北师大版八下第一章单元测试题.docx

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北师大版八下第一章单元测试题

北师大版八下第一章单元测试题

一．选择题（共10小题）

1．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　）

A．12B．16C．20D．16或20

2．等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（　　）

A．16cmB．17cmC．20cmD．16cm或20cm

3．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（　　）

A．13cmB．14cmC．13cm或14cmD．以上都不对

4．等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（　　）

A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°

5．Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则其斜边上的中线长为（　　）

A．10B．3C．4D．5

6．已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，a+b=3+

，则a等于（　　）

A．

B．2

C．

+1D．3

7．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（　　）

A．34B．26C．8.5D．6.5

8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（　　）

A．40°B．30°C．20°D．10°

9．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的长为（　　）

A．2B．3C．4D．5

10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D是斜边BC的中点，若AD=5，则AC等于（　　）

A．8B．64C．5

D．6

二．填空题（共10小题）

11．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是　　．

12．如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC=　　　　　　．

13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为　　　　．

14．如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：

EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为　　　　　　．

15．等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为　　　　　　．

16．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是　　　　　　．

17．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为　　　　　　．

18．底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是　　　　　　．

19．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于　　　　　　度．

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′=　　　　　　．

三．解答题（共10小题）

21．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O

（1）求证：

OB=OC；

（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．

22．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．

23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=

．

求证：

AB平分∠EAD．

24．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．

（1）求∠NMB的度数；

（2）如果将

（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；

（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．

25．如图，AD⊥BC于点D，∠B=∠DAC，点E在BC上，△EAC是以EC为底的等腰三角形，AB=4，AE=3．

（1）判断△ABC的形状；

（2）求△ABC的面积．

26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E．

（1）若BC=3，AC=4，求CD的长；

（2）求证：

∠1=∠2．

27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：

AB=4BD．

28．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．

（1）求证：

∠ACD=∠B；

（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：

∠CEF=∠CFE．

29．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．

（1）求∠B的度数；

（2）求证：

CE是AB边上的中线，且CE=

AB．

30．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；

（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：

AB⊥AC；

（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？

若是请给出证明；若不是，请说明理由．

北师大版八下第一章单元测试题

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2016•贺州）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　）

A．12B．16C．20D．16或20

【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．

【解答】解：

①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；

②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．

故此三角形的周长=8+8+4=20．

故选C．

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．

2．（2016•怀化）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（　　）

A．16cmB．17cmC．20cmD．16cm或20cm

【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况．

【解答】解：

等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，

当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；

当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．

故选C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

3．（2016•湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（　　）

A．13cmB．14cmC．13cm或14cmD．以上都不对

【分析】分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰，先判断符合不符合三边关系，再求出周长．

【解答】解：

当4cm为等腰三角形的腰时，

三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，

∴周长为13cm；

当5cm为等腰三角形的腰时，

三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，

∴周长为14cm，

故选C

【点评】此题是等腰三角形的性质题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分类考虑是解本题的关键．

4．（2016•赤峰）等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（　　）

A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°

【分析】由于等腰三角形的两底角相等，所以90°的角只能是顶角，再利用三角形的内角和定理可求得另两底角．

【解答】解：

∵等腰三角形的两底角相等，

∴两底角的和为180°﹣90°=90°，

∴两个底角分别为45°，45°，

故选B．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；确定90°的角是三角形的顶角是正确解答本题的关键．

5．（2016•常山县模拟）Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则其斜边上的中线长为（　　）

A．10B．3C．4D．5

【分析】已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题．

【解答】解：

已知直角三角形的两直角边为6、8，

则斜边长为

=10，

故斜边的中线长为

×10=5，

故选D．

【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了斜边中线长为斜边长的一半的性质，本题中正确的运用勾股定理求斜边的长是解题的关键．

6．（2016春•钦州期末）已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，a+b=3+

，则a等于（　　）

A．

B．2

C．

+1D．3

【分析】设AC=x，则根据60°角的正切值可知BC=

x，而BC+AC=3+

，所以列方程可求出x，从而求出BC．

【解答】解：

∵△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC+AC=3+

，

设AC=x，则BC=tan60°•AC=

x．

∴x+

x=3+

即x=

∴a=3．

故选D．

【点评】本题考查了含30°的直角三角形的性质，解直角三角形、进行逻辑推理能力和运算能力．

7．（2016春•平南县期末）直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（　　）

A．34B．26C．8.5D．6.5

【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．

【解答】解：

由勾股定理得，斜边=

=13，

所以，斜边上的中线长=

×13=6.5．

故选D．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．

8．（2016春•湘潭期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（　　）

A．40°B．30°C．20°D．10°

【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB与∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再由折叠的性质得到∠CA′D=∠A，而∠CA′D为三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性质即可求出∠A′DB的度数．

【解答】解：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，

∴∠B=180°﹣90°﹣55°=35°，

由折叠可得：

∠CA′D=∠A=55°，

又∵∠CA′D为△A′BD的外角，

∴∠CA′D=∠B+∠A′DB，

则∠A′DB=55°﹣35°=20°．

故选：

C．

【点评】此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．

9．（2016春•保定期末）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的长为（　　）

A．2B．3C．4D．5

【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH=NH=

MN=1，在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=

OP=5，然后计算OH﹣MH即可．

【解答】解：

作PH⊥MN于H，如图，

∵PM=PN，

∴MH=NH=

MN=1，

在Rt△POH中，∵∠POH=60°，

∴∠OPH=30°，

∴OH=

OP=

×10=5，

∴OM=OH﹣MH=5﹣1=4．

故选C．

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．也考查了等腰三角形的性质．

10．（2016春•恩施市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D是斜边BC的中点，若AD=5，则AC等于（　　）

A．8B．64C．5

D．6

【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出BC，根据勾股定理求出AC即可．

【解答】解：

∵在Rt△BAC中，∠BAC=90°，D为斜边BC的中点，AD=5，

∴BC=2AD=10，

由勾股定理得：

AC=

=

=8，

故选A．

【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能求出BC的长是解此题的关键，注意：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

二．填空题（共10小题）

11．（2016•淮安）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是　10　．

【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长．

【解答】解：

因为2+2＜4，

所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，

周长：

4+4+2=10，

答：

它的周长是10，

故答案为：

10

【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角形的周长的计算方法，列式解答即可．

12．（2016•牡丹江）如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC=　5　．

【分析】过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到BF=CF=

BC，由AB的垂直平分线交AB于点E，得到BD=AD=4，设DF=x，根据勾股定理列方程即可得到结论．

【解答】解：

过A作AF⊥BC于F，

∵AB=AC，

∴BF=CF=

BC，

∵AB的垂直平分线交AB于点E，

∴BD=AD=4，

设DF=x，

∴BF=4+x，

∵AF2=AB2﹣BF2=AD2﹣DF2，

即16﹣x2=36﹣（4+x）2，

∴x=1，

∴CD=5，

故答案为：

5．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．

13．（2016•齐齐哈尔模拟）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为　65°或25°　．

【分析】本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．

【解答】解：

当这个三角形是锐角三角形时：

高与另一腰的夹角为40，则顶角是50°，因而底角是65°；

如图所示：

当这个三角形是钝角三角形时：

∠ABD=50°，BD⊥CD，

故∠BAD=50°，

所以∠B=∠C=25°

因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°．

故填25°或65°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因而，遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．

14．（2016•河北模拟）如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：

EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为　8　．

【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．

【解答】解：

∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10°，

∴∠GEF=∠FGE=20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．

故答案为8．

【点评】此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．

15．（2016•哈尔滨模拟）等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为　35°或20°　．

【分析】题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解．

【解答】解：

在△ABC中，AB=AC，

①当∠A=70°时，

则∠ABC=∠C=55°，

∵BD⊥AC，

∴∠DBC=90°﹣55°=35°；

②当∠C=70°时，

∵BD⊥AC，

∴∠DBC=90°﹣70°=20°；

故答案为：

35°或20°．

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．

16．（2016•祁阳县二模）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是　18°　．

【分析】根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．

【解答】解：

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠ACB=72°

∵BD是AC边上的高，

∴BD⊥AC，

∴∠DBC=90°﹣72°=18°．

故答案为：

18°．

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．

17．（2016•黔南州）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为　6　．

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE=CD=3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果．

【解答】解：

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∴∠DAE=∠B=30°，

∴∠ADC=60°，

∴∠CAD=30°，

∴AD为∠BAC的角平分线，

∵∠C=90°，DE⊥AB，

∴DE=CD=3，

∵∠B=30°，

∴BD=2DE=6，

故答案为：

6．

【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．

18．（2016•抚顺模拟）底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是　

a2　．

【分析】作出图形，过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得BC=2BD，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=

AB，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：

如图，过点A作AD⊥BC于D，

∵△ABC是等腰三角形，

∴BC=2BD，

∵底角∠B=30°，

∴AD=

AB=

a，

由勾股定理得，BD=

=

a，

∴BC=2BD=

a，

∴三角形的面积=

×

a×

a=

a2．

故答案为

a2．

【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．

19．（2016•徐闻县三模）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于　30　度．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到AC=AE，从而得到∠A=∠ACE，再由折叠的性质及三角形的外角性质得到∠B=2∠A，从而不难求得∠A的度数．

【解答】解：

∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，

∴AE=CE，

∴∠A=∠ACE，

∵△CED是由△CBD折叠而成，

∴∠B=∠CED，

∵∠CEB=∠A+∠ACE=2∠A，

∴∠B=2∠A，

∵∠A+∠B=90°，

∴∠A=30°．

故答案为：

30．

【点评】此题主要考查：

（1）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；

（2）三角形的外角性质：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

20．（2016•江岸区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′=　10°　．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，根据直角三角形的性质分别求出∠BCD、∠DCA的度数，根据翻折变换的性质求出∠B′CD的度数，计算即可．

【解答】解：

∵∠ACB=90°，∠B=50°，

∴∠A=40°，

∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，

∴CD=BD，CD=AD，

∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°，

由翻折变换的性质可知，∠B′CD=∠BCD=50°，

∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，

故答案为：

10°．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、翻折变换的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

三．解答题（共10小题）

21．（2016•常州）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O

（1）求证：

OB=OC；

（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．

【分析】

（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC，从而得证；

（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．

【解答】

（1）证明：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵BD、CE是△ABC的两条高线，

∴∠DBC=∠ECB，

∴OB=OC；

（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，

∴∠A=180°﹣2×50°=80°，

∴∠BOC=180°﹣80°=100°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是掌握等腰三角形等角对等边．

22．（2016•长春二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．

【分析】首先由AB=AC，利用等边对等角和∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数，然后由BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数．

【解答】解：

∵AB=AC，∠A=40°，

∴∠ABC=∠C=

=70°，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠DBC=

∠ABC=35°，

∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=75°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是正确识图，利用等腰三角形的性质：

等边对等角求出∠ABC与∠C的度数．

23．（2016•西城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=

．

求证：

AB平分∠EAD．

【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=

BC，AD⊥BC根据角平分线的判定定理即可得到结论．．

【解答】证明：

∵AB=AC，AD是BC边上的中线，

∴BD=

BC，AD⊥BC，

∵BE=

BC，

∴BD=BE，

∵AE⊥BE，

∴AB平分∠EAD．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

24．（2016春•埇桥区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．

（1）求∠NMB的度数；

（2）如果将

（1）中∠A的度数改为70°，其余