学年高一物理教科版必修1学案第一章 第11讲 习题课二匀变速直线运动规律的综合应用.docx

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学年高一物理教科版必修1学案第一章第11讲习题课二匀变速直线运动规律的综合应用

第11讲　习题课

（二）：

匀变速直线运动规律的综合应用

[目标定位]　1.会分析简单的追及和相遇问题.2.理解直线运动的x－t图像和v－t图像．

运动图像

（1）x－t图像：

表示做直线运动物体的位移随时间变化的规律．图像的斜率表示该时刻物体的速度．

（2）v－t图像：

表示做直线运动物体的速度随时间变化的规律．图像的斜率表示该时刻物体的加速度，图像与时间轴所围的面积表示物体的位移.

一、追及和相遇问题

追及和相遇问题是匀变速直线运动规律的典型应用．两物体在同一直线上运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者是距离为零的情况，这类问题称为追及和相遇问题，讨论追及和相遇问题的实质是，两物体能否在同一时刻到达同一位置．

1．讨论追及和相遇问题要抓住一个条件、两个关系．

（1）一个条件：

速度相等．这是两物体是否追上（或相撞）、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点．

（2）两个关系：

时间关系和位移关系．通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口．

2．常用方法

（1）物理分析法：

抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系．

（2）图像法：

将两者的速度—时间图像在同一坐标系中画出，然后利用图像求解．

（3）数学极值法：

设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，说明追不上或不能相碰．

例1

　一辆汽车以3m/s2的加速度开始启动的瞬间，另一辆以6m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过．

（1）汽车一定能追上自行车吗？

若能追上，汽车经多长时间追上？

追上时汽车的瞬时速度多大？

（2）汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？

最远距离是多大？

解析　

（1）因为汽车做加速运动，故汽车一定能追上自行车．汽车追上自行车时，两者位移相等，

x汽＝x自，即

at2＝v自t，得：

t＝

＝

s＝4s

v汽＝at＝3×4m/s＝12m/s.

（2）开始阶段，v汽v自，两者距离又逐渐减小．所以当v汽＝v自时，两者距离最大．

设经过时间t1，汽车速度等于自行车速度，则at1＝v自，

代入得t1＝2s

此时x自′＝v自t1＝6×2m＝12m

x汽′＝

at

＝

×3×22m＝6m

最大距离Δx＝x自′－x汽′＝6m.

答案　见解析

针对训练1　2013年冬季河北地区出现严重的雾霾天气，能见度很低，给交通带来很大的障碍．已知A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度v1＝10m/s，B车在后，速度v2＝30m/s，B车在距A车x0＝75m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过x＝180m才能停下来．

（1）B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？

（2）若相撞，求B车从开始刹车到两车相撞用多少时间？

若不相撞，求两车的最小距离？

答案　

（1）两车会相撞　

（2）6s时相撞

解析　

（1）设B车加速度大小为aB，刹车至停下来的过程中，由v

＝2aBx

解得：

aB＝2.5m/s2

B车在t时刻的速度为vB＝v2－aBt

B车的位移xB＝v2t－

aBt2

A车的位移xA＝v1t

当两车速度相等时，vB＝v1

解得：

t＝8s

将t＝8s代入得xB＝160m，xA＝80m

因xB＞xA＋x0＝155m，故两车会相撞

（2）设两车经历时间t′相撞，则满足xB′＝xA′＋x0

联立得：

t1＝6s，t2＝10s（不符合题意，舍去）

故6s就相撞了．

二、运动图像问题

在运动学中，图像主要是指x－t图像和v－t图像．

1．x－t图像：

图像上某点（或切线）的斜率表示该时刻物体的速度，图像上一个点对应物体某一时刻的位移．

2．v－t图像：

图像上某点（或切线）的斜率表示该时刻物体的加速度，图像上一个点对应物体某一时刻的速度；某段时间，图线与时间轴围成图形的面积值表示该段时间内物体通过的位移的大小．

3．形状一样的图线，在不同图像中所表示的物理意义不同，因此在应用时要特别注意看清楚图像的纵、横轴所描述的是什么物理量．

例2

　如图1所示，表示一质点在6s内的x－t图像，试据此分析质点的运动情况并画出它的v－t图像．

解析　x－t图像上直线斜率表示速度，所以

0～2s的速度v1＝

＝3m/s图1

2～4s的速度v2＝0

4～6s的速度v3＝

＝－6m/s

质点的运动情况：

0～2s内做匀速直线运动，速度大小为3m/s，2s末离开出发点6m；2～4s内物体静止于离出发点6m处；4～5s质点反方向做匀速直线运动，速度大小为6m/s,5s末回到出发点，5～6s质点继续以6m/s的速度反方向做匀速直线运动，6s末位移为－6m．v－t图像如图所示．

答案　见解析

图2

针对训练2　若将图1中的纵坐标由“x”改为“v”，即如图2所示．

（1）试分析各段的运动情况；

（2）画出它的a－t图像．

答案　

（1）0～2s内做正方向的匀加速直线运动；在2～4s内做匀速直线运动；4～5s内做正方向的匀减速直线运动，5s末速度减为0,5～6s内做负方向的匀加速直线运动．

（2）见解析

解析　质点在0～2s内加速度a1＝

＝

m/s2＝3m/s2，方向为正方向，做匀加速直线运动；在2～4s内加速度a2＝0，做匀速直线运动；在4～6s内加速度不变，a3＝

＝

m/s2＝－6m/s2，方向为负方向，这段时间内质点先做正方向的匀减速直线运动，5s末速度减为0,5～6s内做负方向的匀加速直线运动．

（2）如图所示．

针对训练3　在如图3所示的位移—时间（x－t）图像和速度—时间（v－t）图像中，给出的四条图线甲、乙、丙、丁分别代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是（　　）

图3

A．t1时刻，乙车追上甲车

B．0～t1时间内，甲、乙两车的平均速度相等

C．丙、丁两车在t2时刻相遇

D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等

答案　AB

解析　它们由同一地点向同一方向运动，在t1时刻前，甲的位移大于乙的位移，在t1时刻甲、乙位移相等，则A正确；在t1时刻两车的位移相等，由

＝

，甲、乙两车0～t1时间内平均速度相等，B正确；由图像与时间轴围成的面积表示位移可知：

丙、丁两车在t2时刻面积差最大，所以相距最远，C错误；0～t2时间内，丙的位移小于丁的位移，时间相等，平均速度等于位移除以时间，所以丙的平均速度小于丁的平均速度，故D错误.

追及和相遇问题

1．当交叉路口的绿灯亮时，一辆客车以a＝2m/s2的加速度由静止启动，在同一时刻，一辆货车以10m/s的恒定速度从客车旁边同向驶过（不计车长），则：

（1）客车追上货车时离路口多远？

（2）在客车追上货车前，两车的最大距离是多少？

答案　

（1）100m　

（2）25m

解析　

（1）客车追上货车的过程中，两车所用时间相等，位移也相等，即v2t1＝

at

，

代入数据解得t1＝10s，

x＝

at

＝

×2×102m＝100m.

（2）两车距离最大时，两车应具有相等的速度，即v2＝at2，代入数据解得t2＝5s.

Δx＝v2t2－

at

＝10×5m－

×2×52m＝25m.

运动图像问题

2．某物体沿水平方向做直线运动，其v－t图像如图4所示，规定向右为正方向，下列判断正确的是（　　）

图4

A．在0～1s内，物体做曲线运动

B．在1～2s内，物体向左运动，且速度大小在减小

C．在1～3s内，物体的加速度方向向左，大小为4m/s2

D．在3s末，物体处于出发点右方

答案　CD

解析　运动图像只能表示直线运动，1～2s内，物体向右运动；1～3s内，由斜率可知物体的加速度方向向左，大小为4m/s2；由图像面积可知在3s内，物体为正位移．

3．我国“蛟龙号”深潜器经过多次试验，终于在2012年6月24日以7020m深度创下世界最新纪录（国外最深不超过6500m），这预示着它可以征服全球99.8%的海底世界．在某次实验中，深潜器内的显示屏上显示出的深度曲线如图5（a）所示、速度图像如图（b）所示，则下列说法中正确的是（　　）

图5

A．图中h3是本次实验下潜的最大深度

B．本次实验中深潜器的最大加速度是0.025m/s2

C．在3～4min和6～8min的时间段内深潜器具有向上的加速度

D．在6～10min时间段内深潜器的平均速度为0

答案　AC

解析　根据（a）深度显示，可以直接看出蛟龙号下潜的最大深度是h3，A正确；根据速度—时间图像可以求出各时间段蛟龙号的加速度，

0～1min内蛟龙号的加速度

a1＝

＝－

m/s2；

3～4min内d的加速度

a2＝

＝

m/s2；

6～8min内加速度a3＝

＝

m/s2；

8～10min内的加速度a4＝

＝－

m/s2；

所以此过程中蛟龙号的最大加速度为

m/s2≈0.0333m/s2，B错误；

3～4min和6～8min的时间段内潜水器的加速度方向向上，C正确；

6～10min时间段内潜水器在向上运动，位移不为零，所以平均速度不为零，D错误．故选A、C.

（时间：

60分钟）

题组一　运动图像问题

1．甲、乙两位同学进行百米赛跑，假如把他们的运动近似当做匀速直线运动来处理，他们同时从起跑线起跑，经过一段时间后他们的位置如图1所示，分别作出在这段时间内两人运动的位移x、速度v与时间t的关系图像，正确的是（　　）

图1

答案　B

解析　由题图可知，在相同时间内乙的位移大于甲，说明乙的速度大于甲，B正确．

2．如图2所示，为一质点从t＝0起做初速度为零的匀加速直线运动的位移—时间图像，图中虚线为经过t＝4s时图线上该点的切线，交时间轴于t＝2s处，由此可知该质点的加速度大小为（　　）

图2

A．3m/s2B.

m/s2

C.

m/s2D.

m/s2

答案　C

解析　x－t图线的斜率等于物体的速度，不是加速度，故A不正确．

3．质点做直线运动的速度—时间图像如图3所示，该质点（　　）

图3

A．在第1秒末速度方向发生了改变

B．在第2秒末加速度方向发生了改变

C．在前2秒内发生的位移为零

D．第3秒和第5秒末的位置相同

答案　D

4．某同学以校门口为原点，向东方向为正方向建立坐标，记录了甲、乙两位同学的位移—时间（x－t）图线，如图4所示，下列说法中正确的是（　　）

图4

A．在t1时刻，甲的瞬时速度为零，乙的速度不为零

B．在t2时刻，甲、乙速度可能相同

C．在t2时刻，甲、乙两同学相遇

D．在t3时刻，乙的速度为零，加速度不为零

答案　C

解析　因为x－t图线的斜率等于物体的速度，所以在t1时刻，甲的瞬时速度不为零，乙的速度为零，A错误；在t2时刻，甲、乙速度方向不相同，所以速度不可能相同，B错误；在t2时刻，甲、乙两同学位置相同，所以两同学相遇，C正确；在t3时刻，乙的位移为零，速度不为零，加速度无法判断，D错误．

5．物体甲的x－t图像和物体乙的v－t图像分别如图5所示，则这两物体的运动情况是（　　）

图5

A．甲在整个t＝6s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4m

B．甲在整个t＝6s时间内有来回运动，它通过的总位移为零

C．乙在整个t＝6s时间内有来回运动，它通过的总位移为零

D．乙在整个t＝6s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4m

答案　AC

解析　由图像可知，物体甲做匀速直线运动，所以在整个t＝6s时间内运动方向一直不变，它的位置从x1＝－2m到x2＝2m，所以它通过的总位移大小为4m；乙先向负方向做减速运动，速度减到零后再向正方向做加速运动，t＝6s末回到出发点，位移为零．A、C正确．

6．甲、乙两个质点同时同地点向同一方向做直线运动，它们的v－t图像如图6所示．则（　　）

图6

A．2s后乙比甲运动得快

B．在2s末乙追上甲

C．4s内甲的平均速度大于乙的平均速度

D．乙追上甲时距出发点40m

答案　AD

解析　观察v－t图像，2s后乙的速度大于甲的速度，选项A对．前2s，甲的速度一直大于乙的速度，2s末甲、乙速度相等，2s末二者距离最大，选项B错．v－t图像的面积代表位移，4s内甲、乙的位移相同，时间相同，所以平均速度相同，选项C错.4s末甲、乙位移都为40m，此时乙刚好追上甲，选项D对．

7．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图像中（如图7所示），直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20s的运动情况．关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是（　　）

图7

A．在0～10s内两车逐渐靠近

B．在10～20s内两车逐渐远离

C．在5～15s内两车的位移相等

D．在t＝10s时两车在公路上相遇

答案　C

解析　t＝0时刻甲、乙在同一地点，在此后的0～10s内，乙车速度大于甲车速度，乙车在前，而且两车距离逐渐变大，A错；t＝10s时甲、乙速度相等，此时甲、乙距离最大，D错；在10～20s内甲车速度大于乙车速度，甲车逐渐靠近乙车，B错；速度—时间图像与时间轴所围成的面积代表位移，时间轴上面的部分表示位移为正，时间轴下面的部分表示位移为负，据图判断5～15s内两车位移相等，C对．

题组二　追及和相遇问题

8．A与B两个质点向同一方向运动，A做初速度为零的匀加速直线运动，B做匀速直线运动．开始计时时，A、B位于同一位置，则当它们再次位于同一位置时（　　）

A．两质点速度相等

B．A与B在这段时间内的平均速度相等

C．A的瞬时速度是B的2倍

D．A与B的位移相同

答案　BCD

解析　设A的加速度为a，B的速度为v，经过时间t，A、B再次位于同一位置，由题意可得

at2＝vt，t＝

，故此时A的速度v′＝at＝2v，所以A错误，C正确；由题意知A、B在t时间内位移相同，根据平均速度的定义式

＝

，可知A与B在这段时间内的平均速度相等，所以B、D正确．

9．甲车以加速度3m/s2由静止开始做匀加速直线运动，乙车落后2s在同一地点由静止出发，以加速度4m/s2做匀加速直线运动，两车速度方向一致．在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是（　　）

A．18mB．24mC．22mD．28m

答案　B

解析　乙车从静止开始做匀加速运动，落后甲2s，则开始阶段甲车在前．当乙车速度小于甲车的速度时，两者距离增大；当乙车速度大于甲车的速度时，两者距离减小，则当两车速度相等时，两车间距离最大．即：

a甲（t乙＋2）＝a乙t乙，得：

t乙＝6s；两车距离的最大值为Δx＝x甲－x乙＝

a甲（t乙＋2）2－

a乙t

＝24m，故选B.

10．如图8所示，A、B两物体在同一直线上运动，当它们相距x＝7m时，A正以4m/s的速度向右做匀速运动，而此时物体B的速度为10m/s，向右做匀减速运动，加速度大小为2m/s2，则A追上B所用的时间为（　　）

图8

A．6sB．7s

C．8sD．9s

答案　B

解析　据题意可得10t－

×2t2＝4t－7，解得t＝7s或t＝－1s（舍去）．故选B.

11．在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t＝0时同时经过某一个路标，它们位移x（m）随时间t（s）变化规律为：

汽车为x＝10t－

t2（m），自行车为x＝6t（m），则下列说法正确的是（　　）

A．汽车做匀减速直线运动，自行车做匀速直线运动

B．不能确定汽车和自行车各做什么运动

C．开始经过路标后较短时间内自行车在前，汽车在后

D．当自行车追上汽车时，它们距路标96m

答案　AD

解析　根据两者位移x随时间t变化规律表达式可知，汽车做初速度为v0＝10m/s，加速度大小为a＝0.5m/s2的匀减速直线运动，自行车做速度为v＝6m/s的匀速直线运动，故A正确，B错误；由于v0＞v，所以开始经过路标后较短时间内汽车在前，自行车在后，故C错误；设汽车速度减少至零所用时间为t0，由t0＝

，得t0＝20s，当自行车追上汽车时，设经过的时间为t，则有：

10t－

t2＝6t，解得：

t＝16s＜t0，符合情境，此时两者的位移为x＝96m，故D正确．

12．如图9所示，甲、乙两车沿着同一条平直公路同向行驶，甲车以20m/s的速度做匀速直线运动，乙车原来速度为4m/s，从距甲车128m处以大小为1m/s2的加速度做匀加速直线运动，问：

乙车经多长时间能追上甲车？

图9

答案　38.6s

解析　设经时间t乙车追上甲车．在这段时间内甲、乙两车位移分别为

x甲＝v甲t＝20t，x乙＝v乙t＋

at2＝4t＋

t2

追上时的位移条件为x乙＝x甲＋x0，即4t＋

t2＝20t＋128

整理得：

t2－32t－256＝0，解得t1≈38.6s，t2≈－6.6s（舍去）．

13．晚间，甲火车以4m/s的速度匀速前进，当时乙火车误入同一轨道，且以20m/s的速度追向甲车，当乙车司机发现甲车时两车相距仅125m，乙车立即制动，已知以这种速度前进的火车制动后需经过200m才能停止．

（1）问是否会发生撞车事故？

（2）若要避免两车相撞，乙车刹车的加速度至少应为多大？

答案　

（1）会　

（2）1.024m/s2

解析　

（1）乙车制动时的加速度：

a＝

＝

m/s2＝－1m/s2

当甲、乙两车速度相等时有：

v甲＝v乙＝v0＋at，解得t＝16s，

此过程甲车位移x甲＝v甲t＝64m，

乙车位移x乙＝

t＝192m，

由于x甲＋125m

所以两车会发生撞车事故．

（2）两车不相撞的临界条件是到达同一位置时两车的速度相同

则125＋v甲t0＝v0t0＋

a0t

，v甲＝v0＋a0t0

代入数据解得t0＝15.625s，a0＝－1.024m/s2

即为使两车不相撞，乙车刹车的加速度至少为1.024m/s2.