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数学建模论文
第八届研究生数学建模竞赛
青岛大学预选赛
题目商业网点的布局和选点问题
摘要：
随着社会的不断发展，各种经济效益成为我们追求的目标。
为了获取更高的利润，对于商业网点的精心布局选点成为必然，它需要我们考虑很多因素，比如地区人数，消费人数，及市民收入等。
针对此问题我们按先后及由浅入深的逻辑关系展开了对问题求解的思路，先假设商业网点的位置利用矩阵等数学工具进行科学分析，再对各个假设情况下消费人数和消费总额进行科学计算，通过计算分析找出最佳商业网点的位置。
针对问题一，利用矩阵模型将网点所在县（区）及其覆盖的县（区）表示出来，利用矩阵乘法及MATLAB编程就可以比较容易的解决，再利用模型筛选得出最佳结果；
针对问题二，根据问题一得出的结论，加上收入已知，消费额与收入成比例，由消费者收入与消费人数的乘积就可得出总消费额，经过筛选即能得出可使总消费达到最高的两个网点；
针对问题三，要求网点在各区县的消费人数比较均衡的前提下，网点利用率尽可能高，我们首先假设在不考虑各县（区）消费人数均衡的条件下，设立网点的位置与个数，根据题目给出的网点效用率公式，可以精确的计算得出结果，经过筛选得到具体设立网点的位置与个数，然后再加上各县（区）消费人数均衡这个条件，逐一进行网点的筛选与分配，得出最佳的网点位置。
在此模型设立与问题分析解决中，我们用到了矩阵分析法,布局选点筛选法和MATLAB编程,使得复杂问题得以简化，有很高的利用价值。
关键词：
商业网点布局选点矩阵MATLAB
参赛队号4
目录
一问题重述3
二模型假设4
三符号说明4
四模型建立与求解5
4.1、问题一5
4.2、问题一结论7
4.3、问题二7
4.4、问题二结论8
4.5、问题三8
4.6、问题三结论10
附录11
参考文献11
商业网点的布局和选点问题
一问题重述
某公司要在城市X建若干个商业网点。
该城市的区和县的分布如图1所示。
图1：
城市X的区县分布图
城市X的各区县的人口数和人均年收入如表1：
表1：
各区县的人口数和人均年收入
区县
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
人数（千人）
450
432
570
204
157
183
194
380
586
604
477
471
270
收入（千元）
20
23
30
54
57
48
45
39
33
30
19
28
18
据测算，如果在某个县（区）设立网点，则该县（区）50%人口和与之相邻的县（区）的10%的人口成为网点的消费人群。
（1）建立数学模型分析：
如果只设立两个网点，这两个网点设在哪些县（区），可使得总消费人数最多（每个县区的消费人群最多不超过75%）？
（2）如果消费者的消费额与其收入成比例，这两个网点设在哪里总消费额最高？
（3）设立网点的效率用
描述，其中K是网点个数，
。
建立数学模型分析在多少个县（区）设立网点，网点设在哪些县（区），可以在各区县的消费人数比较均衡的前提下，网点利用率尽可能高？
二模型假设
1、研究区域封闭，即假设不会再有其他地区的人进入。
2、除了要求设立的网点，不能出现其他网点，影响各县（区）消费比例。
3、消费者的消费额与其收入成比例。
4、只有本县（区）和邻区的人去本县（区）的网点消费。
5、所有的社会秩序良好，没有任何引起社会恐慌的恶性事件发生导致公众不敢出门到网点消费。
三符号说明
a：
网点所在县（区）及其覆盖的县（区）所组成矩阵
b：
网点所在县（区）及其覆盖的县（区）消费人群所占比例组成的矩阵
c：
各县（区）人数矩阵
d：
网点消费人数矩阵
e：
网点的效率
f：
各县（区）人数的75%所组矩阵
g：
地区年总收入矩阵
h：
各地区总消费额矩阵
k：
所选网点个数
p：
网点总消费人数d的降序排列
s：
不同k个商业网点消费总人数的最大值
四模型建立与求解
4.1、问题一：
建立矩阵a将网点所在县（区）及其覆盖的县（区）表示出来，在矩阵a中，行表示商业网点所选县（区），列表示城市X的各个县（区）。
其中矩阵主对角线位置表示在该县（区）建立商业网点，将其记为1；对除主对角线外其它位置，若商业网点所在县（区）与某县（区）相邻，则在矩阵的相应位置上添“1”，否则添“0”，最终，得到一个13×13的方阵。
a=1100000001100
1111100001000
0111000100000
0111101100000
0101111000000
0000111011010
0001111110000
0011001110000
0000011110010
1100010001110
1000000001111
0000010011111
0000000000111
根据题目要求，如果在某个县（区）设立网点，则该县（区）50%人口和与之相邻的县（区）的10%的人口成为网点的消费人群。
即a方阵中主对角线对应县（区）50%人口成为网点的消费人群，除主对角线外元素1所对应县（区）10%的人口成为网点的消费人群。
为便于MATLAB计算，我们由a得到对应矩阵b如下：
b=0.50.10.00.00.00.00.00.00.00.10.10.00.0
0.10.50.10.10.10.00.00.00.00.10.00.00.0
0.00.10.50.10.00.00.00.10.00.00.00.00.0
0.00.10.10.50.10.00.10.10.00.00.00.00.0
0.00.10.00.10.50.10.10.00.00.00.00.00.0
0.00.00.00.00.10.50.10.00.10.10.00.10.0
0.00.00.00.10.10.10.50.10.10.00.00.00.0
0.00.00.10.10.00.00.10.50.10.00.00.00.0
0.00.00.00.00.00.10.10.10.50.00.00.10.0
0.10.10.00.00.00.10.00.00.00.50.10.10.0
0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.10.50.10.1
0.00.00.00.00.00.10.00.00.10.10.10.50.1
0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.10.10.5
各县（区）的消费人数组成矩阵c如下：
c=
450
432
570
204
157
183
194
380
586
604
477
471
270
利用MATLAB编程实现矩阵乘法d=b×c[2]，d中元素为不考虑“每个县区的消费人群最多不超过75%”的情况下商业网点建在各个县（区）时的消费人数，然后考虑条件“每个县区的消费人群最多不超过75%”，具体做法为，取f=c×75%与d中对应元素进行比较，若d>f，则d中元素由f中对应的元素取代，否则d中元素不变由此得到矩阵d1。
程序f1见附录，最后d1的仿真图如下[1]：
图2各地区消费人数d1仿真图
4.2、问题一结论：
由矩阵计算及MATLAB仿真计算结果可知，针对问题一的要求，网点设立在J、I这两个县（区）可使总消费人数最多。
4.3、问题二：
去掉条件“每个县区的消费人群最多不超过75%”，考虑消费者的消费额与收入成比例，把消费者收入与消费人数的乘积转化为地区年总收入与对应消费比例的乘积，即可得出总消费额，经过筛选即能得出可使总消费额达到最高的两个网点。
各地区年总收入如表2所示：
表2：
各地区人数、人均年收入及年总收入
区县
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
人数（千人）
450
432
570
204
157
183
194
380
586
604
477
471
270
收入（千元）
20
23
30
54
57
48
45
39
33
30
19
28
18
地区年总收入
9000
9936
17100
11016
8949
8784
8730
14820
19338
18120
9063
13188
4860
将各地区年总收入构成矩阵g：
g=
9000
9936
17100
11016
8949
8784
8730
14820
19338
18120
9063
13188
4860
各地区总消费额用矩阵h表示，则h可用网点所在县（区）及其覆盖的县（区）消费人群所占比例组成的矩阵b与各地区年总收入矩阵g的乘积，即h=b×g[2]。
h=
8212
11386
12127
11462
8321
11224
10656
13028
14221
14057
9048
12611
4655
对h用MATLAB仿真，仿真结果如图3所示：
图3总消费额h的仿真结果
4.4、问题二结论：
根据计算及仿真结果可以筛选出针对问题二提出的条件在B、F两县（区）建立商业网点可使总消费额最高。
4.5、问题三：
要求网点在各区县的消费人数比较均衡的前提下，网点利用率尽可能高，我们首先假设在不考虑各县（区）消费人数均衡的条件下，设立网点的位置与个数。
我们用MATLAB实现网点总消费人数d按降序排列，得到矩阵p如下：
p=
503.3
447.5
418.0
415.8
414.5
386.6
376.3
345.4
292.7
275.3
248.0
229.8
179.8
然后根据k依次取1、2、3……时计算出不同k个商业网点消费总人数的最大值，用矩阵s表示，程序f2见附录。
s=
503.3
950.8
1368.8
1784.6
2199.1
2585.7
2962.0
3307.4
3600.1
3875.4
4123.4
4353.2
4533.0
假设设立网点的个数分别为k=1、2、3……13，根据题目给出的网点效率公式
，计算出当k=1、2、3……13时e的值，计算结果如下：
e=
503.3000
509.5211
509.2498
512.4918
516.6209
515.5158
514.0399
508.9859
498.3062
487.8840
476.4332
465.0991
450.6472
程序f3见附录，并用MATLAB进行仿真，仿真结果如图4所示，由城市X的区县分布图可以清楚看出至少要在四个县（区）设立网点图中所有的县区才能被覆盖，再加上对矩阵e的仿真结果可知，当k=4、5、6、7、8时e值比较大，然后再考虑各县（区）消费人数均衡这个条件，用公式
，分别计算出当k=4、5、6、7、8时e的最优利用率值。
4.6、问题三结论：
经最后分析得出设立四个网点这四个网点分别设在J、L、I、B时得到最佳的网点利用率。
网点效率仿真图如下：
图4：
网点效率仿真图
附录
程序f1，实现在地区消费人数与地区总人数的75%比较，使消费人数最多不超过地区总人数的75%[1]
>>fori=1:
13
if（d（i,1）>f（i,1））
d（i,1）=f（i,1）;
end
end
程序f2，实现k依次取1、2、3……时计算出不同k个商业网点消费总人数的最大值[1]
>>s（1,1）=p（1,1）;
>>fork=2:
13
fori=2:
k
s（i,1）=s（i-1,1）+p（i,1）;
end
end
程序f3，实现效率计算[1]
>>fork=1:
13
e（k,1）=s（k,1）/（k^0.9）;
end
参考文献
[1]郑恩让聂诗良，控制系统仿真，北京：
中国林业出版社、北京大学出版社，2008
[2]徐仲张凯院，矩阵论简明教程，北京：
科学出版社，2008
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