3.已知:
如图1-8,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,AF与EF相等吗?
为什么?
例3已知:
如图1-9,△ABD和△BEC均为等边三角形,M、N分别为AE和DC的中点,那么△BMN是等边三角形吗?
说明理由.
1-9
分析要说明一个三角形是等边三角形,只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°的等腰三角形”即可.本题只需利用三角形全等证得BM=BN,且∠MBN=60°即可.
解:
在△ABE和△DBC中,
∵∠ABE=60°+∠DBE,∠DBC=60°+∠DBE,
∴∠ABE=∠DBC.
∵AB=BD,BE=EC.
∴△ABE≌△DBC.
∴AE=DC,∠MEB=∠NCB.
又∵M、N分别是AE和DC的中点,
∴ME=NC,又△BEC为等边三角形,
∴BE=BC.
∴△MBE≌△NBC,BM=BN.
∴∠MBN=∠MBE-∠NBE=∠NBC-∠NBE=60°.
∴△BMN为等边三角形.
练习3
1.已知:
如图1-10,在等边三角形ABC中,BD=CE=AF,AD与BE交于G,BE与CF交于H,CF与AD交于K,试判断△GHK的形状.
1-10
2.已知:
如图1-11,△ABC是等边三角形,E是AC延长线上的任意一点,选择一点D,使△CDE是等边三角形,如果M是线段AD的中点,N是线段BE的中点,那么△CMN是等边三角形吗?
为什么?
1-11
3.已知:
如图1-12,等边三角形ABC,在AB上取点D,在AC上取点E,使AD=AE,作等边三角形PCD、QAE和RAB,则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形,请说明理由.
1-12
例4已知:
如图1-13,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=100°,∠ABC的平分线交AC于E,试比较AE+BE与BC的大小?
分析说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和,常常采用截取等长线段的方法,将那些本来没有关系的线段放在条线段上,这样可迎刃而解.
解:
在BC上截取BF=BE,BD=BA,连结FE、DE,
∵AB=AC,∠A=100°,∴∠ABC=∠C=40°,又BE平分∠ABC,
∴∠1=∠2=
∠ABC=20°.
1-13
∵BF=BE,∴∠BEF=∠5=80°.
在△BAE和△BDE中,
BA=BD,∠1=∠2,BE=BE.
∴△BAE≌△BDE.
∴AE=DE,∠3=∠A=100°.
∴∠4=180°-∠3=180°,
∴∠4=∠5,DE=FE,AE=FE.
又∠6=∠5-∠C=80°-40°=40°,
∴∠6=∠C,∴FE=FC.
故AE+BE=FC+BF=BC.
练习4
1.如图1-14,在△ABC中,AB=AC,P为底边BC上的一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F,那么PD+PE与CF相等吗?
1-14
2.已知:
如图1-15,△ABC和△ADE都是等边三角形.B、C、D在一条直线上,说明CE与AC+CD相等的理由.
1-15
3.已知:
如图1-16,△ABC是等边三角形,延长AC到D,以BD为一边作等边三角形BDE,连结AE,则AD_______AE+AB.(填“>”或“=”或“<”)
1-16
例5已知:
如图1-17,△ABC中,AB=AC,CE是AB边上的中线,延长AB到D,使BD=AB,那么CE是CD的几分之几?
分析延长线段到倍长,再证明三角形全等,往往是说明线段倍分关系的重要途径和必要手段.
解:
延长CE到F,使EF=CE,连结BF,CE是AB的中线,∴AE=EB.
又∠FEB=∠AEC,
1-17
∴△EBF≌△EAC,∴∠EBF=∠A.
BF=AC=BD.
在△FBC和△DBC中,
FB=BD,BC=BC.
∴∠FBC=∠FBE+∠EBC.
=∠A+∠ACB.
∠DBC=∠A+∠ACB.
∴∠FBC=∠DBC.
∴△BCF≌△BCD.
∴CF=CD=2CE,故CE=
CD.
练习5
1.如图1-18,D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点,且AE=CD,连结BE、AD交于点P.过B作BQ⊥AD于Q,请说明BP是PQ的2倍.
1-18
2.如图1-19,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE,那么CE是BD的几分之几?
1-19
3.已知:
如图1-20,在△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们相交于H,且AE=BE,那么AH是BD的________倍.
1-20
答案:
练习1
1.解:
设∠DEC=x,
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED.
∴x=∠AEC-∠ADE=(∠B+30°)-∠ADE=(∠B+30°)-(∠C+x)
∵AB=AC,∴∠B=∠C
∴2x=30°,x=15°,故选C.
2.解:
∵AB=BB′,
∴∠BAB′=∠BB′A,∠B′BD=∠BAB′+∠BB′A=2∠BAB′.
又∠CBB′=∠DBB′,
∴∠ACB=∠CBB′+∠CB′B=3∠CAB.
设∠CAB=x,∴∠ACB=3x,∠CBD=4x,又AA′=AB,
∴∠A′=∠ABA′=∠CBD=4x.
∵AA′平分∠EAB.
∴∠A′AB=
(180°-x).
又∠A′AB=180°-(∠A′+∠ABA′)=180°-8x
∴
(180°-x)=180°-8x.
∴x=12°,故∠ACB=36°.
3.解:
如图,作△AED≌△BAC,连结EC.
则∠AED=∠BAC=20°,
∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°.
∴∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°.
又∵AB=AE=AC,
∴△ACE是正三角形,AE=EC=ED.
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°.
∴∠EDC=
(180°-∠DEC)=70°.
∴∠BDC=180°-(∠ADE+∠EDC)=30°.
练习2
1.解:
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,∴∠DEB=∠FEC=90°.
在Rt△DEB与Rt△FEC中,
∵∠B=∠C,∴∠BDE=∠F.
∵∠FDA=∠BDE,
∴∠FDA=∠F,故AD=AF.
2.解:
以AD为边在△ADB内作等边△ADE,连结BE.
则∠1=∠2=∠3=60°.
∴AE=ED=AD.
∵∠DAC=15°,
∴∠EAB=90°-∠1-∠DAC=15°.
∴∠DAC=∠EAB.
又∵DA=AE,AB=AC,
∴△EAB≌△DAC.
∴∠EBA=∠DCA=15°.
∴∠BEA=180°-∠EBA-∠EAB=150°.
∵∠BED=360°-∠BEA-∠AED=150°.
∴∠BEA=∠BED.
又∵EB=EB,AE=ED.
∴△BEA≌△BED,∴BD=BA.
故选择C.
3.解:
延长AD到G,使DG=AD,连结BG,
∵BD=DC,∠BDG=∠CDA,AD=DG,
∴△ADC≌△BDE.
∴AC=BG,∠G=∠EAF,
又∵BE=AC,∴BE=BG.
∴∠G=∠BED,而∠BED=∠AEF,
∴∠AEF=∠AFE,故FA=FE.
练习3
1.解:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=CA
∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.
又∵BD=AF=CE,
∴△ABD≌△BCE≌△CAF.
∴∠1=∠2=∠3.
∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠ACB-∠3.
即∠CAK=∠ABG=∠BCH.
又∵AB=BC=CA,
∴△ABG≌△BCH≌△CAK.
∴∠AGB=∠BHC=∠CKA.
即∠KGH=∠GHK=∠GKH.
故△GKH是等边三角形.
2.解:
由于△ABC与△CDE均为等边三角形,A、C、E三点共线,得知:
CA=CB,CD=CE,∠ACD=∠BCE,
故△ACD≌△BCE.
∴∠ADC=∠BEC,AD=BE.
又DM=
AD,EN=
BE,
∴△DCM≌△ECN.
∴∠DCM=∠ECN,CM=CN.
又∠ECN+∠NCD=∠ECD=60°,
∴∠NCM=∠MCD+∠NCD=60°.
∴△CMN是等边三角形.
3.解:
连结BP.
∵△ABC与△CDP均为等边三角形,
∴AC=BC,CD=CP,∠ACB=∠DCP=60°.
∴∠1=∠2,
∴△ADC≌△BPC.
∴∠CBP=∠DAC=60°.
∵∠RBP=∠RBA+∠ABC+∠CBP=60°+60°+60°=180°,
∴R、B、P三点共线.
又∵∠RAQ=∠RAB+∠BAC+∠CAQ=60°+60°+60°=180°,
∴R、A、Q三点共线.
而AQ=AE=AD=BP,
∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP.
又∠R=60°,∴△PQR是等边三角形.
故以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形.
练习4
1.解:
∵S△ACB=S△APB+S△APC,
即
AB·CF=
AB·PD+
AB·PE.
∴CF=PD+PE.
2.解:
∵AC=AB,∠CAE=∠BAD,AE=AD,
∴△AEC≌△ADB.
∴CE=BD.
又∵BD=BC+CD=AC+CD.
∴CE=AC+CD.
3.解:
∵△ABC和△BDE均为等边三角形.
∴∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD,AB=BC,BE=BD.
∴△ABE≌△CBD.
∴AE=CD.又∵AB=AC,
∴AD=AC+CD=AB+AE.
练习5
1.解:
∵∠CAB=∠C=60°,AE=CD,AB=AC,∴△ADC≌△BEA,∴∠CAD=∠EBA.
又∠BPQ=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠CAD=60°,
∴在Rt△PQB中,∠PBQ=30°,
∴BP=2PQ.
2.解:
延长CE交BA的延长线于F,
∵∠1=∠2,∠BEC=∠BEF=90°,BE=BE,
∴△BEC≌△BEF.
∴BC=BF,CE=EF,
∴CE=
CF.
又∵∠2+∠3=90°,∠4+∠5=90°,∠3=∠4,
∴∠2=∠5,且AB=AC.
∴Rt△AFC≌Rt△ADB.
∴CF=BD.故CE=
BD.
3.解:
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=DC,∠DAC+∠C=90°.
又∵BE⊥AC,∴∠EBC+∠C=90°.
∴∠DAC=∠EBC.
在△AEH和△BEC中,
∵∠DAC=∠EBC,AE=BE.
∠AEH=∠BEC=90°,
∴△AEH≌△BEC,∴AH=BC.
又BC=2BD,故AH=2BD.
一、基础训练
1.如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,BD为∠ABC的平分线,则∠BDC=_____°.
(1)
(2)(3)
2.如图2,是由9个等边三角形拼成的六边形,若已知中间的小等边三角形的边长是a,则六边形的周长是_______.
3.如图3,一个顶角为40°的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,则∠1+∠2=________度.
4.如图4,在等腰直角△ABC中,∠B=90°,将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′,则∠BAC′等于________.
(4)(5)(6)
5.如图5,沿AC方向开山修渠,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=135°,BD=520米,∠D=45°,如果要使A、C、E成一直线,那么开挖点E离D的距离约为_______米(精确到1米).
6.等腰△ABC的底边BC=8cm,腰长AB=5cm,一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动,当点P运动到PA与腰垂直的位置时,点P运动的时间应为________.
7.如图6,等边△ABC,B点在坐标原点,C点的坐标为(4,0),点A关于x轴对称点A′的坐标为_______.
8.如图7,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=20°,且AE=AD,则∠CDE=________.
(7)(8)(9)
9.如图8,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=44°,CD⊥AB于D,则∠DCB等于()
A.44°B.68°C.46°D.22°
10.如图9,要在离地面5m处引拉线固定电线杆,使拉线和地面成60°角,若考虑既要符合设计要求,又要节省材料,则在库存的L1=5.2m,L2=6.2m,L3=7.8m,L4=10m的四种备用拉线材料中,拉线AC最好选用()
A.L1B.L2C.L3D.L4
11.如图10,在△ABC中,AB=AC,D为AC边上一点,且BD=BC=AD.则∠A等于()
A.30°B.36°C.45°D.72°
(10)(11)
12.同学们都玩过跷跷板的游戏.如图11所示,是一跷跷板的示意图,立柱OC与地面垂直,OA=OB.当跷跷板的一头A着地时,∠OAC=25°,则当跷跷板的另一头B着地时,∠AOA′等于()
A.25°B.50°C.60°D.130°
二、能力提升
13.如图,已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分,求它的底边长.
14.已知如图△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC到E使CE=CD.
试判断DB与DE之间的大小关系,并说明理由.
15.如图,△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:
①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.
(1)上述三个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形);
(2)选择第
(1)小题中的一种情况,证明△ABC是等腰三角形.
三、应用与探究
16.如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点.
(1)若AD=BE=CF,问△DEF是等边三角形吗?
试证明你的结论.
(2)若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?
试证明你的结论.
17、如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是△ABC内一点,
且∠DAC=∠DCA=15°,求证:
BD=BA.
18、如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:
AF=EF.
等腰三角形提高测试题
一、选择题
1.如图1,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3cm,则CD等于()
A.3cmB.4cmC.1.5cmD.2cm
(1)
(2)(3)
2.△ABC中AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于D,则图中的等腰三角形有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.如图2,△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作
DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论:
①△BDF和△CEF
都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周长等于AB与AC的和;
④BF=CF.其中正确的有()
A.①②③B.①②③④C.①②D.①
4.如图3,Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,角平分线AE交CD
于H,EF⊥AB于F,则下列结论中不正确的是()
A.∠ACD=∠BB.CH=CE=EFC.CH=HDD.AC=AF
二、填空题
5.△ABC中,∠A=65°,∠B=50°,则AB:
BC=_________.
6.已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,要使AD∥BC,
则△ABC的边一定满足________.
7.△ABC中,∠C=∠B,D、E分别是AB、AC上的点,AE=2cm,且DE∥BC,则AD=________.
8.一灯塔P在小岛A的北偏西25°,从小岛A沿正北方向前进30
海里后到达小岛,此时测得灯塔P在北偏西50°方向,则P与小岛
B相距________.
三、解答题
9.如图,已知AB=AC,E、D分别在AB、AC上,
BD与CE交于点F,且∠ABD=∠ACE,求证:
BF=CF.
10.如图,△ABC中BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC于F交BC于E,
求证:
△DBE是等腰三角形.
11.如图,AF是△ABC的角平分线,BD⊥AF交AF的延长线于D,DE∥AC交AB于E,
求证:
AE=BE.