先由特殊情况探究,再推广到一般情况.

例3.（20GG深圳一模）如图，直线l:

b（b?

0），抛物线C:

y2?

2pG（p?

0），已知点P（2,2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的

．

（1）求直线l及抛物线C的方程；

（2）过点Q（2,1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：

是否存在实数?

，使得k1?

k2?

k3？

若存在，试求出?

的值；若不存在，请说明理由．

解：

（1）（法一）?

点P（2,2）在抛物线C上，?

1．

设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l?

方程为y?

m，

m,22由?

2得G?

（2m?

2）G?

0，?

2G,

（2m?

2）2?

4m2?

8m，

11?

由?

0，得m?

，则直线l?

方程为y?

．22

两直线l、l?

间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，

，解得b?

2或b?

1（舍去）．

直线l的方程为y?

2，抛物线C的方程为y2?

2G．

（法二）?

点P（2,2）在抛物线C上，

1，抛物线C的方程为y2?

2G．

）t?

R）为抛物线C上的任意一点，设M（,t（点M到直线l的距离为d?

根据图象，有?

0，2

1）2?

2b?

1]，?

R，

d，

解得b?

2．?

化一中高三L1圆锥曲线综合题高考常见题型与分析）

2因此，直线l的方程为y?

2，抛物线C的方程为y?

2G．

（2）?

直线AB的斜率存在，

设直线AB的方程为y?

k（G?

2），即y?

kG?

2k?

1，

kG?

2k?

1,2由?

2得ky?

2y?

4k?

0，

2G,

设点A、B的坐标分别为A（G1,y1）、B（G2,y2），则y1?

y2?

22?

4k，y1y2?

，kk

k1?

y1?

2y1?

222?

，k2?

，G1?

2y1y1?

2y2?

2+82（y1?

y2）?

8224k?

k1?

k2?

y1?

2y2?

2y1y2?

2（y1?

y2）?

由?

2k?

14k?

kG?

2k?

1,得GM?

，yM?

，k?

1k?

4k?

22k?

1，?

2k．?

k3?

1233?

2k?

因此，存在实数?

，使得k1?

k2?

k3成立，且?

2．

点评:

（1）常常根据题意建立含有参数的等式或不等式,通过解等式或不等式求参数的值或范围.

（2）建立关于某变量的一元二次方程,利用根与系数的关系或利用判别式求参数或参数的范围.

变式练习：

5.已知动圆P与圆F1:

（G+3）2+y2=81相切,且与圆F2:

（G-3）2+y2=1相内切,记圆心P的轨迹为曲线C;设Q为曲线C上的一个不在G轴上的动点,O为坐标原点,过点F2作OQ的平行线交曲线C于两个不同的点M,N.

（1）求曲线C的方程;

（2）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数?

若能,求出这个常数;若不能,请说明理由;

（3）记△QF2M的面积为S1,△OF2N的面积为S2,令S=S1+S2,求S的最大值.

化一中高三L1圆锥曲线综合题高考常见题型与分析）

同的交点P和Q.

（1）求k的取值范围;

（2）设椭圆与G轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量+与共线?

如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.?

G2y2

7.[20GG·邯郸期末]已知点F1（－1，0），F2（1，0）分别是椭圆C：

＝1（a>b>0）的左、ab2右焦点，点P?

1，?

在椭圆C上．2?

（1）求椭圆C的标准方程．

（2）设直线l1：

y＝kG＋m，l2：

y＝kG－m，若l1，l2均与椭圆C相切，试探究在G轴上是否存在定点M，点M到l1，l2的距离之积恒为1.若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

化一中高三L1圆锥曲线综合题高考常见题型与分析）6.在平面直角坐标系GOy中,经过点（0,）且斜率为k的直线l与椭圆22=1有两个不?

题型4：

与圆锥曲线的弦长、距离、面积等有关的问题

解题策略：

（1）当直线的斜率是否存在未定时，用点斜式或斜截式表示直线时，需分类讨论；当直线与y轴不垂直时，可设直线为G?

ty?

m的形式。

将直线方程与圆锥曲线方程联立,构

bG?

0成方程组,得到型如a的方程，判别式为△，利用根与系数的关系设而不求

计算弦长,设两交点为2A?

G1,y1?

2,y2?

，则|AB|=2=（k为直线?

k|a|

AB的斜率）；

（2）当涉及过焦点的弦长问题时,可考虑用圆锥曲线的定义；

（3）当弦过原点时，可考虑转化为极坐标方程解。

例4．（20GG大纲全国,理21）已知抛物线C:

y2=2pG（p>0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=5|PQ|.4

（1）求C的方程;

（2）过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.

命题定位:

本题主要考查抛物线的定义、直线方程、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式等知识,体现数形结合的思想、函数方程思想.对运算求解能力、分析问题和解决问题的能力、数学探究能力及综合运用知识的能力有较高的要求.

2解：

（I）设Q（G0,4），代入y=2pG，得G0=8,p

\PQ=8pp8,QF=+G0=+.p22p

由题设得p858+=?

2p4p，解得p=-2（舍去）或p=2，

y2=4G；

（II）由题设知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为G=my+1（m?

0），∴C的方程为

2y2=4G，得y-4my-4=0．

设A（G1,y1）,B（G2,y2）,则y1+y2=4m,y1y2=-4．代入

故AB的中点为D2m+

1,2m,

AB=1-y2=4（m2+1）

（2）

又l￠的斜率为m,

-\l￠的方程为G=1y+2m2+3．m

化一中高三L1圆锥曲线综合题高考常见题型与分析）

2将上式代入y=4G，并整理得y+24y-4（2m2+3）=0．m

设M（G3,y3）,B（G4,y4）,则

y3+y4=-4,y3y4=-4（2m2+3）．m

骣22÷2故MN的中点为E+2m+3,-÷,桫

m÷m2

4（

m2+1MN=y3-y4=．m2

由MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一圆上等价于AE=BE=1MN，则2

11222AB+DE=MN,44

22m+即4（m+1）+珑珑珑2骣

桫2鼢骣2++2=鼢m鼢桫m2224（m2+1）（2m2+1）m42，

2m-1=0，解得m=1或m=-1．化简得

所求直线l的方程为G-y-1=0或G+y-1=0．

变式练习：

G2y28.（20GG课标全国Ⅰ）已知点A（0，-2），椭圆E2?

1（a?

0），abF是椭圆的焦点，直线AF

O为坐标原点.（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当?

OPQ的面积最大时，求l的方程.

化一中高三L1圆锥曲线综合题高考常见题型与分析）

9.在平面直角坐标系GOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线G2=2py（p>0）相交于A、B两点。

（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？

若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。

题型5：

圆锥曲线的中点弦问题

解题策略：

这类问题一般有以下三种类型：

（1）求中点弦所在直线方程问题；

（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。

其解法有“点差法”、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

G2y2

例5.[20GG·湖南]如图7，O为坐标原点，椭圆C12?

1（a?

0）的左右焦点

22Gy

分别为F1,F2，离心率为e1；双曲线C22?

1（a?

0）的左右焦点分别为F3,F4，

离心率为

e2，已知e1e

，且F2F41.

（Ⅰ）求C1，C2的方程；

（Ⅱ）F1过作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P,Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值

解：

（Ⅰ）e1e

，

4434，?

4a2?

2b2,

从而F2（b,0）,F4,0），

化一中高三L1圆锥曲线综合题高考常见题型与分析）

F2F41，

1，a2?

G2G22

1,双曲线C2的方程为?

y2?

1.故椭圆C

1方程为22

（Ⅱ）因为直线AB不垂直于y轴且过点F1?

1,0?

，故设直线AB的方程为

my?

22由?

G2得?

2my?

0，2

设A（G1,y1）,B（G2,y2），则y1,y2是上述方程的两个实根，

2m?

1222

2m?

2因此G1?

G2?

y1?

y2?

2，AB的中点为M?

，

2m?

故直线PQ的斜率为?

，PQ的方程为y?

G，即mG?

2y?

mG4m2222222

由y?

G,?

1得?

4，2?

0,G?

m22?

m222y1?

y2?

PQ?

设点A到直线PQ的距离为d，则B点到直线PQ的距离也为d，

因为点A,B在直线mG?

2y?

0的异侧，所以?

mG1?

2y1?

mG2?

2y2?

0，

于是mG1?

2y1?

mG2?

2y2?

mG1?

2y1?

mG2?

2y2,

2d从而2d?

又因为y1?

y2?

，所以2d?

1四边形APBQ面积S?

PQ?

2d?

2而0?

m2?

2，故当m?

0时，S取得最小值2.故四边形APBQ面积的最小值为2.

变式练习：

G2y2

10.（20GG新课标Ⅱ）平面直角坐标系Goy中,过椭圆2?

1（a?

0）的右焦

点作直G?

0交于A,B两点,为的中点,且OP的斜率为.

化一中高三L1圆锥曲线综合题高考常见题型与分析）

（Ⅰ）求的方程;

的对角线,求四边形（Ⅱ）为上的两点,若四边形

面积的最大值.

13G2y2

11.已知椭圆C:

1（a?

0）过点（1,），且离心率e?

。

22ab

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）若直线l:

kG?

m（k?

0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN

1G（,0），求k的取值范围。

的垂直平分线过定点8

题型6：

圆锥曲线中的参数问题

解题策略：

（1）函数法,

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