四年级奥数教程.docx

四年级奥数教程.docx

《四年级奥数教程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四年级奥数教程.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

四年级奥数教程

四年级奥数教程

王梓梦：

奥数基础教程

例1四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：

解：

选基准数为450，则

-1-

累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50，

平均每块产量=450＋50÷10＝455（千克）。

答：

平均每块麦田的产量为455千克。

求一位数的平方，在乘法口诀的小学奥数基础教程（四年级）

第1讲速算与巧算

（一）86，78，77，83，91，74，92，第2讲速算与巧算

（二）69，84，75。

第3讲高斯求和求这10名同学的总分。

第4讲4，8，9整除的数的特征分析与解：

通常的做法是将这10个数第5讲弃九法直接相加，但这些数杂乱无章，直接第6讲数的整除性

（二）相加既繁且易错。

观察这些数不难发第7讲找规律

（一）第8讲找规律

（二）第9讲数字谜

（一）第10讲数字谜

（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题

第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法

（一）第15讲盈亏问题与比较法

（二）第16讲数阵图

（一）第17讲数阵图

（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理

（一）第21讲加法原理

（二）第22讲还原问题

（一）第23讲还原问题

（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题

（一）第27讲逻辑问题

（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理

（一）第30讲抽屉原理

（二）

第1讲速算与巧算

（一）

计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。

准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

现，这些数虽然大小不等，但相差不大。

我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：

6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。

于是得到

总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。

实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。

为了清楚起见，将这一过程表示如下：

通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。

例1所用的方法叫做加法的基准数法。

这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。

作为“基准”的数（如例1的80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。

由例1得到：

总和数=基准数×加数的个数+累计差，

平均数=基准数+累计差÷加数的个数。

在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。

同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。

例2某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：

千克）：

462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。

求平均每块麦田的产量。

九九表中已经被同学们熟知，如7×7＝49（七七四十九）。

对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。

有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？

这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。

所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。

下面通过例题来说明这一方法。

例3求292

和822

的值。

解：

292

=29×29

＝（29＋1）×（29-1）＋12＝30×28＋1＝840+1＝841。

822＝82×82

＝（82－2）×（82＋2）＋22

＝80×84＋4＝6720+4＝6724。

由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。

因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。

本例中，给一个29补1，就要给另一个29减1；给一个82减了2，就要给另一个82加上2。

最后，还要加上“移多补少”的数的平方。

由凑整补零法计算352

，得35×35＝40×30＋52=1225。

这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。

这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。

例4求9932

和20042

的值。

解：

9932

=993×993

＝（993＋7）×（993-7）+72

＝1000×986＋49＝986000＋49＝986049。

20042

=2004×2004

＝（2004-4）×（2004+4）＋42＝2000×2008＋16＝4016000＋16＝4016016。

下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。

请看下面的算式：

66×46，73×88，19×44。

这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。

这类算式有非常简便的速算方法。

例588×64＝？

分析与解：

由乘法分配律和结合律，得到88×64

＝（80＋8）×（60＋4）＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4＝80×（60＋6＋4）＋8×4＝80×（60＋10）＋8×4＝8×（6＋1）×100+8×4。

于是，我们得到下面的速算式：

由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为8×4；积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积，本例为8×（6＋1）。

例677×91＝？

解：

由例3的解法得到

王梓梦：

奥数基础教程

由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例为7×1＝07。

用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。

练习1

1.求下面10个数的总和：

165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。

2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为（单位：

厘米）：

26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。

求这批麦苗的平均高度。

3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：

68，91，84，75，78，81，83，72，79。

他们共加工了多少个零件？

4.计算：

13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。

5.计算下列各题：

（1）372

；

（2）532

；（3）912；（4）682

：

（5）1082

；（6）3972

。

6.计算下列各题：

（1）77×28；

（2）66×55；（3）33×19；（4）82×44；（5）37×33；（6）46×99。

练习1答案

1.1596。

2.26厘米。

3.711个。

4.147。

5.

（1）1369；

（2）2809；（3）8281；

（4）4624；（5）11664；（6）157609。

6.

（1）2156；

（2）3630；（3）627；

（4）3608；（5）1221；（6）4554。

第2讲速算与巧算

（二）

-2-

上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。

两个数之和等于10，则称这两个数互补。

在整数乘法运算中，常会遇到像72×78，26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。

72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。

计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。

例1

（1）76×74＝？

（2）31×39＝？

分析与解：

本例两题都是“头相同、尾互补”类型。

（1）由乘法分配律和结合律，得到76×74

＝（7＋6）×（70+4）

＝（70＋6）×70＋（7＋6）×4＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4＝70×（70＋6＋4）＋6×4＝70×（70＋10）＋6×4

＝7×（7+1）×100＋6×4。

于是，我们得到下面的速算式：

（2）与

（1）类似可得到下面的速算式：

由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如1×9＝09），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1的乘积。

“同补”速算法简单地说就是：

积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×（头+1）”。

我们在三年级时学到的15×15，25×25，…，95×95的速算，实际上就是“同补”速算法。

例2

（1）78×38＝？

（2）43×63＝？

分析与解：

本例两题都是“头互补、尾相同”类型。

（1）由乘法分配律和结合律，得到78×38

＝（70＋8）×（30＋8）＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8＝70×30+8×30＋70×8＋8×8＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8＝7×3×100＋8×100＋8×8＝（7×3＋8）×100＋8×8。

于是，我们得到下面的速算式：

（2）与

（1）类似可得到下面的速算式：

由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3×3＝09），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。

“补同”速算法简单地说就是：

积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”。

例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。

当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？

我们先将互补的概念推广一下。

当两个数的和是10，100，1000，…时，这两个数互为补数，简称互补。

如43与57互补，99与1互补，555与445互补。

王梓梦：

奥数基础教程

在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。

例如

，因为被乘数与乘

数的前两位数相同，都是70，后两位数互补，77＋23＝100，所以是“同补”型

。

又

如，

等都是“同补”型。

当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。

例如，

等都是

“补同”型。

在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。

例3

（1）702×708=？

（2）1708×

1792＝？

解：

（1）

（2）

计算多位数的“同补”型乘法时，将“头×（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。

注意：

互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”。

在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例2的方法仍然适用（见例4）；如果“补”与“同”的位数不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。

-3-

例42865×7265＝？

解：

练习2

计算下列各题：

1.68×62；2.93×97；3.27×87；4.79×39；5.42×62；6.603×607；

7.693×607；8.4085×6085。

第3讲高斯求和

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：

1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？

原来小高斯通过细心观察发现：

1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50

对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为

（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后

项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：

（1）1，2，3，4，5，…，100；

（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。

其中

（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；

（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

和=（首项+末项）×项数÷2。

例11＋2＋3＋…＋1999＝？

分析与解：

这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得

原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：

利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例211＋12＋13＋…＋31＝？

分析与解：

这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

根据首项、末项、公差的关系，可以得到

项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）。

例33＋7＋11＋…＋99＝？

分析与解：

3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，

项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

例4求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。

解：

末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。

利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。

例5在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。

问：

（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？

（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？

分析：

最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：

王梓梦：

奥数基础教程

由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。

解：

（1）最大三角形面积为（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）。

2）火柴棍的数目为3＋6＋9+…+24

＝（3＋24）×8÷2=108（根）。

答：

最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。

例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。

这时盒子里共有多少只乒乓球？

分析与解：

一只球变成3只球，实际上多了2只球。

第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。

因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋…＋10）＝2×55＝110（只）。

加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。

综合列式为：

（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。

练习3

1.计算下列各题：

（1）2＋4＋6＋…＋200；

（2）17＋19＋21＋…＋39；

（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。

2.求首项是5，末项是93，公差

是4的等差数列的和。

3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

-4-

4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。

问：

时钟一昼夜敲打多少次？

5.求100以内除以3余2的所有数的和。

6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？

第四讲

我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。

数的整除具有如下性质：

性质1如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性质2如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：

（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

其中

（1）

（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。

因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

这就证明了（4）。

类似地可以证明（5）。

（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

837＝800＋30＋7＝8×100＋3×10＋7

＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7＝8×99＋8＋3×9＋3＋7

＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。

因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除。

再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。

利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：

（4‘）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。

（5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。

（6＇）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。

例1在下面的数中，哪些能被4整除？

哪些能被8整除？

哪些能被9整除？

234，789，7756，8865，3728.8064。

解：

能被4整除的数有7756，3728，8064；

能被8整除的数有3728，8064；能被9整除的数有234，8865，8064。

例2在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？

解：

如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□

王梓梦：

奥数基础教程

应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；

如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。

根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。

例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。

同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。

例3从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。

解：

因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。

根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。

例4五位数

能被72整除，

问：

A与B各代表什么数字？

分析与解：

已知

能被72整

除。

因为72＝8×9，8和9是互质数，所以

既能被8整除，又能被

9整除。

根据能被8整除的数的特征，要求

能被8整除，由此可确定

B＝6。

再根据能被9整除的数的特征，

的各位数字之和为

A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，

-5-

因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。

在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。

解答例4的关键是把72分解成8×9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。

在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。

例5六位数

是6的倍数，

这样的六位数有多少个？

分析与解：

因为6＝2×3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。

由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值。

再由六位数能被3整除，推知3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B能被3整除，故2B能被3整除。

B可取0，3，6，9这4个值。

由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求A≠B，所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）。

例6要使六位数

能被36整

除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？

分析与解：

因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。

六位数

能被4整除，就要

能被4整除，

因此C可取1，3，5，7，9。

要使所得的商最小，就要使

这个六位数尽可能小。

因此

首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。

先试取A=0。

六位数

的各位数字之和为12＋B

＋C。

它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。

因为B，C应尽量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使尽