高考数学复习点拨 辨析几何概型疑点及生活中的应用.docx
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高考数学复习点拨辨析几何概型疑点及生活中的应用
辨析几何概型疑点及生活中的应用
一、几何概型的定义
1.几何概型的定义:
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比,则称这样的概率模型为几何概型.
2.几何概型的概率计算公式,在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
二、疑点辨析
1.概率为零的事件不一定是不可能事件
不可能事件的概率一定为零,即若
,则
。
但反之不然,概率为零的事件却不一定是不可能事件,即若
,则不一定有
。
例如,在几何概率中,设
,
.
为圆域,而
为其中一圆周.则
。
显然,
是可能发生的,即若向
内随机投点,点落在圆周
上的情况是可能发生的。
仅在样本点有限(比如古典概型)或样本点可数这种特殊的情况下,若
,则
。
2.在求解几何概率问题时,几何度量找不准是经常出错的原因之一.
例在0~1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0~1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率.
错解:
因为
所以
于是
。
错解分析:
本题误把长度看作几何度量.
正确解法:
设三条线段的长度分别为
则
即
.
在平面上建立如图所示的直角坐标系,直线
围成如图所示三角形区域G,每一对
对应着G内的点
,由题意知,每个试验结果出现的可能性相等,因此,试验属于几何概型,三条线段能构成三角形,当且仅当
即
因此图中的阴影区域
就表示“三条线段能构成三角形”,容易求得
的面积为
的面积为
则
(这三条线段能构成三角形)
.
三、生活应用解疑解:
在奖品的诱惑面前要冷静
在一所小学的门口有人设一游戏(如图)吸引许多小学生参加。
小学生每转动指针一次交5角钱,若指针与阴影重合,奖5角钱;若连续重合2次奖文具盒一个;若连续重合3次,奖书包一个;若连续重合4次,奖电子游戏机一台。
不少学生被高额奖品所诱惑,纷纷参与此游戏,却很少有人得到奖品,这是为什么呢?
利用几何概率可以解释这个问题。
由于指针位于圆周上阴影部分才能得奖,设圆周周长为100cm,阴影部分位于圆周上的每一弧长为2cm,由几何概型及指针的对称性知,指针落于阴影上的概率为
即参加一次游戏不用花钱的概率为0.08.由于每次转动可看成相互独立的随机事件(即若
表示事件
与
同时发生,则
),设
={指针与阴影连续重合
次},则
,
可见,参加游戏者得奖的概率很小,得到一个文具盒的可能性仅有0.0064,那么要想得到游戏机,则几乎是天方夜谭。
由小概率原理可知,只参加一次游戏,几乎不可能中奖。
所以,这是一个骗人的把戏.
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