专题训练七 基本推理入门训练.docx

专题训练七 基本推理入门训练.docx

《专题训练七 基本推理入门训练.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题训练七 基本推理入门训练.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

专题训练七基本推理入门训练

专题训练（七）　基本推理入门训练

►　类型一　等量关系的应用

内容

基本推理格式

温馨提示

全量等于它

各部分的和

结合图形直接应用

由图形的长度、面积、体积的和差关系体现

等量代换

因为a＝b，b＝c，

所以a＝c

在等式、不等式或运算中有等量进行交换都属于等量代换

等量加等量，

和相等

①因为a＝b，

所以a＋c＝b＋c；

②因为a＝b，c＝d，

所以a＋c＝b＋d

①在代数上表述为等式的性质1；

②应用等式的性质进行推理常常体现在等式的运算中，比如移项，等式两边同加、同减、同乘、同除等

等量减等量，

差相等

①因为a＝b，

所以a－c＝b－c；

②因为a＝b，c＝d，

所以a－c＝b－d

等量的同倍

量相等

因为a＝b，

所以na＝nb（n是正整数）

在代数上表述为等式的性质2

等量的同分

量相等

因为a＝b，

所以

＝

（n是正整数）

1.阅读：

例：

因为∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，根据“同角的余角相等”，所以∠2＝∠3.

解：

因为∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，

所以∠2＝∠3（同角的余角相等）．

仿照例题，请用式子及符号表示下列句子：

（1）因为∠1＝60°，∠2＝60°，根据“等量代换”，所以∠1＝∠2；

（2）因为M是线段AB的中点，根据“线段中点的定义”，所以AM＝BM；

（3）因为3AC＝3BD，根据“等式的性质2”，所以AC＝BD；

（4）因为∠1与∠2互补，∠1与∠3互补，根据“同角的补角相等”，所以∠2＝∠3；

（5）因为∠AOB＝180°，根据“平角的定义”，所以点A，O，B在一条直线上．

2．填空：

（1）因为∠1＝∠2，∠2＝∠3，

所以________＝________（等量代换）；

（2）因为AB＝5cm，CD＝5cm，

所以________＝________（　　　　）；

（3）因为∠1＝∠B，∠2＝∠C，∠1＝∠2，

所以________＝________（　　　　）；

（4）因为∠1＋∠2＋∠C＝180°，∠1＝∠A，∠2＝∠B，

所以________＋________＋∠C＝180°（　　　　）；

（5）因为a＞b，c＝a，所以________（　　　　）；

（6）因为∠1＝120°－∠A，∠2＝120°－∠A，

所以________＝________（　　　　）．

3．如图7－ZT－1，B，C是线段AD上的两点，AB＝CD，试说明：

AC＝BD.

图7－ZT－1

4．如图7－ZT－2，若∠1＝∠2，试说明：

∠AOB＝∠COD.

图7－ZT－2

5．如图7－ZT－3，点B，B′分别在线段AC，A′C′上，AB＝A′B′，BC＝B′C′.试说明：

AC＝A′C′.

图7－ZT－3

6．如图7－ZT－4，∠AOB＝∠A′O′B′，∠BOC＝∠B′O′C′.试说明：

∠AOC＝∠A′O′C′.

图7－ZT－4

7．如图7－ZT－5，B，C是线段AD上的两点，AC＝BD，试说明：

AB＝CD.

图7－ZT－5

8．如图7－ZT－6，点B，B′分别在线段AC，A′C′上，AC＝A′C′，BC＝B′C′.

试说明：

AB＝A′B′.

图7－ZT－6

9．如图7－ZT－7，∠AOC＝∠A′O′C′，∠AOB＝∠A′O′B′.试说明：

∠BOC＝∠B′O′C′.

图7－ZT－7

10．如图7－ZT－8，∠1＝∠2，BD，B′D′分别是∠ABC，∠A′B′C′的平分线．

试说明：

∠ABC＝∠A′B′C′.

图7－ZT－8

解：

因为BD，B′D′分别是∠ABC，∠A′B′C′的平分线，

所以∠ABC＝2∠1，∠A′B′C＝______（）．

又因为∠1＝∠2，

所以2∠1＝2∠2（　　　　　　　）．

所以∠ABC＝∠A′B′C′（　　　　　）．

11．如图7－ZT－9，M，M′分别是线段AB，A′B′的中点，AB＝A′B′.试说明：

AM＝A′M′.

图7－ZT－9

►　类型二　定义的应用

项目

定义的内容

图形

常用推理格式

线段中

点的定义

把一条线段分成相等的两条线段的点叫做线段的中点

①因为M是线段AC的中点，

所以AM＝MC＝

AC或AC＝2MC＝2AM；

②因为M是线段AC上一点，AM＝MC，

所以M是线段AC的中点

角平分

线的定义

从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线

①因为射线OC是∠AOB的平分线，

所以∠1＝∠2＝

∠AOB或∠AOB＝2∠1＝2∠2；

②因为∠1＝∠2，

所以OC是∠AOB的平分线

平角的定义

角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，当终边和始边成一条直线时叫做平角

①因为点A，O，B在一条直线上，

所以∠AOB＝180°或∠AOC＋∠BOC＝180°

或∠AOD＋∠DOC＋∠BOC＝180°；

②因为∠AOB＝180°，

所以点A，O，B在一条直线上（即A，O，B三点共线）

两个角互

余的定义

如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．两个角互为余角简称为两个角互余

①因为∠1＋∠2＝90°，

所以∠1与∠2互余；

②因为∠1与∠2互余，

所以∠1＋∠2＝90°或∠1＝90°－∠2或∠2＝90°－∠1；

③因为∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，

所以∠2＝∠3（同角的余角相等）

两个角互

补的定义

如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．两个角互为补角简称为两个角互补

①因为∠1＋∠2＝180°，

所以∠1与∠2互补；

②因为∠1与∠2互补，

所以∠1＋∠2＝180°或∠1＝180°－∠2或∠2＝180°－∠1

③因为∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，

所以∠2＝∠3（同角的补角相等）

12．有下列四种说法：

①因为AM＝MB，所以M是AB的中点；②在线段AM的延长线上取一点B，如果AB＝2AM，那么M是AB的中点；③因为M是AB的中点，所以AM＝MB＝

AB；④因为点A，M，B在同一条直线上，且AM＝BM，所以M是AB的中点．其中正确的是（　　）

A．①③④B．②④C．②③④D．③④

13．如图7－ZT－10所示，点P在∠AOB的内部，则下列四个等式：

①∠AOP＝∠BOP；

②∠AOP＝

∠AOB；③∠AOP＝

∠BOP；④∠AOB＝2∠BOP.

其中能说明OP是∠AOB的平分线的有（　　）

图7－ZT－10

A．1个B．2个C．3个D．4个

14．请用等式的性质及等量代换说明“同角的余角相等”．

已知：

∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°.

试说明：

∠2＝∠3.

解：

因为∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，

所以∠2＝90°－∠1，∠3＝90°－∠1（）．

所以∠2＝∠3（　　　　　　）．

15．如图7－ZT－11，直线AB与CD相交于点O，请说明：

∠1＝∠2.

补全下面的说明过程，并在括号内填上适当的理由．

图7－ZT－11

解：

因为点C，O，D在同一条直线上，

所以∠1＋∠AOD＝180°（平角的定义）．

因为点A，O，B在同一条直线上，

所以________＋∠AOD＝180°（　　　　　　）．

所以∠1＝∠2（　　　　　　　　　）．

16．如图7－ZT－12ⓐ所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．

（1）①∠AOD和∠BOC相等吗？

说明理由；

②∠AOC和∠BOD有何关系？

说明理由．

（2）若将等腰直角三角尺绕点O旋转到如图ⓑ所示的位置．

①∠AOD和∠BOC相等吗？

说明理由；

②∠AOC和∠BOD的上述关系还成立吗？

说明理由．

图7－ZT－12

17．

（1）如图7－ZT－13，O是直线AB上的一点，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.试说明：

∠MON＝90°；

（2）如图7－ZT－13，O是直线AB上的一点，∠MON＝90°，OM平分∠AOC，则ON平分∠BOC吗？

请说明理由；

（3）如图7－ZT－13，若∠MON＝90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则A，O，B三点在同一条直线上吗？

请说明理由．

图7－ZT－13

教师详解详析

1．解：

（1）因为∠1＝60°，∠2＝60°，

所以∠1＝∠2（等量代换）．

（2）因为M是线段AB的中点，

所以AM＝BM（线段中点的定义）．

（3）因为3AC＝3BD，

所以AC＝BD（等式的性质2）．

（4）因为∠1与∠2互补，∠1与∠3互补，

所以∠2＝∠3（同角的补角相等）．

（5）因为∠AOB＝180°，

所以点A，O，B在一条直线上（平角的定义）．

2．

（1）∠1　∠3　

（2）AB　CD　等量代换

（3）∠B　∠C　等量代换

（4）∠A　∠B　等量代换

（5）c＞b　等量代换

（6）∠1　∠2　等量代换

3．解：

因为AB＝CD，

所以AB＋BC＝CD＋BC（等量加等量，和相等或等式的性质1），即AC＝BD.

4．解：

因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠BOD＝∠2＋∠BOD（等量加等量，和相等或等式的性质1），

即∠AOB＝∠COD.

5．解：

因为AB＝A′B′，BC＝B′C′，

所以AB＋BC＝A′B′＋B′C′（等量加等量，和相等或等式的性质1），即AC＝A′C′.

6．解：

因为∠AOB＝∠A′O′B′，∠BOC＝∠B′O′C′，

所以∠AOB＋∠BOC＝∠A′O′B′＋∠B′O′C′（等量加等量，和相等或等式的性质1），

即∠AOC＝∠A′O′C′.

7．解：

因为AC＝BD，

所以AC－BC＝BD－BC（等量减等量，差相等或等式的性质1），即AB＝CD.

8．解：

因为AC＝A′C′，BC＝B′C′，

所以AC－BC＝A′C′－B′C′（等量减等量，差相等或等式的性质1），即AB＝A′B′.

9．解：

因为∠AOC＝∠A′O′C′，∠AOB＝∠A′O′B′，

所以∠AOC－∠AOB＝∠A′O′C′－∠A′O′B′（等量减等量，差相等或等式的性质1），

即∠BOC＝∠B′O′C′.

10．2∠2　角平分线的定义　等量的同倍量相等或等式的性质2　等量代换

11．解：

因为M，M′分别是线段AB，A′B′的中点，

所以AM＝

AB，A′M′＝

A′B′（线段中点的定义）．

又因为AB＝A′B′，

所以

AB＝

A′B′（等量的同分量相等或等式的性质2）．所以AM＝A′M′（等量代换）．

12．C　[解析]当M是直线AB上的一点，且AM＝MB时，M是AB的中点，所以①错．其他均正确．

13．C　[解析]③不正确，①②④正确．故选C.

14．等式的性质1或等量减等量，差相等　等量代换

15．∠2　平角的定义　同角的补角相等

16．[解析]

（1）①根据角的和、差关系解答；②利用周角的定义解答．

（2）①根据角的和、差关系解答；②根据两三角尺的位置关系表示出∠AOC，整理即可得到原关系仍然成立．

解：

（1）①∠AOD＝∠BOC.理由：

因为∠AOB＝90°，∠DOC＝90°，

所以∠AOB＝∠DOC（等量代换）．

所以∠AOB＋∠BOD＝∠DOC＋∠BOD（等式的性质1或等量加等量，和相等），

即∠AOD＝∠BOC.

②∠AOC与∠BOD互补．

理由：

因为∠AOB＝90°，∠DOC＝90°，

∠AOC＋∠AOB＋∠BOD＋∠DOC＝360°（周角的定义），

所以∠AOC＋90°＋∠BOD＋90°＝360°（等量代换）．所以∠AOC＋∠BOD＝180°.

所以∠AOC与∠BOD互补（互补的定义）．

（2）①∠AOD＝∠BOC.理由：

因为∠AOB＝90°，∠DOC＝90°，

所以∠AOB＝∠DOC（等量代换）．

所以∠AOB－∠BOD＝∠DOC－∠BOD（等式的性质1或等量减等量，差相等），

即∠AOD＝∠BOC.

②成立．理由：

因为∠AOC＝90°＋∠BOC，∠BOC＝90°－∠BOD，

所以∠AOC＝90°＋90°－∠BOD（等量代换）．

所以∠AOC＋∠BOD＝180°.

所以∠AOC与∠BOD互补（互补的定义）．

或者：

因为∠AOC＋∠BOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠BOD＝∠AOB＋∠DOC，∠AOB＝90°，∠DOC＝90°，

所以∠AOC＋∠BOD＝180°.

所以∠AOC与∠BOD互补（互补的定义）．

17．解：

（1）因为O是直线AB上的一点，

所以∠AOB＝180°（平角的定义）．

因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，

所以∠COM＝

∠AOC，∠CON＝

∠BOC（角平分线的定义）．

所以∠MON＝∠COM＋∠CON＝

∠AOC＋

∠BOC＝

∠AOB＝90°.

（2）ON平分∠BOC.理由如下：

因为O是直线AB上的一点，

所以∠AOB＝180°（平角的定义）．

因为∠MON＝90°，

所以∠BON＝∠AOB－∠MON－∠AOM＝180°－90°－∠AOM＝90°－∠AOM，

∠CON＝∠MON－∠COM＝90°－∠COM.

因为OM平分∠AOC，

所以∠AOM＝∠COM（角平分线的定义）．

所以∠BON＝∠CON（等角的余角相等）．

所以ON平分∠BOC（角平分线的定义）．

（3）A，O，B三点在同一条直线上．理由如下：

因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，

所以∠AOC＝2∠COM，∠BOC＝2∠CON（角平分线的定义）．

所以∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝2（∠COM＋∠CON）＝2∠MON.

因为∠MON＝90°，所以∠AOB＝180°.

所以A，O，B三点在同一条直线上（平角的定义）．