概率论基础无穷级数笔记.docx

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概率论基础无穷级数笔记

第七章无穷级数

10常数项级数概念及性质

1、定义P264「an二印a2an

n=1

an称为一般项或通项Sn=5•u2•un称为前n项部分和

「1-333

例1、0.3二

31010210n

1亠2亠3亠亠n亠

1_11_1亠亠（_1）n4

n

2、定义SnuK

Km

an-Sn1-Sn

如1sn［收敛，则〔an收敛

n=1

1

P级数PP1收敛，P^1发散;

nWnP

处1

当P=1,7—又称调和级数。

n=1n

4、级数性质P266

性质5是级数收敛的必要条件

v'an收敛

n=1

liman=0

例1、

oO

z

nA

n-1

2n1

发散

liman=lim—__-

n—n》：

：

2n1

十0

例2、

3n

QO

送nn^n-3n

发散

3n

lim-一1=0

n~':

--n-3n

例3、

无一发散，但

nmn

lim--0nn

2°正项级数判别法

：

>Un^

1、比较判别法

例、判别下列级数敛散性

24n2n

sin12工

:

1

•••、丄发散，.••原级数发散n」n

比较判别法的极限形式

如lim业二A贝U有

ni：

Vn

判别下列级数敛散性

n+1

例、'如丄」nWn

1

解：

（1）由limn2nnlimn「1

nT珀1nT^ln2+n+Vn

1

1—cos—

n

1

、r收敛•••原级数收敛

nmn2

Inn1°a1

（3）・.・（n一3）、-发散,

nnnmn

：

：

Inn

、—发散

nWn

例、P271

例7.77.8

2、比判别法

设正项级数＜；Un的一般项满足

n=1

lim乩八

n—Un

则当「：

：

1时，级数收敛，，1时发散，，二1不定

3、根值法

Q0

设'dn为正项级数，如limnun二'n=1n「：

:

则当时，级数收敛，‘1时发散，‘=1不定

正项级数判别其敛散性的步骤:

②如

③如

Un是以n为指数幕的因子，通常用根值法，也可用比值法;

un含形如n〉（a可以不是整数）因子，通常用比较法;

4利用级数性质判别其敛散性；

5据定义判别级数敛散性，考察limSn是否存在，实际上考察「Sn?

是否有上界。

例、判别下列级数的敛散性

2nn

-愠（nW

=—1收敛

e

（2）方法一：

limnun=lim--收敛

n护*n十12

方法二「亠⑴n

i2n十1丿I2n.丿（2丿

00^1丫

I送-丨收敛I原级数收敛

n我2丿

Un-「Xn1X1X1Xn

lim——=lim2—

n「unn—‘1x1x1xx

xOx:

:

1

x=1

x1

•••级数收敛

lim仏

n_「’Un

Inn1

nim：

2n1」1

2n、n

Inn

=limn心2l

Inn1n1

（3）当a=1

limun

nT：

：

lim-=1

n）：

：

22

O:

：

a:

:

1

limun

—0

=1=0发散

11

<一

nn

1aa

:

：

11

x■—为公比-：

：

：

1的等比级数

n^aa

（4）

收敛

n

lim7

n_^-.：

i

n

7n

=1

收敛,

原级数收敛

二n

n』收敛，又由比较判别法知原级数收敛

2n；

ncos-n:

:

n

（6）Un3n，由此值法知7—收敛

44nT4

原级数收敛

3°交错级数的敛散性的判别法

如Un0，则称7Tn‘Un二U1-U273-U4」为交错级数

nV

莱伯尼兹判别法：

如交错级数厂-1"‘Un满足：

心

（i）Un-Un1（ii）limu^0

n—h：

:

8n1

则v-1-Un收敛，且和Sd1nd

n1nn2

收敛

n」=1Tn1+—I>0

UnUn1

即

nTnnn1Tnn1收敛

4绝对收敛与条件收敛

定义P275＜；un为任意项级数

n=1

发散"Un收敛称vUn条件收敛

n二n=1

例、P276例7.177.18

例、判断级数的敛散性，如收敛，是绝对收敛还是条件收敛

旳n（n/

（1）'-1P

nV

0:

:

:

b:

:

:

1原级数绝对收敛

b1原级数发散

1

1lim—=0

旳n1nT^n

b=1原级数为-1为交错级数收敛

心n—

2Un…勺

发散

oCiod1

而EUn=送一n=1n=1n

b=1条件收敛

习题七，8

1

解

（1）由于-一

r'4n2+n』4n2+n25n