浅谈搜索算法在信息学竞赛中的应用.docx

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浅谈搜索算法在信息学竞赛中的应用

浅谈搜索算法在信息学竞赛中的应用

SearchAlgorithminInformatics

【前言】

在信息学竞赛日渐普及，信息技术越来越重要的今天，搜索算法，一种充分利用计

算机计算速度遍历所有可能解的算法，被认为非常基础也非常重要。

让我们走近这听起

来非常高端的算法，一窥其真面目。

【摘要】

本文对搜索算法的两个分支——深度优先搜索（dfs）和广度优先搜索（bfs）展开

了研究，并通过在例题中的各种应用分析两种搜索方法的优化，对这一类的算法进行了

通用总结。

【关键词】

搜索算法信息学深度优先搜索广度优先搜索DFSBFS剪枝

【研究过程】

主要算法

（1）深度优先搜索（dfs）

深度优先搜索属于图算法的一种，英文缩写为DFS即DepthFirstSearch.其过程简要来说是对每一个可能的分支路径深入到不能再深入为止，而且每个节点只能访问一次。

主要用于图的搜索，但是在许多别的领域也有广泛应用。

举例说明之：

下图是一个无向图，如果我们从A点发起深度优先搜索（以下的访问次序并不是唯一的，第二个点既可以是B也可以是C,D），则我们可能得到如下的一个访问过程：

A->B->E（没有路了！

回溯到A）->C->F->H->G->D（没有路，最终回溯到A,A也没有未访问的相邻节点，本次搜索结束）.

让我们先看一道经典例题。

【深度搜索基础】迷宫路径（深搜）

Description

　　这是实验心理学中的一个经典问题，心理学家把一只老鼠从一个无顶盖的大盒子的入口处赶进迷宫。

迷宫中设置很多隔壁，对前进方向形成了多处障碍，心理学家在迷宫的唯一出口处放置了一块奶酪，吸引老鼠在迷宫中寻找通路以到达出口。

　　迷宫以一个01矩阵表示，0表示通路，1表示不通，入口在座标（1,1），出口在（m,n），m表示行，n表示列。

老鼠在某一格子时，可以向周围8个格子移动（只要目的格子不为1或没有超出边界）。

现求解出到达出口的最少移动步数，注：

站在（m,n）即表示已经抵达出口，起始时老鼠站在（1,1）处。

这道题的基本思路是以（1，1）即起点为起始点，不断地通过递归来拓展每一个可能节点，直到找到终点或无路可走为止。

在遍历所有可能路径的同时统计最短的一条路，输出答案即可。

实际c++代码如下：

∙#include

∙#include

∙usingnamespacestd;

∙intg[52][52],n,m,xmin=10000;

∙struct{

∙intx;

∙inty;

∙}xx[8];

∙voidx（intnn,intmm,intc）;

∙main（）

∙{

∙ints,ss;

∙xx[0].x=0;xx[0].y=1;xx[1].x=1;xx[1].y=1;

∙xx[2].x=1;xx[2].y=0;xx[3].x=1;xx[3].y=-1;

∙xx[4].x=0;xx[4].y=-1;xx[5].x=-1;xx[5].y=-1;

∙xx[6].x=-1;xx[6].y=0;xx[7].x=-1;xx[7].y=1;

∙cin>>n>>m;

∙for（s=0;s<=n+1;s++）{g[s][0]=1;g[s][m+1]=1;}

∙for（s=0;s<=m+1;s++）{g[0][s]=1;g[n+1][s]=1;}

∙for（s=1;s<=n;s++）

∙for（ss=1;ss<=m;ss++）

∙cin>>g[s][ss];

∙x（1,1,0）;

∙if（xmin==10000）cout<<"no";

∙elsecout<

∙}

∙voidx（intnn,intmm,intc）

∙{

∙ints;

∙if（（nn==n&&mm==m）&&（c

∙xmin=c;

∙}

∙elseif（c

∙for（s=0;s<=7;s++）{

∙if（g[nn+xx[s].x][mm+xx[s].y]==0）{

∙g[nn+xx[s].x][mm+xx[s].y]=2;

∙x（nn+xx[s].x,mm+xx[s].y,c+1）;

∙g[nn+xx[s].x][mm+xx[s].y]=0;

∙}

∙}

∙}

∙

这段代码中应用了标志数组的小技巧，使程序更加简洁明了。

同时，我们可以发现这种算法在最不利情况下的时间效率其实非常低，所以在这里加了非常有效的可行性剪枝，使效率大大提高。

关于一些剪枝方法，我会在后文谈到。

（2）广度优先搜索（bfs）

宽度优先搜索算法（又称广度优先搜索）是最简便的图的搜索算法之一，这一算法也是很多重要的图的算法的原型。

Dijkstra单源最短路径算法和Prim最小生成树算法都采用了和宽度优先搜索类似的思想。

其别名又叫BFS，属于一种盲目搜寻法，目的是系统地展开并检查图中的所有节点，以找寻结果。

换句话说，它并不考虑结果的可能位置，彻底地搜索整张图，直到找到结果为止。

在bfs中，通常使用先进先出队列（一种数据结构）来维护，并通过判重使搜索规模得到控制，避免做无用功，重复搜索同样的状态。

如图所示：

以1为起点，8为终点，路径长度为1。

在图中，我们可以通过路径段数把整个图划分成三层，其中，2，3，4是由1直接拓展出的节点，先把他们加入队列。

接下来取出2，通过2拓展出5，6两个节点并加入队列。

下一步取出3，通过3拓展出6，7。

需要注意的是，此时6已经在队列中了，所以不需要再次入队，以后如果再遇到6也不需要入队，而且该情况仅对路径长度为1时适用。

依此类推，当取出的节点为终点时就可以结束搜索了。

我们再来看看例题。

【宽度搜索基础】奇怪的电梯（宽搜）

Description

　　呵呵，有一天我做了一个梦，梦见了一种很奇怪的电梯。

大楼的每一层楼都可以停电梯，而且第i层楼（1<=i<=N）上有一个数字Ki（0<=Ki<=N）。

电梯只有四个按钮：

开，关，上，下。

上下的层数等于当前楼层上的那个数字。

当然，如果不能满足要求，相应的按钮就会失灵。

例如：

33125代表了Ki（K1=3,K2=3,……），从一楼开始。

在一楼，按“上”可以到4楼，按“下”是不起作用的，因为没有-2楼。

那么，从A楼到B楼至少要按几次按钮呢？

这道题的思路和上面的最短路径其实有异曲同工之妙。

按一次按钮相当于走过路径长度为一的路，到达的每层楼则相当于上图中的节点，但是哪两条节点间有通路呢？

这就要看每层楼上的Ki值了，如果某层楼楼层数+/-Ki=另一楼层数，那么这两个节点间就有长度为1的边相连。

具体代码如下：

∙#include

∙#include

∙usingnamespacestd;

∙voidlift（intx,intc,intz）;

∙intg[100],N,A,B,front,rear,step[201],ss=0;

∙boolboo[201],arrive=false;

∙intki[201];

∙intmain（）

∙{

∙ints;

∙memset（boo,true,sizeof（boo））;

∙cin>>N>>A>>B;

∙for（s=1;s<=N;s++）cin>>ki[s];

∙if（A!

=B）{

∙boo[A]=false;

∙g[0]=A;

∙front=0;

∙step[g[front]]=0;

∙rear=1;

∙while（front!

=rear）{

∙lift（g[front],step[g[front]],1）;

∙lift（g[front],step[g[front]],2）;

∙if（arrive）break;

∙front++;

∙front=front%100;

∙}

∙if（ss==0）cout<<-1<

∙elsecout<

∙}

∙elsecout<<0<

∙return0;

∙}

∙voidlift（intx,intc,intz）

∙{

∙if（z==1）{

∙x=x+ki[g[front]];

∙if（boo[x]&&（x>0）&&（x<=N））{

∙boo[x]=false;

∙step[x]=c+1;

∙g[rear]=x;

∙rear++;

∙rear=rear%100;

∙}

∙if（x==B）{arrive=true;ss=step[x];}

∙}

∙else{

∙x=x-ki[g[front]];

∙if（boo[x]&&（x>0）&&（x<=N））{

∙boo[x]=false;

∙step[x]=c+1;

∙g[rear]=x;

∙rear++;

∙rear=rear%100;

∙}

∙if（x==B）{arrive=true;ss=step[x];}

∙}

∙}

1、优化方法:

剪枝

（一）剪枝的原则

原则之一：

正确性。

因为它能够“剪去”搜索树中的一些“枝条”。

然而，如果在剪枝的时候，将“长有”我们所需要的解的枝条也剪掉了，那么，一切优化也就都失去了意义。

所以，对剪枝的第一个要求就是正确性，即必须保证不丢失正确的结果，这是剪枝优化的前提。

我们利用“必要条件”来进行剪枝判断。

也就是说，通过解所必须具备的特征、必须满足的条件等方面来考察待判断的枝条能否被剪枝。

这样，就可以保证所剪掉的枝条一定不是正解所在的枝条。

原则之二：

准确性。

即能够尽可能多的剪去不能通向正解的枝条。

准确性可以说是剪枝优化的生命。

原则之三：

高效性。

 经常还需要提高判断操作本身的时间效率。

 综上所述，我们可以把剪枝优化的主要原则归结为六个字：

正确、准确、高效。

（二）剪枝方法

1、可行性剪枝

搜索过程可以看作是对一棵树的遍历。

在很多情况下，并不是搜索树中

的所有枝条都能通向我们需要的结果，很多的枝条实际上只是一些死胡同。

如果我们能够在刚刚进入这样的死胡同的时候，就能够判断出来并立即剪

枝，程序的效率往往会得到提高。

而所谓可行性剪枝，正是基于这样一种考

虑。

2、最优性剪枝

在我们平时遇到的问题中，有一大类是所谓最优化问题，即所要求的结果是最优解。

此时就可以利用最优性剪枝来简化搜索复杂度。

   在搜索的过程中，一般情况下，我们需要保存一个“当前最优解”，实际上就是保存解的优度的一个下界。

在遍历到搜索树的叶子节点的时候，我们就能得到一个新的解，当然也就得到了它的评价函数值，如果新解更优则更新优值下限。

搜索结束后，所保存的解就是最优解。

 那么，最优性剪枝又是如何进行的呢？

当我们处在搜索树的枝条上时，可以通过某种方法估算出该枝条上的所有解的评价函数的上界，即所谓估价函数。

显然，大于当前保存的优度的下界，是该枝条上存在最优解的必要条件，否则就一定可以剪枝。

所以，最优性剪枝也可以称为“上下界剪枝”。

同时，我们也可以看到，最优性剪枝的核心问题就是估价函数的建立。

对这种剪枝方法应用最典型的就是A*算法，其效率很大程度上由估价函数的优劣左右，所以建立有效的估价函数也是程序取得高效率的重点。

【研究结论】

搜索在信息学奥赛中是非常有效的算法，当我们真正利用好各种优化方法时，搜索的效率能够大大提升，帮助我们解决许多难题。

我们不应该轻视基础的搜索算法，而是应该认真地把搜索吃透。

对于生活中许多其他问题也是一样，对待基础知识的正确方法是认真弄懂，踏踏实实地前进，这种思想将会对我们起巨大的帮助。