高考数学复习点拨 辨析几何概型疑点及生活中的应用.docx

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高考数学复习点拨辨析几何概型疑点及生活中的应用

辨析几何概型疑点及生活中的应用

一、几何概型的定义

1.几何概型的定义:

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成正比，则称这样的概率模型为几何概型．

2．几何概型的概率计算公式，在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

二、疑点辨析

1.概率为零的事件不一定是不可能事件

不可能事件的概率一定为零，即若

，则

。

但反之不然，概率为零的事件却不一定是不可能事件，即若

，则不一定有

。

例如,在几何概率中，设

，

.

为圆域，而

为其中一圆周.则

。

显然，

是可能发生的，即若向

内随机投点，点落在圆周

上的情况是可能发生的。

仅在样本点有限（比如古典概型）或样本点可数这种特殊的情况下,若

，则

。

2.在求解几何概率问题时,几何度量找不准是经常出错的原因之一.

例在0～1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率.

错解:

因为

所以

于是

。

错解分析：

本题误把长度看作几何度量．

正确解法：

设三条线段的长度分别为

则

即

.

在平面上建立如图所示的直角坐标系，直线

围成如图所示三角形区域G，每一对

对应着G内的点

，由题意知,每个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型，三条线段能构成三角形，当且仅当

即

因此图中的阴影区域

就表示“三条线段能构成三角形”,容易求得

的面积为

的面积为

则

（这三条线段能构成三角形）

.

三、生活应用解疑解:

在奖品的诱惑面前要冷静

在一所小学的门口有人设一游戏（如图）吸引许多小学生参加。

小学生每转动指针一次交5角钱，若指针与阴影重合，奖5角钱；若连续重合2次奖文具盒一个；若连续重合3次，奖书包一个；若连续重合4次，奖电子游戏机一台。

不少学生被高额奖品所诱惑，纷纷参与此游戏，却很少有人得到奖品，这是为什么呢？

利用几何概率可以解释这个问题。

由于指针位于圆周上阴影部分才能得奖，设圆周周长为100cm，阴影部分位于圆周上的每一弧长为2cm，由几何概型及指针的对称性知，指针落于阴影上的概率为

即参加一次游戏不用花钱的概率为0.08.由于每次转动可看成相互独立的随机事件（即若

表示事件

与

同时发生,则

），设

={指针与阴影连续重合

次}，则

，

可见，参加游戏者得奖的概率很小，得到一个文具盒的可能性仅有0.0064，那么要想得到游戏机，则几乎是天方夜谭。

由小概率原理可知，只参加一次游戏，几乎不可能中奖。

所以，这是一个骗人的把戏.

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