高三数学教案高考数学抛物线复习教案.docx
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高三数学教案高考数学抛物线复习教案
高三数学教案：
高考数学抛物线复习教案
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高三数学教案：
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本文题目：
高三数学教案：
高考数学抛物线复习教案
1抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
2抛物线的图形和性质：
①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：
③通径：
过焦点垂直于轴的弦长为。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：
。
⑤焦半径为半径的圆：
以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。
所有这样的圆过定点F、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：
以焦半径FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。
所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：
以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。
所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式：
4抛物线的图像和性质：
①焦点坐标是：
，
②准线方程是：
。
③焦半径公式：
若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：
，
④焦点弦长公式：
过焦点弦长
⑤抛物线上的动点可设为P或或P
5一般情况归纳：
方程图象焦点准线定义特征
y2=kxk0时开口向右（k/4,0）x=─k/4到焦点（k/4,0）的距离等于到准线x=─k/4的距离
k0时开口向左
x2=kyk0时开口向上（0,k/4）y=─k/4到焦点（0,k/4）的距离等于到准线y=─k/4的距离
k0时开口向下
抛物线的定义：
例1：
点M与点F（-4，0）的距离比它到直线l：
x-6=0的距离4.2，求点M的轨迹方程.
分析：
点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定义.
答案：
y2=-16x
例2：
斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长.
分析：
这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是：
把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和.
解：
如图8-3-1，y2=4x的焦点为F（1，0），则l的方程为y=x-1.
由消去y得x2-6x+1=0.
设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=6.
例3:
（1）已知抛物线的标准方程是y2=10x，求它的焦点坐标和准线方程;
（2）已知抛物线的焦点是F（0，3）求它的标准方程;
（3）已知抛物线方程为y=-mx2（m0）求它的焦点坐标和准线方程;
（4）求经过P（-4，-2）点的抛物线的标准方程;
分析：
这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值（注意p0）.特别是（3）题，要先化为标准形式：
，则.（4）题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解.
答案：
（1），.
（2）x2=12y（3），;（4）y2=-x或x2=-8y.
例4求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
（1）过点（-3，2）;
（2）焦点在直线x-2y-4=0上
分析：
从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论
解：
（1）设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py（p0），
∵过点（-3，2），
4=-2p（-3）或9=2p2
p=或p=
所求的抛物线方程为y2=-x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=-
（2）令x=0得y=-2，令y=0得x=4，
抛物线的焦点为（4，0）或（0，-2）
当焦点为（4，0）时，=4，
p=8，此时抛物线方程y2=16x;
焦点为（0，-2）时，=2，
p=4，此时抛物线方程为x2=-8y
所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y，
对应的准线方程分别是x=-4，y=2
常用结论
①过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p
②设A（x1，y），1B（x2，y2）是抛物线y2=2px上的两点，则AB过F的充要条件是y1y2=-p2
③设A，B是抛物线y2=2px上的两点，O为原点，则OAOB的充要条件是直线AB恒过定点（2p，0）
例5：
过抛物线y2=2px（p0）的顶点O作弦OAOB，与抛物线分别交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证：
y1y2=-4p2.
分析：
由OAOB，得到OA、OB斜率之积等于-1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系.又A、B是抛物线上的点，故（x1，y1）、（x2，y2）满足抛物线方程.从这几个关系式可以得到y1、y2的值.
证：
由OAOB，得，即y1y2=-x1x2，又，，所以：
，即.而y1y20.所以y1y2=-4p2.
弦的问题
例1A,B是抛物线y2=2px（p0）上的两点，满足OAOB（O为坐标原点）求证：
（1）A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值;
（2）直线AB经过一个定点
（3）作OMAB于M，求点M的轨迹方程
解：
（1）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则y12=2px1,y22=2px2,
y12y22=4p2x1x2,
∵OAOB,x1x2+y1y2=0,
由此即可解得：
x1x2=4p2,y1y2=─4p2（定值）
（2）直线AB的斜率k===,
直线AB的方程为y─y1=（x─）,
即y（y1+y2）─y1y2=2px,由
（1）可得y=（x─2p）,
直线AB过定点C（2p,0）
（3）解法1:
设M（x,y）,由
（2）知y=（x─2p）（i）,
又ABOM,故两直线的斜率之积为─1,即=─1（ii）
由（i）,（ii）得x2─2px+y2=0（x0）
解法2:
由OMAB知点M的轨迹是以原点和点（2p,0）为直径的圆（除去原点）立即可求出
例2定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
解：
如图，设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（x,y）,则x=,y=,
又设点A，B，M在准线:
x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的交点为N，
则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,
x=（x1+x2）=（|AF|+|BF|─）（|AB|─）=
等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k（x─）
由得16k2x2─8（k2+2）x+k2=0
依题意|AB|=|x1─x2|===3,
k2=1/2,此时x=（x1+x2）==
y=即M（,）,N（,─）
例3设一动直线过定点A（2,0）且与抛物线相交于B、C两点,点B、C在轴上的射影分别为,P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形
解析:
设,
由得
又代入①式得②
由得代入②式得:
由得或,又由①式知关于是减函数且
且
所以Q点轨迹为一线段（抠去一点）:
（且）
例4已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的垂直平分线恒过定点S（6,0）
①求抛物线方程;②求面积的最大值
解:
①设,AB中点
由得
又得
所以依题意,
抛物线方程为
②由及,
令得
又由和得:
例5定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
解：
如图，设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（x,y）,则x=,y=,
又设点A，B，M在准线:
x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的交点为N，
则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,
x=（x1+x2）=（|AF|+|BF|─）（|AB|─）=
等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k（x─）
由得16k2x2─8（k2+2）x+k2=0
依题意|AB|=|x1─x2|===3,
k2=1/2,此时x=（x1+x2）==
y=即M（,）,N（,─）
综合类（几何）
例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴?
解：
思路一：
求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x轴，为此，将方程联立，解出
直线OP的方程为即
令，得M点纵坐标得证.
由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐.
思路二：
利用命题如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为、，那么来证.
设、、，并从及中消去x，得到，则有结论，即.
又直线OP的方程为，，得.
因为在抛物线上，所以.
从而.
这一证法运算较小.
思路三：
直线MQ的方程为的充要条件是.
将直线MO的方程和直线QF的方程联立，它的解（x,y）就是点P的坐标，消去的充要条件是点P在抛物线上，得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小.
说明：
本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立.
例2已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积.
分析：
求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以为三角形的底，只要确定高的最大值即可.
解：
设AB所在的直线方程为.
将其代入抛物线方程，消去x得
当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值.
设直线l方程为.代入抛物线方程得
由得，这时.它到AB的距离为
△RAB的最大面积为.
例3直线过点，与抛物线交于、两点，P是线段的中点，直线过P和抛物线的焦点F，设直线的斜率为k.
（1）将直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数;
（2）求出的定义域及单调区间.
分析：
过点P及F，利用两点的斜率公式，可将的斜率用k表示出来，从而写出，由函数的特点求得其定义域及单调区间.
解：
（1）设的方程为：
，将它代入方程，得
设，则
将代入得：
，即P点坐标为.
由，知焦点，直线的斜率
函数.
（2）∵与抛物线有两上交点，且
解得或
函数的定义域为
当时，为增函数.
例4如图所示：
直线l过抛物线的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：
对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.
分析：
本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论.
证法一：
假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零;直线CD的斜率存在，且不为0.
设C、D的坐标分别为与.则
l的方程为
∵直线l平分弦CD
CD的中点在直线l上，
即，化简得：
由知得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.
证法二：
假设直线l是弦CD的垂直平分线
∵焦点F在直线l上，
由抛物线定义，到抛物线的准线的距离相等.
CD的垂直平分线l：
与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略.
例5设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.
分析：
求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点;待求得的关系后再用动点坐标来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算.
解法一：
设
则：
，
，即
把N点看作定点，则AB所在的直线方程为：
显然
代入化简整理得：
由①、②得：
，化简得
用x、y分别表示得：
解法二：
点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设，则以OA为直径的圆方程为：
设，OAOB，则
在求以OB为直径的圆方程时以代，可得
由①+②得：
例6如图所示，直线和相交于点M，，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.
分析：
因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程.
解：
以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系.
由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点.
设曲线段C满足的抛物线方程为：
其中、为A、B的横坐标
令则，
由两点间的距离公式，得方程组：
解得或
∵△AMN为锐角三角形，，则，
又B在曲线段C上，
则曲线段C的方程为
例7如图所示，设抛物线与圆在x轴上方的交点为A、B，与圆在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点.
（1）求.
（2）求△ABQ面积的最大值.
分析：
由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出.
解：
（1）设
由得：
，
由得，
同类似，
则，
（2）
，当时，取最大值.
例8已知直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，且点和点关于直线的对称点都在上，求直线和抛物线的方程.
分析：
设出直线和抛物线的方程，由点、关于直线对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程.或设，利用对称的几何性质和三角函数知识求解.
解法一：
设抛物线的方程为，直线的方程为，
则有点，点关于直线的对称点为、，
则有解得
解得
如图，、在抛物线上
两式相除，消去，整理，得，故，
由，，得.把代入，得.
直线的方程为，抛物线的方程为.
解法二：
设点、关于的对称点为、，
又设，依题意，有，.
故，.
由，知.
又，，故为第一象限的角.
将、的坐标代入抛物线方程，得
，即从而，，
，得抛物线的方程为.
又直线平分，得的倾斜角为.
直线的方程为.
说明：
（1）本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到.
（2）本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握.
例9如图，正方形的边在直线上，、两点在抛物线上，求正方形的面积.
分析：
本题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力.
解：
∵直线，，设的方程为，且、.
由方程组，消去，得，于是
，，（其中）
由已知，为正方形，，
可视为平行直线与间的距离，则有
，于是得.
两边平方后，整理得，，或.
当时，正方形的面积.
当时，正方形的面积.
正方形的面积为18或50.
说明：
运用方程（组）的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正方形这一条件.
例10设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，求这彗星与地球的最短距离.
分析：
利用抛物线有关性质求解.
解：
如图，设彗星轨道方程为，，焦点为，
彗星位于点处.直线的方程为.
解方程组得，
故.
故，得.
由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为，所以彗星与地球的最短距离为或，（点在点的左边与右边时，所求距离取不同的值）.
说明：
（1）此题结论有两个，不要漏解;
（2）本题用到抛物线一个重要结论：
顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：
设为抛物线上一点，焦点为，准线方程为，依抛物线定义，有，当时，最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点.
例11如图，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为2，直线交抛物线与圆依次为、、、四点，求的值.
分析：
本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力，本题的关键是把转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.
解：
由圆的方程，即可知，圆心为，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为，设抛物线方程为，
∵为已知圆的直径，，则.
设、，∵，而、在抛物线上，
由已知可知，直线方程为，于是，由方程组
消去，得，.
，因此，.
说明：
本题如果分别求与则很麻烦，因此把转化成是关键所在，在求时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而避免了一些繁杂的运算.
11.已知抛物线y2=2px（p0），过焦点F的弦的倾斜角为（0）,且与抛物线相交于A、B两点.
（1）求证：
|AB|=;
（2）求|AB|的最小值.
（1）证明：
如右图，焦点F的坐标为F（,0）.
设过焦点、倾斜角为的直线方程为y=tan（x-）,与抛物线方程联立，消去y并整理，得
tan2x2-（2p+ptan2）x+=0.
此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2=.
设A、B到抛物线的准线x=-的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=.
（2）解析：
因|AB|=的定义域是0，又sin21，
所以，当=时，|AB|有最小值2p.
12.已知抛物线y2=2px（p0）的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证：
为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论?
解析：
（1）当ABx轴时，m=n=p，
（2）当AB不垂直于x轴时，设AB:
y=k（x-）,
A（x1,y1）,B（x2,y2）,|AF|=m,|BF|=n,
m=+x1,n=+x2.
将AB方程代入抛物线方程，得
k2x2-（k2p+2p）x+=0,
本题若推广到椭圆，则有=（e是椭圆的离心率）;若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有=（e为双曲线的离心率）.
13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且?
|MA|=|MB|.
（1）若M为定点，证明：
直线EF的斜率为定值;
（2）若M为动点，且EMF=90，求△EMF的重心G的轨迹方程.
（1）证明：
设M（y02,y0），直线ME的斜率为?
k（k0）,则直线MF的斜率为-k，
直线ME的方程为y-y0=k（x-y02）.
由得
ky2-y+y0（1-ky0）=0.
解得y0yE=,
yE=,xE=.
同理可得yF=,xF=.
kEF=（定值）.
（2）解析：
当EMF=90时，MAB=45，所以k=1，由
（1）得E（（1-y0）2,（1-y0））F（（1+y0）2,-（1+y0））.
设重心G（x,y），则有
消去参数y0,得y2=（x0）.
14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1,-3）、N（5，1），若点C满足=?
t+（1-t）（tR）,点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.
（1）求证：
（2）在x轴上是否存在一点P（m,0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在，请说明理由.
（1）证明：
由=t+（1-t）（tR）知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：
y+3=（x-1）,即y=x-4.
由（x-4）2=4xx2-12x+16=0.
x1x2=16，x1+x2=12，
y1y2=（x1-4）（x2-4）=x1x2-4（x1+x2）+16=-16.
x1x2+y1y2=0.故.
（2）解析：
存在点P（4，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点.
由题意知：
弦所在的直线的斜率不为零，
故设弦所在的直线方程为：
x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-16=0,
y1+y2=4k,y1y2=-16.
kOAkOB==-1.
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
要求学生抽空抄录并且阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。
如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。
如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?
OAOB,故以AB为直径的圆都过原点.
设弦AB的中点为M（x,y），
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则x=（x1+x2）,y=（y1+y2）.
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要求学生抽空抄录并且阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。
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x1+x2=ky1+4+ky2+4=k（y1+y2）+8=k（4k）+8=4k2+8.
弦AB的中点M的轨迹方程为：
消去k，得y2=2x-8.
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