导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳.docx

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导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

　　导数习题题型十七：

含参数导数问题的分类讨论问题

　　含参数导数问题的分类讨论问题

　　1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根,导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

　　★已知函数f（x）x3（a2）x22ax,求函数的单调区间

　　1132　　f（x）x（a2）x2a（xa）（x2）

　　★★例1已知函数f（x）x2a（a2）lnx求函数的单调区间xx2（a2）x2a（x2）（xa）　　f（x）2xx22axa21★★★例3已知函数fxxR，其中aR。

2x1当a1时，求曲线yfx在点2,f2处的切线方程；当a0时，求函数fx的单调区间与极值。

　　解：

当a1时，曲线yfx在点2,f2处的切线方程为6x25y320。

　　2a（x21）2于a0，所以fx,

　　x211f'x0，得x1,x2a。

这两个实根都在定

　　a12axax2ax12x2axa1a'fx义域R内，但不知它们之间　　2222x1x122　　的大小。

因此，需对参数a的取值分a0和a0两种情况进行讨论。

（1）当a0时，则x1x2。

易得fx在区间,1，a,内为减函数，a在区间111,a为增函数。

故函数fx在x1处取得极小值fa2；

　　aaa函数fx在x2a处取得极大值fa1。

　　当a0时，则x1x2。

易得fx在区间（,a），（

　　1,）内为增函数，在区间a

　　111（a,）为减函数。

故函数fx在x1处取得极小值fa2；函数

　　aaafx在

　　x2a处取得极大值fa1。

　　1

　　以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。

因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。

当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。

　　★★★（区间确定零点不确定的典例）

　　例4某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元

　　2

　　的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件.求分公司一年的利润L与每件产品的售价x的函数关系式；

　　当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q.

　　解分公司一年的利润L与售价x的函数关系式为：

L=（x-3-a）（12-x）2,x∈［9,11］.

（2）L′（x）=（12-x）2-2（x-3-a）（12-x）　　=（12-x）（18+2a-3x）.

　　令L′=0得x=6+a或x=12.　　∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤

　　232328.323182ax3X=12yL（x）L（x）

　　在x=6+a两侧L′的值正变负.

　　901229　　所以①当8≤6+a＜9即3≤a＜时。

　　32x　　Lmax=L（9）=（9-3-a）（12-9）2=9（6-a）.　　②当9≤6+a≤

　　23289即≤a≤5时，329（6a）,222132Lmax=L（6+a）=（6+a-3-a）［12-（6+a）］=4（3-a）.所以Q（a）=33334（31a）3,3923a9,29a

　　答若3≤a＜，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q=9（6-a）；若≤a≤5，则当每件售价为（6+a）元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=43（万元）.

　　922313★★★★

　　例2、已知fxxlnx,gxxaxx2

　　32　　（Ⅰ）.求函数fx的单调区间;

　　（Ⅱ）.求函数fx在t,t2t0上的最小值;

　　（Ⅲ）对一切的x0,,2fxgx2恒成立,求实数a的取值范围.

　　'解：

（Ⅰ）f（x）lnx1,令f''1x0,解得0x1,fx的单调递减区间是0,;

　　ee

　　2

　　1令f'x0,解得x,f（x）的单调递增是，e

　　11111，t无解；（ⅱ）00x10fx是增函数，在a,3a上fx0fx是增函数。

所以函数在x=a时，fx极大fa，所以函数在x=a时，fx极小f3a

　　因对x0,3有f（x）4恒成立，求实数a的取值范围.极值点指定区间端点位置关系不确定引起讨论。

讨论如下：

∵a>0

　　①当两个极值点都在指定区间0,3内时。

即00fx是增函数，在a,3a上fx0fx是增函数。

所以函数在x=a时，fx极大fa，所以函数在x=a时，fx极小f3a

　　fxmaxmaxfa,f3f0,f3afxminminx0,3有f（x）4恒成立。

　　0a1333a6a9a4022754a27a400a1等价于　　

　　fa40f3400a1解得a1即0

　　123a12399②当两个极值点有一个在指定区间0,3内时。

即03时，也就是10时为什么分为0

　　在0,a上fx>0fx是增函数，在a,3上fx3时，当48b0，即b112时，方程2x2xb0无实根或只有唯一根x，所以22

　　9

　　gx2x22xb0,在1,上恒成立，则f'x0在1,上恒成立，所以函数fx在

　　1,上单调递增，从而函数fx在1,上无极值点。

　　当48b0，即b12时，方程2x2xb0，即f'x0有两个不相等的实根：

2112b112b。

x222x1这两个根是否都在定义域1,内呢？

又需要对参数b的取值分情况作如下讨论：

当b0时，x1此时，f'112b112b1,x21，所以x11,,x21,。

　　22x与fx随x的变化情况如下表：

　　xf'xfx1,x2x20极小值x2,递减递增此表可知：

当b0时，fx有唯一极小值点x2112b。

　　2当0b此时，f'1112b112b时，x1所以x11,,x21,。

1,x21，222x与fx随x的变化情况如下表：

1,x1x1x1,x2x2xf'xfxx2,递增0极大值递减0极小值递增此表可知：

当0b1112b时，fx有一个极大值点x1和一个极小值点22x2112b。

　　2综上所述：

　　10

　　导数习题题型十七：

含参数导数问题的分类讨论问题

　　含参数导数问题的分类讨论问题

　　1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根,导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

　　★已知函数f（x）x3（a2）x22ax,求函数的单调区间

　　1132　　f（x）x（a2）x2a（xa）（x2）

　　★★例1已知函数f（x）x2a（a2）lnx求函数的单调区间xx2（a2）x2a（x2）（xa）　　f（x）2xx22axa21★★★例3已知函数fxxR，其中aR。

2x1当a1时，求曲线yfx在点2,f2处的切线方程；当a0时，求函数fx的单调区间与极值。

　　解：

当a1时，曲线yfx在点2,f2处的切线方程为6x25y320。

　　2a（x21）2于a0，所以fx,

　　x211f'x0，得x1,x2a。

这两个实根都在定

　　a12axax2ax12x2axa1a'fx义域R内，但不知它们之间　　2222x1x122　　的大小。

因此，需对参数a的取值分a0和a0两种情况进行讨论。

（1）当a0时，则x1x2。

易得fx在区间,1，a,内为减函数，a在区间111,a为增函数。

故函数fx在x1处取得极小值fa2；

　　aaa函数fx在x2a处取得极大值fa1。

　　当a0时，则x1x2。

易得fx在区间（,a），（

　　1,）内为增函数，在区间a

　　111（a,）为减函数。

故函数fx在x1处取得极小值fa2；函数

　　aaafx在

　　x2a处取得极大值fa1。

　　1

　　以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。

因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。

当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。

　　★★★（区间确定零点不确定的典例）

　　例4某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元

　　2

　　的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件.求分公司一年的利润L与每件产品的售价x的函数关系式；

　　当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q.

　　解分公司一年的利润L与售价x的函数关系式为：

L=（x-3-a）（12-x）2,x∈［9,11］.

（2）L′（x）=（12-x）2-2（x-3-a）（12-x）　　=（12-x）（18+2a-3x）.

　　令L′=0得x=6+a或x=12.　　∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤

　　232328.323182ax3X=12yL（x）L（x）

　　在x=6+a两侧L′的值正变负.

　　901229　　所以①当8≤6+a＜9即3≤a＜时。

　　32x　　Lmax=L（9）=（9-3-a）（12-9）2=9（6-a）.　　②当9≤6+a≤

　　23289即≤a≤5时，329（6a）,222132Lmax=L（6+a）=（6+a-3-a）［12-（6+a）］=4（3-a）.所以Q（a）=33334（31a）3,3923a9,29a

　　答若3≤a＜，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q=9（6-a）；若≤a≤5，则当每件售价为（6+a）元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=43（万元）.

　　922313★★★★

　　例2、已知fxxlnx,gxxaxx2

　　32　　（Ⅰ）.求函数fx的单调区间;

　　（Ⅱ）.求函数fx在t,t2t0上的最小值;

　　（Ⅲ）对一切的x0,,2fxgx2恒成立,求实数a的取值范围.

　　'解：

（Ⅰ）f（x）lnx1,令f''1x0,解得0x1,fx的单调递减区间是0,;

　　ee

　　2

　　1令f'x0,解得x,f（x）的单调递增是，e

　　11111，t无解；（ⅱ）0

　　eeeee11（ⅲ）tt2，即t时，f（x）在[t,t2]单调递增，f（x）minf（t）tlnt……9分

　　ee（Ⅱ）（ⅰ）0

　　110t-ef（x）mine，1ttlnte22（Ⅲ）题意:

2xlnx3x2ax12在x0,上恒成立,即2xlnx3x2ax1

　　313x1,x,设hxlnx22x22xx13x1……12分131'　　则hxx22x22x21'　　令hx0,得x1,x（舍）

　　3　　可得alnx　　当0x1时,hx0;当x1时,hx0

　　''　　当x1时,hx取得最大值,hxmax=-2……13分.a2.

　　二．求导后，导函数为零有实根，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。

（用导数解决函数问题若求导后研究函数的导数问题时能

　　转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数大于零、等于零、小于零分类；再按在二次项的系数不等于零时对判别式按△＞0、△=0、△＜0；在△＞0时，求导函数的零点再根据零点是否在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。

）★1已知函数f（x）x3x2（1a）x，求函数的单调区间　　f（x）ax2x（1a）（1x）（ax1a）★★例2已知函数f（x）（1a）lnxa2x,求函数的单调区间　　2a312ax2x（1a）（x1）（ax1a）　　f（x）

　　xx★★★例3已知a是实数，函数fx求函数fx的单调区间；

　　xxa

　　设ga为fx在区间0,2上的最小值。

　　写出ga的表达式；

　　求a的取值范围，使得6ga2。

　　3

　　a3xxa3xa3'解：

函数的定义域为0,，fxxx0，f'（x）0得

　　2x2x2xxaa'。

考虑是否落在导函数f（x）的定义域0,内，需对参数a的取值分a0及a0两种33情况进行讨论。

　　当a0时，则f（x）0在0,上恒成立，所以fx的单调递增区间为0,。

　　''当a0时，f（x）0，得xaa'；f（x）0，得0x。

　　33因此，当a0时，fx的单调递减区间为0,，fx的单调递增区间为,。

　　33第问的结论可知：

　　当a0时，fx在0,上单调递增，从而fx在0,2上单调递增，所以

　　aagaf00。

　　当a0时，fx在0,上单调递减，在,上单调递增，所以：

　　33②当

　　aaaaa

　　0,2，即0a6时，fx在0,上单调递减，在,2上单调递增，333

　　所以gaf③当

　　2a3a2aaa。

9333a2,，即a6时，fx在0,2上单调递减，所以gaf222a。

30,a02aaga,0a6综上所述，3322a,a~6令6ga2。

①若a0，无解；

　　②若0a6，62aa2解得3a6；33

　　4

　　④若a6，622a2解得6a232。

综上所述，a的取值范围为3a232。

　　三.求导后，因导函数为零是否有实根不确定，而引起的讨论。

　　★例1已知函数f（x）ax2x求函数的单调区间

　　f（x）ax1

　　12★★例2已知函数f（x）lnxax求函数的单调区间f（x）1ax1af（x）xx1,x1　　★★★例3设kR，函数f（x）1x,F（x）f（x）kx,xR。

　　x1,x1试讨论函数F（x）的单调性。

　　1,x1解：

∵f（x）1x,F（x）f（x）kx,xR

　　x1,x11k1x2,x112kx,x1,1x　　F（x）f（x）kx1x。

F'（x）x1kx,x112kx1,x12x1考虑导函数F'（x）0是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。

若x1，则F'（x）1k1x21x2F'（x）0无实根，F'（x）0。

于当k0时，而当k0时。

　　有实根。

　　因此，对参数k分k0和k0两种情况讨论。

　　当k0时，F'（x）0在（,1）上恒成立，所以函数F（x）在（,1）上为增函数；

　　当k0时，F'（x）1k1x21x1k211kx1x1kk。

21xF'（x）0，得x111,x12，因为k0，所以x11x2。

　　k

　　5