工程数学线性代数题库及答案.docx
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工程数学线性代数题库及答案
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一、判断题
1.若A,B为n阶对称阵，则AB也是对称阵。
（b）
2.整个向量组线性无关，则部分向量组线性无关。
（a）
3,设1,2是线性方程组AXb的两个不同的解，则i2是对应的齐次线性
方程组AX0的解。
（a）
4.若A可逆，则A也可逆。
（a）
5.若A的顺序主子式都大于0,则A正定。
（bA）
6.部分向量组线性无关，则整个向量组线性无关。
（b）
7.A和AT具有相同的特征值。
（a）
8.若A可逆，则A也可逆。
（a）
9.若实对称阵A的特征值全大于零，则二次型fXTAX是正定的。
（a）
10.设1,2是线性方程组AXb的两个不同的解，则12是对应的齐次线性方程组AX0的解。
（a）
11.设1是线性方程组AXb的两个不同的解，2是齐次线性方程组AX0的
解，则12是对应的线性方程组AXb的解。
（bA）
12.若A可逆，则A1也可逆。
（a）
13.设1,2Ls是非齐次线性方程组AXb的s个不同的解，KHLks为实
数，满足k〔k2Lks1,则xk11k22Lkss也是它的解。
（a）
14.n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
（a）
15.设丫1x（x1,x2Lxn）Tx1,x2LxnR满足x1x2Lxn0，则V1是向量
空间。
（a）
16.A和AT具有相同的特征值。
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17.若A可逆，则A也可逆
18.若实对称阵A的特征值全大于零，则二次型fXTAX是正定的。
（a）
二、选择题
k12
1.行列式0的充分必要条件是（C）
2k1
2.设A与B都是n阶方阵，则必有（C）
3.设1，2……s均为n维向量，下列结论不正确的是（）
4.设A,B为同阶可逆方阵，则必有（D）
5.正定实二次型的矩阵是（）
A.实对称且所有元素为正B.实对称且对角线上元素为正数
C.实对称且各阶顺序主子式为正数
D.实反对称且行列式值为正数
6.A是三阶矩阵，特征值为10,21,31,其对应的特征向量分别是
1,2,3，设P（1,2,3），则有P1AP（）
k21
7.行列式2k00的充分条件是（）
111
8.设A是n阶可逆万阵，A是A的伴随矩阵，则（）
9.若向量组1,2……s的秩为r,下列结论不正确的是（C）
10.矩阵（）是二次型X126x1X23x2的矩阵
11.已知
1,
2是AXb的两个不同的解,
2是其对应的齐次方程组AX0的
KH是任意常数,则（
）是以b的通解。
k1
1k2（12）2
k11k2（12）2
C.k11k2（12）~~~
12.A是三阶矩阵，特征值为
k1
k2（12）方二
10,
1,31,其对应的特征向量分别是
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1,2,3，设P（1,2,3），则有P1AP（）
xyz0
13.线性方程组2x5y3z10的解为（）
4x8y2z4
14.设A与B都是n阶方阵，则必有（）
一，，一,1110
15.已知矩阵A,B0,则ABBA（:
0111
16.设1,2……s均为n维向量，下列结论不正确的是（B
17.A是三阶矩阵，特征值为10,21,31,其对应的特征向量分别是
1,2,3，设P（1,2,3），则有P1AP（）
18.设向量组&0自冏线性相关，则向量组中（A）
A,必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
B,必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
C,必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
D,每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
19.设n阶矩阵AB、C满足ABCE,则C（）
20.设可且2自是其次线性方程组Ax0的一个基础解系，则下列向量组中，可以
作为该方程组基础解系的是（
21.设向量（4,1,2,2）,则下列向量是单位向量的是（
22.设A,B为同阶可逆方阵，则必有（D
xyz0
23.线性方程组2x5y3z5的解为（4x8y2z2
.，一,1110
24.已知矩阵A,B0,则AB（
0111
25.A是三阶矩阵，特征值为
2,21,31,其对应的特征向量分别是
26.矩阵（C
）是二次型f（x1,x2）x；
8x1x23x2的矩阵。
27.设n阶矩阵AB、C满足ABCE,则C（
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28.设4e2自是其次线性方程组Ax0的一个基础解系，则下列向量组中，可以
作为该方程组基础解系的是（）
29.设A是n阶矩阵，则（）
30.向量组1,2……r的秩为r的充分必要条件是（D
31.设A,B,C满足ABCE,则必有（）
2
1aa
32.矩阵1bb2的秩为3,则（）
1cc2
A.a,b,c都不等于1B.a,b,c都不等于0
C.a,b,c互不相等D.abc
33.A是三阶矩阵，特征值为10,21,32,其对应的特征向量分别是
1,2,3，设P（1,2,3），则有P1AP（）
k21
34.行列式2k00的充分条件是（）
111
35.设A是n阶可逆方阵，A是A*的伴随矩阵，则（
36.矩阵（）是二次型X126x1X23x2的矩阵
37.已知1,2是AXb的两个不同的解,
1,2是其对应的齐次方程组AX0的
基础解系，khk2是任意常数，则（B
）是以b的通解。
C.k1
k2（1
2）
D.k11
k2（1
2）
38.设A和B均为nn矩阵，则必有（C）
A.IAB||A||B|
B.ABBA
C.|AB||BA|
_11_
D.（AB）ab
39.设A,B,AB,A1B1均为可逆矩阵，则（A1B1）1为（c）
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A.A1B1
B.
ABC.
_1_
A（AB）BD（A
B）1
40.设A为n阶非奇异方阵（n>1），A
为A的伴随矩阵，则（A）为（
A.|A1n1A
B.1A1n1AC.
|A|n2A
D.
|A|n2
41.若
2，3,
2均为四维列向量，
m,|
1223
|n,
则13
2）|（C）
A.m
B.
（mn）
C.
D.
AT
42.设A，B为n阶可逆矩阵，则
_2n_1
A.
（2）|A||B|
B.
2）nIA||B|
C.
2）|AT||B|
D.
（2）|A||B|1
43.设
a12
a21
a22
a23
a22
a23，B
a11
a12
a13
a32
a33
a31a1
1a32a12
a33a13
1
1
a1.
a2
a31
P1
，P2
，则必有（
A.AP1P2
B.
AP2P
C.
P1P2A
D.
BRAB
P1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
，P2
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0，
1其中A可逆，则
）.
A.A1P1P2
B.
P〔A1P2
C.
P1P2A1
D.
P2A1P1
45.设A为mn矩阵，
m矩阵，则（）
A.当m
n时，必有1AB|
0；
B.当m
n时，必有1ABi
0；
C.当n
m时，必有1ABi
0；
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D,当门m时，必有lAB1
0.
46.设A为m
n矩阵，C是n
阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵BAC的秩为ri,
则（）
A.r
r1；
B.
rr1；
C.r「1；
D.
「与ri的关系视C而定.
47.设
1
（/0，
1
，”A
T,BE2
则AB=（）
A.0
B.
C.
D.
（n
3）,r（A）
1,
48.设矩阵A=a
A.1B.1/（1-n）
则a=（
49.
设行列式
a2
C.-1
a2
D.1/（n-1）
Ab1
a2
c2
A.
C.
-1
1
B.0
D.2
50.
设矩阵
则A中位于第2行第3列的兀素是
A.
C.
-14
6
B.
D.
-6
14
51.
2
A是n阶矩阵，O是n阶零矩阵，且A
B.
C.
D.
52.
A.
C.
已知4X3矩阵A的列向量组线性无关，则r（AT）=
1B.2
3D.4
53.
设向量组1（2,0,0）T
2（0,0,-1）T,则下列向量中可以由
2线性表示的是
A.
C.
（-1,-1,-1）T（-1,-1,0）T
B.（0,-1,-1）
D.（-1,0,-1）
54.
齐次线性方程组
X1
X3
X2X32x40
x0
4的基础解系所含解向量的个数为
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A.1
C.3
B.2
D.4
55.
1,
2是非齐次线T方程组Ax=b的两个解向量,
则下列向量中为方程组解的是
C.
1
D.一
2
56.
若矩阵A与对角矩阵D
A.E
C.-E
57.设3阶矩阵A的一个特征值为
A.-9
C.3
58.
C.
59.
C.
60.
C.
61.
C.
62.
C.
63.
B.
C.
相似，则
1
A2=
B.A
D.2E
-3,则-A2必有一个特征值为
B.-3
D.9
22
二次型f（x1,x2,x3）x1x2
22
Z1Z2
设A是4阶方阵，且det（A）=4,
44
46
已知A2+A+E=0,则矩阵A-1=（
A+E
-A-E
2
x3
2x1x22x1x3
2X2X3的规范形为
B.
D.
2
Z1
det（4A）=（
B.
D.
B.
D.
45
47
A-E
-A+E
设矩阵A,B,C,X为同阶方阵，且A,B可逆,
A-1CB-1
B-1A-1C
B.CA-1B-1
D.CB-1A-1
2
Z2
22
Z2Z3
AXB=C,则矩阵X=（
设A是s工矩阵（sW°）则以下关于矩阵A的叙述正确的是（
AtA是s>S对称矩阵
B.AtA=AAt
（AtA）t=AAt
I,2,3,
I,2,3,
5一定可以由
3,
4,
4,
1,
D.AAT是s>S对称矩阵
4,5是四维向量，则（
5一定线性无关
5一定线性相关
2,3,4线性表出
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D.1一■定可以由2,3,4,5线性表出
64.设A是n阶方阵，若对任意的n维向量X均满足AX=0,则（）
A.A=0B.A=E
C.秩（A）=nD,0＜秩（人）＜门
65.设矩阵A与B相似，则以下结论不正确.的是（）
A.秩（A尸秩（B）
C.A与B有相同的特征值
39
66.设1,2,3为矩阵A=04
00
B.A与B等价
D.A与B的特征向量一定相同
0
5的三个特征值，则123=（
2
A.10
C.24
22
67.一次型f（xi,X2,X3）=x1x2
B.20
D.30
2
X32XiX22X1X32X2X3的秩为（
A.1
C.3
68.设A,B是正定矩阵，则（
A.AB一定是正定矩阵
C.（AB）T一定是正定矩阵
，，1r，■.、
69.设矩阵A=,B=（1,1）1
B.2
D.4
）
B.A+B一定是正定矩阵
D.A-B一定是负定矩阵
则AB=（）
B.（1,-1）
A.0
1C.
1
70.
设A为3阶矩阵，|A|=1,则卜2AT|二（
）
A.
-8
B.-2
C.
2
D.8
abca
abc
71.设行列式D1=
a1匕C1a1
D2=
a1biC1
则D1=（
a2b2c2a2
a2b2C2
A.0
B.
D2
C.2D2
D.
3D2
12
72.设矩阵A的伴随矩阵A34
则A-1=（
）
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C.
）
B.AB可逆
D.AB+BA可逆
3
0,则r（AB）=（
73.设A,B均为n阶可逆矩阵，则必有（
A.A+B可逆
C.A-B可逆
10
74.设A为3阶矩阵且r（A）=2,B=01
A.0B.1
C.2D.3
75.设向量组“1=（1,2）,“2=（0,2）,B=（4,2）,则（）
A.a1,a2,3线性无关
B.B不能由a1,a2线性表示
C.B可由“1,a2线性表示，但表示法不惟一
D.B可由a1,a2线性表示，且表示法惟一
2x1x2x30
76.设齐次线性方程组
Xx2x30有非零解，则为（
X1x2x30
A.-1
B.0
C.1
D.2
77.设A为3阶实对称矩阵，A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组
础解系所含解向量的个数为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
78.二次型f（x1,x2,x3）=
：
x12+x22+4x32-2tx2x3正定，贝Ut满足（）
A.-4B.-2C.2D.t<-4或t>4
011
79.3阶行列式
aij
101
中兀素a21的代数余子式A21=（）
110
A.-2
B.-1
C.-1
D.2
80.设n阶可逆矩性
EA、B、C满足ABC=E,贝UB-1=（）
A.A-1C-1
B.C-1A-1
（E-A）x=0的基
C.AC
D.CA
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01
81.设3阶矩阵A=00
0
1，则A2的秩为（
A.0
C.2
82.设矩阵A=a11a12,B=a21a11a22a12,P1=01,P2=10,则必有
a21a22a11a121011
（）
B.P2P1A=B
D.AP2P1=B
A.P1P2A=B
C.AP1P2=B
83.设向量组a1,a2,a3,
a4线性相关，则向量组中（
A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
B,必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
C.必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
D.每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
84.设a1,a2,a3,a4是一个4维向量组，若已知a4可以表为a1,a2,a3,的线性组合,且表不法惟一",则向量组a1,a2,a3,a4的秩为（）
B.2
Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作
A.1
C.3
85.设a1,a2,a3是齐次线性方程组为该方程组基础解系的是（
A.a1,a2,a1+a2
C.a1+a2,a2+a3,a3+a1
B.a1,a2,a1-a2
D.a1-a2,a2-a3,a3-a1
86.设A为3阶矩阵，且12A
3E=0,则A必有一个特征值为（
B.
C.
D.
87.设实对称矩阵A=0
0
00
42，则3元二次型f（X1,x2,X3）=xTAx的规范形为（
21
A.z2+z2+z2
-22
C.Z1+Z2
222
B.Z1+Z2-Z3
D.Z12-z1
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88.设2元二次型f（xi,X2）=xTAx正定，则矩阵A可取为（）
C.
89.设A为mXn矩阵，B为n>m矩阵，mwn,则下列矩阵中为n阶矩阵的是（）
a.btatb.atbt
C.ABAD.BAB
a11a12a13
a115a112a12a13
90.设行列式D=
a21a22a23
=3,D1=
a215a212a22a23
则D1的值为（）
a31a32a33
a315a312a32a33
A.-15B.-6
C.6D.15
91.设A为n阶方阵，n>2,则卜5A|=（）
A.（-5）n|A|B.-5|A|
C.5|A|D,5n|A|
12
92.设A=，则A*|二（）
34
A.-4B.-2
C.2D.4
93.向量组a1,a2…，as（s>2）线性无关的充分必要条件是（）
A.a1,a2,…，ss均不为零向量
B.a1,a2,…，as中任意两个向量不成比例
C.a1,a2,…，sS中任意s-1个向量线性无关
D.a1,a2,…，as中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示
94,设3元线性方程组Ax=b,A的秩为2,11,22,刀3为方程组的解，刀1+刀2=（2,0,4）T,r]1+t]3=（1,-2,1）T,则对任意常数k,方程组Ax=b的通解为（）
A.（1,0,2）T+k（1,-2,1）TB.（1,-2,1）T+k（2,0,4）T
C.（2,0,4）T+k（1,-2,1）TD.（1,0,2）T+k（1,2,3）T
95,设3阶方阵A的特征值为1,-1,2,则下列矩阵中为可逆矩阵的是（）
A.E-A
B.-E-A
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C.2E-A
D.-2E-A
96,设入=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵（A2）-1必有一个特征值等于（
1A.—
4
1B.-
2
C.2
D.4
97,设3阶方阵A的秩为2,则与A等价的矩阵为（
1
A.0
0
C.2
0
98.二次型
2
f（X1,X2,X3,X4,）=X1
1
B.0
0
D.2
3
X22X3X4的秩为（
B.2
D.4
99.设矩阵A,
B,
C为同阶方阵，则（ABC）T=
A.1
C.3
B.CtBtAt
100.设行列式
a2
b1
b2
=1，
a2
C1
C2
=2,
a1
a2
b1
b2
C1
C2
A.-3
B.
-1
A.AtBtCt
C.CtAtBt
D.AtCtBt
D.
101.设
A为3阶方阵，且已知
|-2A|=2,则|A|=（
C.1
B.
A.1
C.--
4
D.
-1
102.设
一，112
A为2阶可逆矩阵，且已知（2A）-1=34
，则A=（
A.2
1
B.2
3
c11D.
23
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103.设向量组a1,
as线性相关，则必可推出（
A.
as中至少有一个向量为零向量
B.
as中至少有两个向量成比例
C.
D.
as中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合
as中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合
104.设
A为mxn矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是
A.A的列向量组线性无关
B.A的列向量组线性相关
C.A的行向量组线性无关
D.A的行向量组线性相关
105.设A为3阶矩阵，且已知|3A+2E|=0,则A必有一个特征值为（
106.设3阶矩阵A与B相似，且已知A
“1
A.—
12
的特征值为2,2,3,则|B-1尸（
C1
B.
7
C.7
D.12
22
107.一次型f（X1,X2,X3）X1X2
2X1X24X1X3的矩阵为（
A.2
4
B.
1
C.1
2
1
108.设3阶实对称矩阵A与矩阵B=0
0
D.
“222
A.4Z22Z3
C.Z1123Z2z£
0
0合同,
2
B.
D.
则二次型xtAx的规范形为（
222
Z1Z2Z3
Z2
则下列矩阵运算中有意义的是
B.ABC
A.ACB
C.BAC
D.CBA
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110.设A为3阶方阵，且|A|=2,则|2A-1|=（
A.-4
B.
-1
C.1
D.
111.矩阵
3的逆矩阵是
0
B.
C.
D.
112.设
2阶矩阵
B.
C.
D.
113.设矩阵
，则A中（
C.所有
2阶子式都不为零
3阶子式都不为零
B.所有2阶子式都为零
D.存在一个3阶子式不为零
B.A-At
D.ATA
A.A的列向量组线性相关
B.A的列向量组线性无关
C.A的行向量组线性相关
D.A的行向量组线性无关
114.设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（
A.A+At
C.AAt
115.设A为mxn矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是
116.设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为“=（1,0,2）T,3=（1,-1,3）T,且
系数矩阵A的秩r（A）=2,则对于任意常数k,k1,k2,方程组的通解可表为（
A.k1（1,0,2）T+k2（1,-1,3）T
B.（1,0,2）T+k（1,-1,3）T
C.（1,0,2）T+k（0,1,-1）T
D.（1,0,2）T+k（2,-1,5）T
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111
117.矩阵A=111111
A.4
C.2
1
118.矩阵A=2
1
A.2
3
1
C.2
3
123
119.行列式234345
A.2
C.0
120.设n阶方阵A,
A.ACB=E
C.BAC=E
121.设n阶方阵A中有
的非零特征值为（）
合同于（）
3
的值为（）
B.1
D.-1
C满足ABC=E,则必有（
B.CBA=E
D.BCA=E
n2-n个以上元素为零，则|A
A.大于零
C.小于零
B.等于零
D,不能确定
122.设3阶矩阶
A=
A.4
C.1
X1
123.线性方程组
X3
B.3
D.1
1
B.2
3
1
D.2
3
的值（）
（a1,3,丫）,B=（a2,3,丫）
X2
X32
X11
且A=2,|B=-1,则AB=
有解的充分必要条件是a
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B.
A.-1
124.设A为mxn矩阵，则非齐次线性方程组
Ax=b有惟一解的充分必要条件是
B.Ax=0只有零解
C.向量b可由A的列向量组线性表出
D.A的列向量组线性无关，而增广矩阵
A的列向量组线性相关
125.设A为3阶矩阵，A
的特征值为
0,1,2,那么齐次线性方程组Ax=0的基础解系所
含解向量的个数为
B.1
A.0
C.2
126.设矩阵
A=
2
2
0
2
2
2
2
0
2
，则A为（
A.对称矩阵
C.正交矩阵
B.
2
-y1
2
y2
D.
2
y1
~22
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