上海六年级数学讲义 一元一次一次方程的解法和应用.docx

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上海六年级数学讲义一元一次一次方程的解法和应用

主课题：

一元一次方程的解法及应用

教学目标：

1、理解一元一次方程的概念及有关概念和等式的基本性质性质；

2、掌握一元一次方程解法的基本步骤；

3、使学生了解如何列一元一次方程求解数字的问题；

4、进一步培养学生分析问题和解决问题的能力；

5、培养学生由算术解法过渡到代数解法的解方程的基本能力，渗透化未知为已知的重要数学思想。

教学重点：

1、一元一次方程的解法与运用；

2、正确掌握移项的方法解方程；

3、列一元一次方程解决实际问题。

教学难点：

1、一元一次方程的解法与运用；

2、正确掌握移项的方法解方程；

3、列一元一次方程解决实际问题。

考点及考试要求：

1、考点：

（1）一元一次方程的有关概念及其解法；

（2）一元一次方程的应用，比如相遇问题，工作效率问题。

二、考试要求：

（1）了解一元一次方程的相关概念；

（2）理解一元一次方程中解法的各个步骤；

（3）会根据实际问题列出一元一次方程。

知识精要

一、一元一次方程定义及解法：

1、一元一次方程的有关概念：

（1）一元一次方程：

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程。

（2）一元一次方程的标准形式是：

。

（3）一元一次方程的最简形式:

。

注意：

①任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误。

②方程与方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成。

2、等式的基本性质：

（1）等式的两边同时加上（或减去）或，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边同时乘以或除以，所得结果仍是等式。

3、解一元一次方程的基本步骤：

（1）去分母：

在方程的两边都乘以各分母的。

注意：

不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号。

（2）去括号：

一般地，先去，再去，最后去。

注意：

不要漏乘括号里的项，不要弄错符号。

（3）移项：

把含有的项都移到方程的一边，移到方程的另一边。

注意：

①移项要变号；②不要丢项。

（4）化为最简形式：

把方程化成的形式。

注意：

字母和其指数不变。

（5）系数化为1：

在方程的两边都除以未知数的系数（），得到方程的解。

注意：

不要把分子、分母搞颠倒。

2、一元一次方程的应用：

1、列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审题：

读懂题意，弄清题目中的数量关系；

（2）设出未知数，列出方程：

设出未知数后，表示出有关的含字母的式子；

（3）找出等量关系：

找出能够表示本题含义的相等关系；

（4）解方程：

解所列的方程，求出未知数的值；

（5）检验，写答案：

检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。

2、一元一次方程的应用中常碰到的几个问题:

（1）和差倍分问题

增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量

（2）数字问题

一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。

十位数可表示为，百位数可表示为。

然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。

（3）市场经济问题

①商品利润＝商品售价－商品成本价

②商品利润率＝×100%

③商品销售额＝商品销售价×商品销售量

④商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

⑤商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。

（4）行程问题

路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间

①相遇问题：

快行距＋慢行距＝原距

②追及问题：

快行距－慢行距＝原距

③航行问题：

顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。

（5）工程问题

工作量＝工作效率×工作时间

完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

（6）储蓄问题

利润＝×100%利息＝本金×利率×期数

热身练习

1、下列四个式子中，是方程的是（B）。

A、B、C、D、

2、下列说法正确的是（D）。

A、等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式。

B、等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式。

C、等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式。

D、一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式。

3、已知代数式与的值互为相反数，那么的值等于（D）。

A、－B、－C、D、

4、根据下列条件，能列出方程的是（A）。

A、一个数的2倍比8小3

B、与1的差的

C、甲数的3倍与乙数的的和

D、与的和的

5、一份数学试卷，只有25个选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，某同学做了全部试卷，得了70分，他一共做对了（C）。

A、17道B、18道C、19道D、20道

6、下列各式中：

①；②；③；④；⑤；

⑥；⑦；⑧．哪些是一元一次方程？

参考答案：

⑥⑦⑧

7、用适当的数或整式填空，使得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条性质，通过怎样变形得到的。

（1）如果，那么；（5）

（2）如果，那么=；（）

（3）如果，那么；（10）

（4）如果，那么。

（）

8、一个长方形的周长为26㎝,如果长减少1㎝,宽增加2㎝,就可成为一个正方形,设长方形的长为cm,则可列方程。

（）

9、已知三个连续的偶数的和为60，则这三个数是________。

（）

10、解方程

（1）

（2）

11、兄弟二人今年分别为15岁和6岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？

参考答案：

解：

设年后兄的年龄是弟的年龄的2倍，则可列方程

答：

3年后兄的年龄是弟的年龄的2倍。

精解名题

例1、解下列方程

（1）

（2）

例2、若关于的方程是一元一次方程，则的值为。

参考答案：

。

例3、当。

参考答案：

例4、某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费。

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求。

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦？

应交电费是多少元？

参考答案：

解：

（1）由题意可得下列方程：

（2）设九月份共用电千瓦时，则

解得

所以应缴电费0.36×90=32.40（元）

答：

（1）的值是60。

（2）九月份共用电90千瓦，应交电费32.40元。

备选例题

例1、已知是关于的一元一次方程，求的值。

参考答案：

例2、甲、乙两人骑车分别从A，B两地相向而行，已知甲、乙两人的速度比是2∶3，甲比乙早出发15分钟，再经过1小时45分钟遇见乙，此时甲比乙少走6千米，求甲、乙两人骑车的速度和A、B两地的距离？

参考答案：

解：

设甲的速度为，由题意可知乙的速度为。

则可列方程

所以乙的速度为千米/小时,相距的距离为千米。

巩固练习

1、选择题：

1、下列方程中，一元一次方程一共有（A）

①；②；③；④

A、1个B、2个C、3个D、4个

2、下列说法中，正确的是（D）

A、若，则B、若，则

C、若，则D、，则

3、要使代数式与的值互为相反数，是（D）

A、B、C、D、

4、甲班有54人，乙班有48人，要使甲班人数是乙班的2倍，设从乙班调往甲班人数，可列方程（A）

A、B、C、D、

5、已知关于的方程的解满足方程，则的值是（B）A、B、2C、D、3

6、在800米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑260米，两人同地、同时、同向起跑，分钟后第一次相遇，等于（C）

A、10分B、15分C、20分D、30分

7、已知甲组有28人，乙组有20人，则下列调配方法中，能使一组人数为另一组人数的一半的是（D）

A、从甲组调12人去乙组

B、从乙组调4人去甲组

C、从乙组调12人去甲组

D、从甲组调12人去乙组，或从乙组调4人去甲组

8、解下列方程：

（1）

（2）

参考答案：

（1）

（2）

9、方程是一元一次方程，求的值。

参考答案：

10、已知是关于的一元一次方程，求这个方程式的解。

参考答案：

由题意可知，

解得代入方程

解出

11、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。

问这种鞋的标价是多少元？

优惠价是多少？

解：

设鞋的标价为元，则可列出下列方程。

解得

则优惠价为（元）

答：

这种鞋的标价是105元，优惠价是84元。

12、某件商品的价格是按获利润25%计算出的，后因库存积压和急需加收资金，决定降价出售，如果每件商品仍能获得10%的利润，试问应按现售价的几折出售（减价到原标价的十分之几就叫做几折，例如标价一元的商品售价七角五分，叫做“七五折”）？

参考答案：

答：

应按现售价的八八折出售。

自我测试

1、下列方程中（A）是一元一次方程。

A、B、C、D、

2、如果、互为相反数，（）,则的根为（A）

A、1B、－1C、－1或1D、任意数

3、已知是方程的根,则的值是（A）

A、8B、-8C、0D、2

4、方程去分母后可得（B）

A、B、

C、D、

5、说出下列各式哪些是等式，哪些方程，哪些是一元一次方程。

为什么？

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）；（8）；

参考答案：

（3）（6）（7）

6、方程，去分母可变形为。

7、若与互为倒数，则=。

（）

8、如果是方程的解，那么。

（）

9、一次买10斤鸡蛋打八折比打九折少花2元，则这10斤鸡蛋的原价是元。

（）

10、某商品标价1375元，打8折售出，仍可获利10%，则该商品的进价是多少元？

参考答案：

1000元

11、甲、乙两个水池共蓄水50t,甲池用去5t，乙池又注入8t后，甲池的水比乙池的水少3t，问原来甲、乙两个水池各有多少吨水？

解：

设甲有吨水，乙有吨水，则有下列方程

解得

所以乙有20吨。

答：

原来甲、乙两个水池各有30、20吨。