概率论基础无穷级数笔记.docx

1、概率论基础无穷级数笔记第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 an 二印 a2 ann =1an称为一般项或通项 Sn = 5 u2 un称为前n项部分和, 1 - 3 3 3例 1、 0.3 二3 10 102 10n1亠2亠3亠 亠n亠1_1 1_1 亠 亠（_1 ）n4n2、定义 Sn uKKman - Sn 1 - Sn如1sn 收敛，则an收敛n =11P级数 P P 1 收敛，P1发散;nW nP处1当P=1, 7 又称调和级数。n =1 n4、级数性质 P266性质5是级数收敛的必要条件van收敛n =1l i man = 0例1、oOzn An-12n 1发散

2、lim an = lim _-n n：2n 1十0例2、3nQO送 n nn -3n发散3nlim -一1 = 0n :- n -3n例3、无一发散，但n mnlim - - 0 n n2正项级数判别法： Un1、比较判别法例、判别下列级数敛散性2 4n2 nsin1 2工:1、丄发散，.原级数发散 nn比较判别法的极限形式如lim业二A贝U有ni：Vn判别下列级数敛散性n +1例、如丄 nW n1解：（1）由 lim n2 n n lim n 1nT 珀 1 nTl n2+n +Vn11 cos n1、r 收敛 原级数收敛n m n2Inn 1 a 1（3）. （n 一3） 、- 发散,n

3、n nmn：Inn、 发散nW n例、P271例 7.7 7.82、比判别法设正项级数；Un的一般项满足n=1lim乩八nUn则当：1时，级数收敛，1时发散，二1不定3、根值法Q0 设dn为正项级数，如lim n un二 n =1 n：:则当时，级数收敛， 1时发散，=1不定正项级数判别其敛散性的步骤:如如Un是以n为指数幕的因子，通常用根值法，也可用比值法;un含形如n（a可以不是整数）因子，通常用比较法;4利用级数性质判别其敛散性；5据定义判别级数敛散性，考察lim Sn是否存在，实际上考察Sn?是否有上界。例、判别下列级数的敛散性2nn-愠(nW=1收敛e(2)方法一：lim n un

4、= lim - - 收敛n护* n 十1 2方法二亠ni2n十1丿 I2n.丿 (2丿001 丫I 送-丨收敛 I 原级数收敛n我2丿Un - Xn 1X1 X 1 Xnlim =lim 2 n un n 1 x 1 x 1 x xx O x : 1x =1x 1级数收敛lim仏n_ UnIn n 1nim：2n112n、nInn=lim n心 2 lIn n 1 n 1(3)当 a =1lim unnT：lim - = 1n )： ： 2 2O :： a : 1lim un0= 1 = 0 发散1 1 一n n1 a a:：1 1x 为公比-：1的等比级数na a(4)收敛nlim 7n_-

5、.：in7n=1收敛,原级数收敛二 nn收敛，又由比较判别法知原级数收敛2 n；n cos - n : n(6) Un 3 n，由此值法知7 收敛4 4 nT 4原级数收敛3交错级数的敛散性的判别法如Un 0，则称7 TnUn二U1-U273-U4为交错级数nV莱伯尼兹判别法： 如交错级数厂-1 Un满足：心(i ) Un - Un 1 ( ii ) lim u 0nh：:8 n 1则v -1 - Un收敛，且和Sd1 n dn 1 n n 2 0Un Un 1即n Tn n n 1 Tn n 1 收敛4绝对收敛与条件收敛定义P275 ；un为任意项级数n=1发散 Un收敛 称v Un条件收敛n 二 n=1例、P276 例 7.17 7.18例、判断级数的敛散性，如收敛，是绝对收敛还是条件收敛旳 n(n /(1) -1 PnV0 : b : 1 原级数绝对收敛b 1 原级数发散11lim = 0旳 n 1 nT nb =1原级数为-1 为交错级数 收敛心 n 2Un勺发散oCi od 1而 E U n =送一 n =1 n =1 nb= 1条件收敛习题七， 81解(1)由于-一r4n2+n 4n2 + n2 5 n