专题训练七 基本推理入门训练.docx
《专题训练七 基本推理入门训练.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题训练七 基本推理入门训练.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![专题训练七 基本推理入门训练.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-12/15/c293632e-2078-4ff1-92b9-27e9165a9e90/c293632e-2078-4ff1-92b9-27e9165a9e901.gif)
专题训练七基本推理入门训练
专题训练(七) 基本推理入门训练
► 类型一 等量关系的应用
内容
基本推理格式
温馨提示
全量等于它
各部分的和
结合图形直接应用
由图形的长度、面积、体积的和差关系体现
等量代换
因为a=b,b=c,
所以a=c
在等式、不等式或运算中有等量进行交换都属于等量代换
等量加等量,
和相等
①因为a=b,
所以a+c=b+c;
②因为a=b,c=d,
所以a+c=b+d
①在代数上表述为等式的性质1;
②应用等式的性质进行推理常常体现在等式的运算中,比如移项,等式两边同加、同减、同乘、同除等
等量减等量,
差相等
①因为a=b,
所以a-c=b-c;
②因为a=b,c=d,
所以a-c=b-d
等量的同倍
量相等
因为a=b,
所以na=nb(n是正整数)
在代数上表述为等式的性质2
等量的同分
量相等
因为a=b,
所以
=
(n是正整数)
1.阅读:
例:
因为∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,根据“同角的余角相等”,所以∠2=∠3.
解:
因为∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,
所以∠2=∠3(同角的余角相等).
仿照例题,请用式子及符号表示下列句子:
(1)因为∠1=60°,∠2=60°,根据“等量代换”,所以∠1=∠2;
(2)因为M是线段AB的中点,根据“线段中点的定义”,所以AM=BM;
(3)因为3AC=3BD,根据“等式的性质2”,所以AC=BD;
(4)因为∠1与∠2互补,∠1与∠3互补,根据“同角的补角相等”,所以∠2=∠3;
(5)因为∠AOB=180°,根据“平角的定义”,所以点A,O,B在一条直线上.
2.填空:
(1)因为∠1=∠2,∠2=∠3,
所以________=________(等量代换);
(2)因为AB=5cm,CD=5cm,
所以________=________( );
(3)因为∠1=∠B,∠2=∠C,∠1=∠2,
所以________=________( );
(4)因为∠1+∠2+∠C=180°,∠1=∠A,∠2=∠B,
所以________+________+∠C=180°( );
(5)因为a>b,c=a,所以________( );
(6)因为∠1=120°-∠A,∠2=120°-∠A,
所以________=________( ).
3.如图7-ZT-1,B,C是线段AD上的两点,AB=CD,试说明:
AC=BD.
图7-ZT-1
4.如图7-ZT-2,若∠1=∠2,试说明:
∠AOB=∠COD.
图7-ZT-2
5.如图7-ZT-3,点B,B′分别在线段AC,A′C′上,AB=A′B′,BC=B′C′.试说明:
AC=A′C′.
图7-ZT-3
6.如图7-ZT-4,∠AOB=∠A′O′B′,∠BOC=∠B′O′C′.试说明:
∠AOC=∠A′O′C′.
图7-ZT-4
7.如图7-ZT-5,B,C是线段AD上的两点,AC=BD,试说明:
AB=CD.
图7-ZT-5
8.如图7-ZT-6,点B,B′分别在线段AC,A′C′上,AC=A′C′,BC=B′C′.
试说明:
AB=A′B′.
图7-ZT-6
9.如图7-ZT-7,∠AOC=∠A′O′C′,∠AOB=∠A′O′B′.试说明:
∠BOC=∠B′O′C′.
图7-ZT-7
10.如图7-ZT-8,∠1=∠2,BD,B′D′分别是∠ABC,∠A′B′C′的平分线.
试说明:
∠ABC=∠A′B′C′.
图7-ZT-8
解:
因为BD,B′D′分别是∠ABC,∠A′B′C′的平分线,
所以∠ABC=2∠1,∠A′B′C=______().
又因为∠1=∠2,
所以2∠1=2∠2( ).
所以∠ABC=∠A′B′C′( ).
11.如图7-ZT-9,M,M′分别是线段AB,A′B′的中点,AB=A′B′.试说明:
AM=A′M′.
图7-ZT-9
► 类型二 定义的应用
项目
定义的内容
图形
常用推理格式
线段中
点的定义
把一条线段分成相等的两条线段的点叫做线段的中点
①因为M是线段AC的中点,
所以AM=MC=
AC或AC=2MC=2AM;
②因为M是线段AC上一点,AM=MC,
所以M是线段AC的中点
角平分
线的定义
从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线
①因为射线OC是∠AOB的平分线,
所以∠1=∠2=
∠AOB或∠AOB=2∠1=2∠2;
②因为∠1=∠2,
所以OC是∠AOB的平分线
平角的定义
角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形,当终边和始边成一条直线时叫做平角
①因为点A,O,B在一条直线上,
所以∠AOB=180°或∠AOC+∠BOC=180°
或∠AOD+∠DOC+∠BOC=180°;
②因为∠AOB=180°,
所以点A,O,B在一条直线上(即A,O,B三点共线)
两个角互
余的定义
如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角,即其中一个角是另一个角的余角.两个角互为余角简称为两个角互余
①因为∠1+∠2=90°,
所以∠1与∠2互余;
②因为∠1与∠2互余,
所以∠1+∠2=90°或∠1=90°-∠2或∠2=90°-∠1;
③因为∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,
所以∠2=∠3(同角的余角相等)
两个角互
补的定义
如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角.两个角互为补角简称为两个角互补
①因为∠1+∠2=180°,
所以∠1与∠2互补;
②因为∠1与∠2互补,
所以∠1+∠2=180°或∠1=180°-∠2或∠2=180°-∠1
③因为∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,
所以∠2=∠3(同角的补角相等)
12.有下列四种说法:
①因为AM=MB,所以M是AB的中点;②在线段AM的延长线上取一点B,如果AB=2AM,那么M是AB的中点;③因为M是AB的中点,所以AM=MB=
AB;④因为点A,M,B在同一条直线上,且AM=BM,所以M是AB的中点.其中正确的是( )
A.①③④B.②④C.②③④D.③④
13.如图7-ZT-10所示,点P在∠AOB的内部,则下列四个等式:
①∠AOP=∠BOP;
②∠AOP=
∠AOB;③∠AOP=
∠BOP;④∠AOB=2∠BOP.
其中能说明OP是∠AOB的平分线的有( )
图7-ZT-10
A.1个B.2个C.3个D.4个
14.请用等式的性质及等量代换说明“同角的余角相等”.
已知:
∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°.
试说明:
∠2=∠3.
解:
因为∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,
所以∠2=90°-∠1,∠3=90°-∠1().
所以∠2=∠3( ).
15.如图7-ZT-11,直线AB与CD相交于点O,请说明:
∠1=∠2.
补全下面的说明过程,并在括号内填上适当的理由.
图7-ZT-11
解:
因为点C,O,D在同一条直线上,
所以∠1+∠AOD=180°(平角的定义).
因为点A,O,B在同一条直线上,
所以________+∠AOD=180°( ).
所以∠1=∠2( ).
16.如图7-ZT-12ⓐ所示,将一副三角尺的直角顶点重合在点O处.
(1)①∠AOD和∠BOC相等吗?
说明理由;
②∠AOC和∠BOD有何关系?
说明理由.
(2)若将等腰直角三角尺绕点O旋转到如图ⓑ所示的位置.
①∠AOD和∠BOC相等吗?
说明理由;
②∠AOC和∠BOD的上述关系还成立吗?
说明理由.
图7-ZT-12
17.
(1)如图7-ZT-13,O是直线AB上的一点,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC.试说明:
∠MON=90°;
(2)如图7-ZT-13,O是直线AB上的一点,∠MON=90°,OM平分∠AOC,则ON平分∠BOC吗?
请说明理由;
(3)如图7-ZT-13,若∠MON=90°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,则A,O,B三点在同一条直线上吗?
请说明理由.
图7-ZT-13
教师详解详析
1.解:
(1)因为∠1=60°,∠2=60°,
所以∠1=∠2(等量代换).
(2)因为M是线段AB的中点,
所以AM=BM(线段中点的定义).
(3)因为3AC=3BD,
所以AC=BD(等式的性质2).
(4)因为∠1与∠2互补,∠1与∠3互补,
所以∠2=∠3(同角的补角相等).
(5)因为∠AOB=180°,
所以点A,O,B在一条直线上(平角的定义).
2.
(1)∠1 ∠3
(2)AB CD 等量代换
(3)∠B ∠C 等量代换
(4)∠A ∠B 等量代换
(5)c>b 等量代换
(6)∠1 ∠2 等量代换
3.解:
因为AB=CD,
所以AB+BC=CD+BC(等量加等量,和相等或等式的性质1),即AC=BD.
4.解:
因为∠1=∠2,所以∠1+∠BOD=∠2+∠BOD(等量加等量,和相等或等式的性质1),
即∠AOB=∠COD.
5.解:
因为AB=A′B′,BC=B′C′,
所以AB+BC=A′B′+B′C′(等量加等量,和相等或等式的性质1),即AC=A′C′.
6.解:
因为∠AOB=∠A′O′B′,∠BOC=∠B′O′C′,
所以∠AOB+∠BOC=∠A′O′B′+∠B′O′C′(等量加等量,和相等或等式的性质1),
即∠AOC=∠A′O′C′.
7.解:
因为AC=BD,
所以AC-BC=BD-BC(等量减等量,差相等或等式的性质1),即AB=CD.
8.解:
因为AC=A′C′,BC=B′C′,
所以AC-BC=A′C′-B′C′(等量减等量,差相等或等式的性质1),即AB=A′B′.
9.解:
因为∠AOC=∠A′O′C′,∠AOB=∠A′O′B′,
所以∠AOC-∠AOB=∠A′O′C′-∠A′O′B′(等量减等量,差相等或等式的性质1),
即∠BOC=∠B′O′C′.
10.2∠2 角平分线的定义 等量的同倍量相等或等式的性质2 等量代换
11.解:
因为M,M′分别是线段AB,A′B′的中点,
所以AM=
AB,A′M′=
A′B′(线段中点的定义).
又因为AB=A′B′,
所以
AB=
A′B′(等量的同分量相等或等式的性质2).所以AM=A′M′(等量代换).
12.C [解析]当M是直线AB上的一点,且AM=MB时,M是AB的中点,所以①错.其他均正确.
13.C [解析]③不正确,①②④正确.故选C.
14.等式的性质1或等量减等量,差相等 等量代换
15.∠2 平角的定义 同角的补角相等
16.[解析]
(1)①根据角的和、差关系解答;②利用周角的定义解答.
(2)①根据角的和、差关系解答;②根据两三角尺的位置关系表示出∠AOC,整理即可得到原关系仍然成立.
解:
(1)①∠AOD=∠BOC.理由:
因为∠AOB=90°,∠DOC=90°,
所以∠AOB=∠DOC(等量代换).
所以∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD(等式的性质1或等量加等量,和相等),
即∠AOD=∠BOC.
②∠AOC与∠BOD互补.
理由:
因为∠AOB=90°,∠DOC=90°,
∠AOC+∠AOB+∠BOD+∠DOC=360°(周角的定义),
所以∠AOC+90°+∠BOD+90°=360°(等量代换).所以∠AOC+∠BOD=180°.
所以∠AOC与∠BOD互补(互补的定义).
(2)①∠AOD=∠BOC.理由:
因为∠AOB=90°,∠DOC=90°,
所以∠AOB=∠DOC(等量代换).
所以∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD(等式的性质1或等量减等量,差相等),
即∠AOD=∠BOC.
②成立.理由:
因为∠AOC=90°+∠BOC,∠BOC=90°-∠BOD,
所以∠AOC=90°+90°-∠BOD(等量代换).
所以∠AOC+∠BOD=180°.
所以∠AOC与∠BOD互补(互补的定义).
或者:
因为∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠BOC+∠BOD=∠AOB+∠DOC,∠AOB=90°,∠DOC=90°,
所以∠AOC+∠BOD=180°.
所以∠AOC与∠BOD互补(互补的定义).
17.解:
(1)因为O是直线AB上的一点,
所以∠AOB=180°(平角的定义).
因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,
所以∠COM=
∠AOC,∠CON=
∠BOC(角平分线的定义).
所以∠MON=∠COM+∠CON=
∠AOC+
∠BOC=
∠AOB=90°.
(2)ON平分∠BOC.理由如下:
因为O是直线AB上的一点,
所以∠AOB=180°(平角的定义).
因为∠MON=90°,
所以∠BON=∠AOB-∠MON-∠AOM=180°-90°-∠AOM=90°-∠AOM,
∠CON=∠MON-∠COM=90°-∠COM.
因为OM平分∠AOC,
所以∠AOM=∠COM(角平分线的定义).
所以∠BON=∠CON(等角的余角相等).
所以ON平分∠BOC(角平分线的定义).
(3)A,O,B三点在同一条直线上.理由如下:
因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,
所以∠AOC=2∠COM,∠BOC=2∠CON(角平分线的定义).
所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=2(∠COM+∠CON)=2∠MON.
因为∠MON=90°,所以∠AOB=180°.
所以A,O,B三点在同一条直线上(平角的定义).