人教版八年级数学上册《第12章 全等三角形》黄陂区城关三中.docx
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人教版八年级数学上册《第12章全等三角形》黄陂区城关三中
《第12章全等三角形》（黄陂区城关三中）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．面积相等的两个三角形（ ）
A．必定全等B．必定不全等
C．不一定全等D．以上答案都不对
2．下列条件中，可以确定△ABC和△A′B′C′全等的是（ ）
A．BC=BA，B′C′=B′A′，∠B=∠B′B．∠A=∠B′，AC=A′B′，AB=B′C′
C．∠A=∠A′，AB=B′C′，AC=A′C′D．BC=B′C′，AC=A′B′，∠B=∠C′
3．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？
应该带（ ）
A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块
4．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=5，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（ ）
A．7B．6C．5D．4
5．下列作图语句正确的是（ ）
A．过点P作线段AB的中垂线
B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB=BC
C．过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥b
D．过点P作直线AB的垂线
6．下列图形中与已知图形全等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）
A．PC=PDB．∠CPD=∠DOPC．∠CPO=∠DPOD．OC=OD
8．如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．∠A=∠DB．BC=EFC．∠ACB=∠FD．AC=DF
9．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A（﹣4，0），B（0，3）．若在该坐标平面内有以点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（ ）
A．9B．7C．5D．3
10．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B，D重合，已知AB=3，AD=4，则
①DE=DF；②DF=EF；③△DCF≌△DGE；④EF=
．
上面结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，线段AD与BC相交于点O，连结AB、CD，且∠B=∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是 （只填一个即可）
12．如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=55°，则∠ABE= ．
13．如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD=7cm，当PE= cm时，点P在∠AOB的平分线上．
14．如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件 ，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）
15．如图所示，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为 ，得到这个结论的理由是 ．
16．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则∠BDF= 度．
三、解答题
17．如图，已知△ABC中，∠1=∠2，AE=AD，求证：
DF=EF．
18．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，
求证：
BP=2PQ．
19．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求证：
AB+BD=AC．
20．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD交BD的延长线于点E，则线段BD和CE具有什么数量关系，并证明你的结论．
21．在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD的中点．求证：
S△AEB=
SABCD．
22．如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB=AD，AC=AE，BC分别交AD、DE于点G、F，AC与DE交于点H．
求证：
（1）△ABC≌△ADE；
（2）BC⊥DE．
23．已知：
如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°
（1）求证：
①AC=BD；②∠APB=50°；
（2）如图②，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系为 ，∠APB的大小为
24．
（1）如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．
（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米．
《第12章全等三角形》（黄陂区城关三中）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．面积相等的两个三角形（ ）
A．必定全等B．必定不全等
C．不一定全等D．以上答案都不对
【考点】全等三角形的判定．
【分析】两个面积相等的三角形，则面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边和对应高不一定相等，故面积相等的两个三角形不一定全等．
【解答】解：
因为两个面积相等的三角形，则面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角形不一定全等．
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定．解答此题需要熟悉三角形的面积公式．
2．下列条件中，可以确定△ABC和△A′B′C′全等的是（ ）
A．BC=BA，B′C′=B′A′，∠B=∠B′B．∠A=∠B′，AC=A′B′，AB=B′C′
C．∠A=∠A′，AB=B′C′，AC=A′C′D．BC=B′C′，AC=A′B′，∠B=∠C′
【考点】全等三角形的判定．
【分析】本题判定两三角形的条件中，都有两边和一个角，那么在两边对应相等的前提下，要想证得两三角形全等，只有一个方法即SAS，因此所给条件中的相等角必须是两对应边的夹角．可据此进行判断．
【解答】解：
根据全等三角形的判定定理可知：
在已知两边对应相等和一组角对应相等的情况下，只有SAS才能证得两三角形全等，本题中只有B符合要求，A、C、D都不符合SAS，而SSA不能作为全等的判定方法．
故选B．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．要注意的是AAA和SSA是不能判定两三角形全等的．
3．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？
应该带（ ）
A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块
【考点】全等三角形的应用．
【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【解答】解：
1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选B．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS．
4．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=5，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】求出∠ADC=∠BDF，∠DBF=∠DAC，AD=BD，根据ASA推出△ADC≌△BDF，根据全等三角形的性质推出AC=BF即可．
【解答】解：
∵AD、BE是高，
∴∠ADC=∠BDF=90°，∠BEC=90°，
∴∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDF中
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC，
∵AC=5，
∴BF=5，
故选C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ADC≌△BDF，注意：
全等三角形的对应边相等，难度适中．
5．下列作图语句正确的是（ ）
A．过点P作线段AB的中垂线
B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB=BC
C．过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥b
D．过点P作直线AB的垂线
【考点】作图—尺规作图的定义．
【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出结论．
【解答】解：
A、只有过线段中点的垂线才叫中垂线，P是任意一点，错误；
B、应为在线段AB的延长线上取一点C，使BC=AB，错误；
C、a和b的位置不一定是平行，错误．
D、正确．
故选D．
【点评】本题考查常见的易错点，需在做题过程中加以熟练掌握．
6．下列图形中与已知图形全等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】全等图形．
【分析】认真观察图形，根据全等形的定义，能够重合的图形是全等形，可得答案是B．
【解答】解：
A、圆里面的正方形与已知图形不能重合，错；
B、与已知图形能完全重合，正确；
C、中间是长方形，与已知图形不重合，错；
D、中间是长方形，与已知图形不重合，错．
故选B
【点评】本题考查的是全等形的性质；属于较容易的基础题，做题时要认真观察图形，同时还要想到是否能够重合．
7．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）
A．PC=PDB．∠CPD=∠DOPC．∠CPO=∠DPOD．OC=OD
【考点】角平分线的性质．
【分析】先根据角平分线的性质得出PC=PD，再利用HL证明△OCP≌△ODP，根据全等三角形的性质得出∠CPO=∠DPO，OC=OD．
【解答】解：
∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，
∴PC=PD，故A正确；
在Rt△OCP与Rt△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．
不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．
故选B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质，得出PC=PD是解题的关键．
8．如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．∠A=∠DB．BC=EFC．∠ACB=∠FD．AC=DF
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案．
【解答】解：
∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：
SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．
9．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A（﹣4，0），B（0，3）．若在该坐标平面内有以点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（ ）
A．9B．7C．5D．3
【考点】直角三角形全等的判定；坐标与图形性质．
【分析】根据题意画出图形，分别以OA、OB、AB为边、根据直角三角形全等的判定定理作出符合条件的三角形即可．
【解答】解：
如图：
分别以OA、OB、AB为边作与Rt△ABO全等的三角形各有3个，
则所有符合条件的三角形个数为9，
故选：
A．
【点评】本题考查的是直角三角形全等的判定和坐标与图形的性质，灵活运用分情况讨论思想、根据直角三角形全等的判定定理不重不漏的找出所有符合条件的三角形是解题的关键．
10．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B，D重合，已知AB=3，AD=4，则
①DE=DF；②DF=EF；③△DCF≌△DGE；④EF=
．
上面结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】如图作EM⊥BC于M，首先证明△DEG≌△DFC，由此可以判断①③正确．设DF=FB=x，则CF=4﹣x，在RT△DCF中，根据DF2=CD2+CF2，列出方程求出x，在RT△EMF中求出EM，MF利用勾股定理即可求出EF，即可判断④正确．②错误，可以用反证法证明．
【解答】解；如图作EM⊥BC于M．
∵四边形ABCD是矩形，四边形EFDG是由四边形ABEF翻折，
∴∠ADC=∠GDF=∠C=∠G=90°，DC=DG=AB=3，AD=BC=4
∴∠EDG=∠CDF，
在△DEG和△DFC中，
，
∴△DEG≌△DFC．故③正确，
∴DE=DF，故①正确，
设DF=FB=x，则CF=4﹣x，
在RT△DCF中，∵DF2=CD2+CF2，
∴x2=（4﹣x）2+32，
∴x=
，
∴DE=DF=
，
∵四边形AEMB是矩形，
∴AE=BM=
，ME=AB=3，
∴MF=BC﹣BM﹣CF=4﹣
﹣（4﹣
）=
，
在RT△EFM中，EF=
=
．故④正确，
②错误．假设DF=EF，∵DE=DF，
∴EF=DE=DF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠DFE=60°，
∴∠BFE=∠DFE=∠DFC=60°，
这显然不可能，假设不成立，故②错误．
【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，线段AD与BC相交于点O，连结AB、CD，且∠B=∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是 OB=OD （只填一个即可）
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】添加条件OB=OD，可利用ASA定理证明△AOB≌△COD．
【解答】解：
添加条件OB=OD，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
故答案为：
OB=OD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：
AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=55°，则∠ABE= 125° ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】在△ADC和△ABE中，由∠C=∠E，∠A=∠A和AD=AB证明△ADC≌△ABE，得到∠ADC=∠ABE，由∠CDE=55°，得到∠ADC=125°，即可求出∠ABE的度数．
【解答】解：
∵在△ADC和△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（AAS），
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠CDE=55°，
∴∠ADC=125°，
∴∠ABE=125°，
故答案为125°．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握两三角形全等的判定定理，此题难度一般．
13．如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD=7cm，当PE= 7 cm时，点P在∠AOB的平分线上．
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据角平分线性质得出PD=PE，代入求出即可．
【解答】解：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=7cm，
∴当PE=PD，即PE=7cm时，P在∠AOB的平分线，
故答案为：
7．
【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：
角平分线上的点到角的两边的距离相等．
14．如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件 ∠BDE=∠BAC ，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）
【考点】全等三角形的判定．
【专题】压轴题；开放型．
【分析】根据∠ABD=∠CBE可以证明得到∠ABC=∠DBE，然后根据利用的证明方法，“角边角”“边角边”“角角边”分别写出第三个条件即可．
【解答】解：
∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，
即∠ABC=∠DBE，
∵AB=DB，
∴①用“角边角”，需添加∠BDE=∠BAC，
②用“边角边”，需添加BE=BC，
③用“角角边”，需添加∠ACB=∠DEB．
故答案为：
∠BDE=∠BAC或BE=BC或∠ACB=∠DEB．（写出一个即可）
【点评】本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件有一边与一角，根据不同的证明方法可以选择添加不同的条件，需要注意，不能使添加的条件符合“边边角”，这也是本题容易出错的地方．
15．如图所示，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为 平行 ，得到这个结论的理由是 同位角相等，两直线平行 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定．
【分析】由全等三角形的对应角相等判定同位角∠1=∠2，则AB∥CD．
【解答】解：
根据题意，图中的两个三角尺全等，
∴∠1=∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：
平行．同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定熟练掌握同位角相等，两直线平行，并准确识图是解题的关键．
16．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则∠BDF= 80 度．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】由折叠的性质，即可求得AD=DF，又由D是AB边上的中点，即可得DB=DF，根据等边对等角的性质，即可求得∠DFB=∠B=50°，又由三角形的内角和定理，即可求得∠BDF的度数．
【解答】解：
根据折叠的性质，可得：
AD=DF，
∵D是AB边上的中点，
即AD=BD，
∴BD=DF，
∵∠B=50°，
∴∠DFB=∠B=50°，
∴∠BDF=180°﹣∠B﹣∠DFB=80°．
故答案为：
80．
【点评】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
三、解答题
17．如图，已知△ABC中，∠1=∠2，AE=AD，求证：
DF=EF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】先利用“角角边”证明△ABE和△ACD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AC，然后求出BD=CE，再利用“角角边”证明△BDF和△CEF全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB=AC，
∵AE=AD，
∴AB﹣AD=AC﹣AE，
即BD=CE，
在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴DF=EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并求出BD=CE是解题的关键．
18．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，
求证：
BP=2PQ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】证明题．
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，然后求出∠BPQ=60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半证明即可．
【解答】证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°﹣∠BPQ=90°﹣60°=30°，
∴BP=2PQ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图求出△BPQ是含30°角的直角三角形是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求证：
AB+BD=AC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】在AC上截取AE=AB，利用“边角边”证明△ABD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=BD，全等三角形对应角相等可得∠AED=∠ABC，然后求出∠C=∠CDE，根据等角对等边可得CE=DE，然后结合图形整理即可得证．
【解答】证明：
如图，在AC上截取AE=AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴DE=BD，∠AED=∠ABC，
∵∠AED=∠C+∠CDE，∠ABC=2∠C，
∴∠CDE=∠C，
∴CE=DE，
∵AE+CE=AC，
∴AB+BD=AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
20．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD交BD的延长线于点E，则线段BD和CE具有什么数量关系，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】延长CE与BA延长线交于点F，首先证明△BAD≌△CAF，根据全等三角形的性质可得BD=CF，再证明△BEF≌△BCE可得CE=EF，进而可得BD=2CE．
【解答】答：
BD=2CE，
延长CE与BA延长线交于点F，
∵∠BAC=90°，CE⊥BD，
∴∠BAC=∠DEC，
∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD=∠DCE，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（ASA），
∴BD=CF，
∵BD平分∠ABC，CE⊥DB，
∴∠FBE=∠CBE，
在△BEF和△BCE中，
，
∴△BEF≌△BCE（AAS），
∴CE=EF，
∴DB=2CE．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等．
21．在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD的中点．求证：
S△AEB=
SABCD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】
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