最新全国二卷立体几何真题及模拟题.docx

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最新全国二卷立体几何真题及模拟题

立体几何（理科）

立体几何解题中常用的判定定理及性质定理

1•直线与平面平行的判定定理：

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（线线平行=线面平行）

若a?

:

-,b?

:

-,a//b,则a//:

-.

2.直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，过这条直线的任

一平面与此平面的交线与该直线平行.（线面平行=线线平行）

若a//a,a?

B,«?

b,则a//b.

3.直线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,

则该直线与此平面垂直.

若m?

a,n?

a,m?

n=O,I丄m,I丄n,贝UI丄a.

4.直线与平面垂直的性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线平行.

若a丄a,b±a,贝Ua//b.

5.平面与平面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个

平面，那么这两个平面平行.（线面平行=面面平行）

若a:

b:

-,a?

b=A,a/'■,b/'■,则:

//'■.

6.平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么

它们的交线平行.

若〉//'■,:

-G尸a,5尸b,则a//b.

7.两个平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这

两个平面互相垂直.

若IX：

I,则［丄I

8.两个平面垂直的性质定理：

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于

它们交线的直线垂直于另一个平面.

若:

•丄：

=I,a二:

；,a丄I,贝Ua丄：

.

空间角的计算

（1）两条异面直线所成角的求法

设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为9,则

平面a的法向量为n,直线I与平面a

（3）二面角的求法

①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m,n〉即为

所求二面角的平面角.

②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这

两个平面的法向量的夹角来求.

如图所示，二面角al-B,平面

a的法向量为ni，平面B的法向量为“2,

〈ni,n2〉=9,则

空间距离的计算

直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离.

点P到平面

a的距离，d=

（其中n为a的法向量,

M为a内任

点）•

空间角的范围

n

⑴异面直线所成的角（®：

Ov均；

n

（2）直线与平面所成的角（9:

OW花;

（3）二面角（9:

0<9

历年高考真题及解析

（2013课标全国U,理18）如图，直三棱柱ABC-AEG中，D,E分别是AB,BBi的

中点，AA=AC=CB=AB.

2

（1）证明：

BG//平面ACD;

（2）求二面角D-A,C—E的正弦值.

解：

⑴连结ACi交AiC于点F，则F为ACi中点.又D是AB中点，连结DF，则BCi//DF.

因为DF平面AiCD，BCi二平面AiCD，所以BCi//平面AiCD.

2

（2）由AC=CB=〒AB得,AC丄BC.

以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz.

i

设CA=2,则Dd，O），E（0,2,i）,Ai（2,0,2）,CD二（i,i,O），CE二（0,2,i）,CA二（2,0,2）.

设n=虫，yi,zi）是平面AiCD的法向量，

则nCD7即xiyi"，

nCA,=0,纠2弓=0.

可取n=（1,—1,—1）.

同理，设m是平面AiCE的法向量,

…mCE=0,

则可取m=（2,1,—2）.

mCA；=0,

从而cos〈n,m〉=nm3,

In||m|3

故sin〈n,

m〉」.

3

求三棱锥E-ACD的体积.

即二面角D-A1C-E的正弦值为乎（2014课标全国U,理18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄

平面ABCD,E为PD的中点.

（I）证明：

PB//平面AEC;

（U）设二面角D-AE-C为60°AP=1,AD=、、3,

解:

（I）

设AC的中点为G,连接EG.在三角形PBD中，中位线EG//PB,且EG在平面AEC上，所以PB//平面AEC.

（U）设CD=m,分别以,AB,AD,AP

为X,Y,Z

轴建立坐标系，则

lV31厂

A0,0,0）,D3Q0）,E（-p0,-）,CC.3,m,0）.

•••AD=3,0,0）,AE=^23,0,2）,AC=（..3,m,0）.

设平面ADE法向量为m=（x,,%,乙）,则n,AD=0,n,AE=0,

解得一个ni=（0,1,0）.

同理设平面ACE法向量为n2=（x2,y2,z2）,则^AC=0,n^AE=0,解得一个n2=（m,-、..3,-、..3m）.

*■■■—

冗I|n2?

n2|v31命砒曰3

cos=|cos|==二一，解得m二一.

3|n21?

|n2|Vm2+3+3m222

EFi设F为AD的中点，贝VPA//EF,且PA=二一，EF丄面ACD,

22

i-即为三棱锥E-ACD的高••••Ve-acd=2?

S从CD?

EF=丄？

1?

^?

..3?

丄二3.

332228

所以，三棱锥E-ACD的体积为—

8

（2015课标全国U,理19）如图，长方体

ABCDA\B1C1D1,AB=16,BC=10,AA=8,点E,F

分别在AB1,DQ1上,AE-UF=4.过点E,F的平面

:

-与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

（I）在图中画出这个正方形，不必说明画法和理由;

（II）求直线AF与平面〉所成角的正弦值.解：

（I）交线围成的正方形EHGF如图：

（U）作EM屈，垂足为M，则AMAE1=4，

EM二AA=8，因为EHGF为正方形，所以

EH二EF二BC=10.于是MH=-EH2-EM2=6，

IhFG

/?

所以AH=10.以D为坐标原点，DA的方向为x

轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

D—xyz，贝UA（10,0,0，H（10,10,0），E（10,4,8），

F（0,4,8），

FE=（10,0,0），

=（0,-6,8）.设n=（x,y,z是平面EHGF的法向量，贝U匚二I

■'

（2016课标全国U,理19）（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6，点E,F分别

5

在AD,CD上,AE二CF二-，EF交BD于点H.将ADEF沿EF折到ADEF的位

4

置OD'：

=活0.

（I）证明：

DH_平面ABCD；

（II）求二面角B-DA-C的正弦值.

（I）证明：

IAE二CF=-,

4

•••四边形ABCD为菱形,二AC_BD,

•••EF_BD,IEF_DH,二EF_DH.

•/AC=6,•AO=3;

又AB=5,AO_OB,•OB=4,

•AE/I・2I2II2

…OHOD=1,DH二DH=3,ODOH一D'H,

AO

•D'H_OH.

又TOHIEF=H,•••D'H_面ABCD.

（U）建立如图坐标系H_xyz.

D

B5,0,0,C1,3,0,D'0,0,3,A1,-3,0,

LT

••Rj=3,_4,5.

•sinV-^95

25

（2016课标全国川，理19）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD,

AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线

p

N

M

C

段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.

（I）证明：

MN//平面PAB;

（U）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

解:

2

（由已知得am=3AD=2，取BP的中点T，连接arn，由N为

1PC中点知TN//BC,TNBC=2.

2

又AD//BC，故TN平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形，于是

MN//AT.

因为AT平面PAB,MN二平面PAB，所以MN//平面PAB.

（n）取BC的中点E,连结AE，由AB二AC得AE_BC，从而AE_AD，

且AE»AB2_BE2=AB2_严）2」5.

\2

以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,由题意知，

PM

二（0,2,-4），

1,-2），AN=（乎,1,2）.

P（0,0,4），M（0,2,0），C（5,2,0），N谆,1,2），

2x-4z=0设n=（x,y,z）为平面PMN的法向量，则；翌0，即.5

nPN=0|——x+y—2z=0

LI2

可取n=（0,2,1），

|nAN]8.15

于疋|cos：

：

n,AN|

|n||AN|25

咼考模拟题

1.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA丄平面ABCD，/ABC=60,E,F分别是BC，PC的中点.

（1）证明：

AE丄PD;

（2）若PA=AB=2，求二面角E-AF-C的余弦值.

2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，/DAB=60，PD丄平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点.

（I）求证：

直线AF//平面PEC;

（U）求PC与平面PAB所成角的正弦值.

3.在长方体ABCD-AiBiCiDi中，AB=2,AD=1,AAi=1,点E在棱AB上移动.

（1）探求AE等于何值时，直线DiE与平面AAiDiD成45°角；

（2）点E移动为棱AB中点时，求点E到平面AiDCi的距离.

高考模拟题答案

1.

（1）证明：

•••四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,

/ABC=60,E,F分别是BC,PC的中点,

•△ABC是等边三角形,

•AE丄BC,•AE丄AD,

•••PA丄平面ABCD,AE?

平面ABCD,

•AE丄PA,

•••AEHAD=A,•AE丄平面PAD,

•••PD?

平面PAD,•AE丄PD.

（2）解：

由

（1）知AE、AD、AP两两垂直,

•••以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

•••E,F分别为BC,PC的中点，PA=AB=2,

•••A（0,0,0）,B（迥-1,0）,C（頂，1,

D（0,2,0）,P（0,